1、 - 1 - DACBE第 12 题图 第 10 题图 2015学年度第二学期高二年级数学学科期中考试卷 （考试时间： 120分钟 满分： 150分 ） 一填空题 （本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4分，否则一律得零分 1已知复数 z 满足 ? ?3 4 25iz?， 则 z? _. 2.半径为 1的球的表面积为 _. 3. 若抛物线 pxy 22 ? 的焦点与椭圆 159 22 ?yx 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_. 4. 设 k 是实数 ,若方程 22144xykk?表示的曲线是双曲线 ,则 k 的取值范围为
2、 5. 直线 ? ?2 1 1 0x a y? ? ? ?的倾斜角的取值范围 是 _. 6.设 ?, 是方程 022 ? mxx 的两个虚根，且 8| ? ? ，则实数 ?m _. 7. 圆锥的侧面展开图为扇形，已知扇形弧长为 2? ，半径为 2 ，则该圆锥的体积等于 _. 8. 在直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中， 0 19 0 , 2 , 1A C B A A A C B C? ? ? ? ?， 则异面直线 1AB与AC 所成角的余弦值是 _ 9已知 1F 、 2F 是椭圆 1:2222 ? byaxC （ a b 0）的两个焦点， P 为椭圆 C 上一点，且21 PFPF? .若
3、 21FPF? 的面积为 9，则 b =_. w. 10某 由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示 ， 其中俯视图是中心角为 60? 的扇形 ， 则该几何体的 侧面积 为 _. - 2 - 11. 某地球仪上北纬 30? 纬 线长度为 12? cm，该地球仪的表面上北纬 30? 东经 30? 对应点 A 与北纬 30? 东经 90? 对应点 B 之间的球面距离为 cm（精确到 0.01） 12 如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中， E 为正方形边上的动点，现将 ADE? 所在平面沿AE 折起，使点 D 在平面 ABC 上的射影 H 在直线 AE 上，当 E 从点 D 运动到 C ，再从
4、 C 运动到 B ，则点 H 所形成轨迹的长度为 _. 13 抛物线 2 4 ( 0)y mx m?的焦点为 F ，点 P 为该抛物线上的动点，又点 )0,( mA? ，则 PFPA的最小值为 . 14.直线 ?m 平面 ? ，垂足是 O ，正四面体 ABCD 的棱长为 4 ，点 C 在平面 ? 上运动，点 B在直线 m 上运动，则点 O 到直线 AD 的距离的取值范围是 _. 二选择题 （本大题满分 20分）本大题共有 4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分 15 给出下列命题，其中正确的命题是 （ ） A 若 zC?
5、 ，且 2 0z? ，那么 z 一定是纯虚数 B 若 1z 、 2zC? 且 120zz? ，则 21 zz ? C 若 zR? ，则 2z z z? 不成立 D 若 xC? ，则方程 23?x 只有一个根 16 一个水平放置的三角形的斜二测直观图是有一条边水平的等边三角形，则这个三角形一定是 （ ） A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 以上都有可能 17 已知椭圆 )0(1:2222 ? babyaxC 的左、右焦点分别是 )0,(),0,( 21 cFcF ? ，若2 15?ac ，则称椭圆 C 为 “ 黄金椭圆 ” 则下列三个命题中正确命题的 序号 是 （ ） 在黄金椭圆
6、 C 中， cba, 成等比数列； 在黄金椭圆 C 中，若上顶点、右顶点分别为 BE, ，则 01 90? EBF ； - 3 - 第 20 题图 在黄金椭圆 C 中，以 ),0(),0(),0,(),0,( bEbDaBaA ? 为顶点的菱形 ADBE 的内切圆过焦点 21,FF A B C D 18 如图，正方体1 1 1 1AB CD A B C D?的棱长为 1， P 为 BC 的中点， Q 为线段1CC上的动点，过点 QPA , 的平面截该正方体所得的截面记为 S 。则下列命题 中 正确 命题的个数为（ ） 当10 2CQ?时， S 为四边形 ； 当12CQ?时， S 为等腰梯形 ；
7、 当34时， S 与11CD的交点 R满足1113CR?； 当3 14 CQ时， S 为六边形 ； 当1CQ?时， S 的面积为62. A 2 B 3 C 4 D 5 三解答题 （本大题满分 74分）本大题共有 5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 19 （本题满分 12分） 已知复数 ),( Rbabiaz ? ，且 2?z ，又 ziui )1()1( ? ，而 u 的实部和虚部相等，求 u . 20 （本题满分 14分，第（ 1）小题 6分，第（ 2）小题 8分） 某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长
8、相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24cm? ，高为 30cm ，圆锥的母线长为 20cm . （ 1）求这种“笼具”的体积（结果精确到 0.1 3cm ）； A 1A B C D 1B 1D 1C P Q 第 18 题图 - 4 - D B A C O E 第 22 题图 （ 2）现要使用一种纱网材料制作 50个“笼具”，该材料的造价为每平方米 8元，共需多少元？ 21 （本题满分 14分，第（ 1）小题 6分，第（ 2）小题 8分） 以椭圆 C ： )0(12222 ? babyax 的中心 O 为圆心， 22 ba ? 为半径的圆
9、称为该椭圆的“准圆” .设椭圆 C 的左顶点为 A ，左焦点为 F ，上顶点为 B ，且满足 2?AB ，OFBOAB SS ? ? 26. （ 1）求椭圆 C 及其 “准圆”的方程； （ 2） 若椭圆 C 的“准圆”的一条弦 ED 与椭圆 C 交于 M 、 N 两点，试证明：当 0?ONOM时，弦 ED 的长为定值 . 22 （本题满分 16分，第（ 1）题 4分，第（ 2）题 6分，第（ 3）题 6分） 如图， 已知四面体 ABCD 中， 23? DCDBDA ，且 DCDBDA , 两两互相垂直，点 O 是 ABC? 的中心 （ 1）求二面角 BACD ? 的大小（用反三角函数表示）；
10、（ 2）过 O 作 ADOE? ，垂足为 E ，求 DEO? 绕直线 DO 旋转一周 所形成的几何体的体积； （ 3） 将 DAO? 绕直线 DO 旋转一周 ， 则在旋转过程中，直线 DA 与直线 BC 所成角 记为 ? ，求 ?cos 的取值范围 23 （本题满分 18分，第（ 1）小题 6分，第（ 2）小题 4分，第（ 3）小 题 8分） （ 1） 求证：椭圆 14 22 ?yx 中斜率为 1的平行弦的中点轨迹必过椭圆中心； （ 2）用作图方法找出下面给定椭圆的中心； (3) 我们把由半椭圆 12222 ?byax )0( ?x 与半椭圆 12222 ?cxby )0( ?x 合成的曲线称
11、作“果- 5 - 圆”，其中 222 cba ? ， 0?a ， 0?cb . 如图，设点 0F ， 1F ， 2F 是相应椭圆的焦点， 1A ， 2A 和 1B ， 2B 是“果圆” 与 x ,y 轴 的交点 . 连结“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦。试研究：是否存在实数 k ，使斜率为k 的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的 k 值，若不存在，说明理由 . (提示：第（ 1）题的结论可推广为任意椭圆，第（ 2），第（ 3）题可直接应用推广的结论 .) 第 23（ 2）题图 第 23（ 3）题图 - 6 - DACBE第 12 题图 第 10 题图 2
12、015 学年度第二学期高二年级数学学科期中考试卷答案 （考试时间： 120分钟 满分： 150分 ） 一填 空题 （本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4分，否则一律得零分 1已知复数 z 满足 ? ?3 4 25iz?， 则 z? _34i? _. 2.半径为 1的球的表面积为 _ ?4 _. 3. 若抛物线 pxy 22 ? 的焦点与椭圆 159 22 ?yx 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_ 2?x _. 4. 设 k 是实数 ,若方程 22144xykk?表示的曲线是双曲线 ,则 k 的取值范围为 ),4()4,
13、( ? ? 5. 直线 ? ?2 1 1 0x a y? ? ? ?的倾斜角的取值范围是 _ 3 , )4? _. 6.设 ?, 是方程 022 ? mxx 的两个虚根，且 8| ? ? ，则实数 ?m _16_. 7. 圆锥的侧面展开图为扇形，已知扇形弧长为 2? ，半径为 2 ，则该圆锥的体积等于 _3? _. 8. 在直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中， 0 19 0 , 2 , 1A C B A A A C B C? ? ? ? ?， 则异面直线 1AB与AC 所成角的余弦值是 _ 66 _ 9已知 1F 、 2F 是椭圆 1:2222 ? byaxC （ a b 0）的两个焦点
14、， P 为椭圆 C 上一点，且21 PFPF? .若 21FPF? 的面积为 9，则 b =_3 _. w. 10某 由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示 ， 其中俯视图是中心角为 60? 的扇形 ， 则该几何体的 侧面积 为 _12 2? _. - 7 - 11. 某地球仪上北纬 30? 纬线长度为 12? cm，该地球仪的表面上北纬 30? 东经 30? 对应点 A 与北纬 30? 东经 90? 对应点 B 之间的球面距离为 6.21 cm（精确到 0.01） 12 如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中， E 为正方形边上的动点，现将 ADE? 所在平面沿AE 折起，使点 D 在平
15、面 ABC 上的射影 H 在直线 AE 上，当 E 从点 D 运动到 C ，再从 C 运动到 B ，则点 H 所形成轨迹的长度为 _? _. 13 抛物线 2 4 ( 0)y mx m?的焦点为 F ，点 P 为该抛物线上的动点，又点 )0,( mA? ，则 PFPA的最小值为 22 . 14.直线 ?m 平面 ? ，垂足是 O ，正四面体 ABCD 的棱长为 4 ，点 C 在平面 ? 上运动，点 B在直线 m 上运动，则点 O 到直线 AD 的距离的取值范围是 _ 222,222 ? _. 二选择题 （本大题满分 20分）本大题共有 4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分 15 给出下列命题，其中正 确的命题是 （ A ） A 若 zC? ，且 2 0z? ，那么 z 一定是纯虚数 B 若 1z 、 2zC? 且 120zz? ，则 21 zz ? C 若 zR? ，则 2z z z? 不成立 D 若 xC? ，则方程 23?x 只有一个根 16 一个水平放置的三角形的斜二测直观图是有一条边水平的等边三角形，则这个三角形一定是 （
