1、 1 2016 2017 学年度（下期）高 2015 级期中联考试卷 理科数学 考 试 时 间 共 120 分 钟 ， 满 分 150 分 试 卷 分 为 第 卷 （ 选 择 题） 和 第 卷 （ 非 选 择题） 注 意 事 项 ： 1.答题前 ， 考生务必在 答 题卡上将自 己 的姓名、班级 、 准考证号 用 0.5 毫米黑色 签字笔 填 写清楚，考 生 考试条码由 监 考老师粘贴在 答 题卡上的 “ 条码粘 贴 处 ” 。 2.选择题 使用 2B 铅笔填 涂 在答题卡上 对 应题目标号 的 位置上，如需 改 动，用橡 皮擦擦 干 净后再填涂 其 它答案 ； 非选择 题用 0.5 毫米黑 色
2、 签字笔在答 题 卡的对应区 域 内作 答 ， 超出答题区 域 答题的答案 无 效；在草稿纸 上 、试卷上答 题 无效 。 3.考试结 束 后由监考老 师 将答题卡收 回。 第 卷 选择 题 （共 60 分） 一、选择 题 （本大题 共 12 小题 ， 每小 题 5 分 ， 共 60 分 ， 在每小 题 给出的四个 选 项中 ， 只有一个是符合 题 目要求 的） 1 三 棱 柱 ABC A1B1C1 中 ， 若 CA a， CB b， CC1 c， 则 A1B等 于 ( ) A a b c B a b c C a b c D a b c 2 函 数 f ( x) sin x ex ，则 f (
3、0) 的 值 为 ( ) 第 1 题图 A 1 B 2 C 3 D 0 3. 已知 m， n 表 示 两 条 不 同 直 线， 表 示 平 面 下 列 说 法 正 确 的是 ( ) A 若 m ， n ，则 m n B 若 m ， n? ，则 m n C若 m ， m n，则 n D若 m ， m n，则 n x 4 函数 f ( x) 的 单 调 递 减 区 间 是 ( ) ln x A (0, e) B (e,) C (0,1), (1, e) D. ( , e) 5 在 棱 长 为 2 的 正 方 体 ABCD A1 B1C1 D1 中 ， O 是 底面 ABCD 的 中 心 ， E、
4、F 分 别是 CC1 、 AD 的 中 点 ， 那 么 异 面 直线 OE 和 FD1 所 成 的 角 的 余 弦 值 等 于 ( ) 2 A 15 B 10 C 4 D 2 5 5 5 3 3 ，6 已 知 函 数 f(x) x sin x， 若 x1，x2 2 2 ， 且 f(x1) f(x2)0， 则 下 列不 等 式 中 正 确 的 是 ( ) A x1x2 B x10 D x1 x20， 恒 有 lnx px 1(p0)，则 p 的 取 值 范 围 是 ( ) A (0,1 B (1， ) C (0,1) D 1， ) 9甲 、 乙两人 约 定在下 午 4:30 5:00 间 在 某
5、地相 见 ，且他 们在 4:30 5:00 之间 到达的时刻是等可 能 的，约好当其中一人先到后一定要等 另 一 人 20 分钟，若另一 人 仍 不 到 则 可 以 离 去 ， 则 这 两 人 能 相 见 的 概 率 是 ( ) 3 8 A B 4 9 7 11 C D 16 12 10 如 图 在 一个 60 的二 面 角 的 棱 上 有 两 个 点 A， B， 线 段 分 别 AC、 BD 在 这 个 二面 角的两个面内，并且都 垂 直于 棱 AB， 且 AB AC a ， BD 2a ， 则 CD 的长 为 ( ) C A 2a B 5a A B C a D 3a D 11 已 知 函数
6、 f ( x) ax3 bx2 cx d 的 图 象 如 图 所示 ， 则 b 1 的 取 值 范 围 是 ( ) a 1 第 10 题图 y A ( 3 , 1 ) B ( 2 ,1) 1 2 2 2 5 -1 0 x C ( 1 , 3 ) 4 D ( 3 ,1) 2 2 2 第 11 题图 5 ?x y x 2 y 2 12已 知 F1 ， F2 分别 为 双曲 线 C ： a 2 b 2 1 的左、右焦点 ， 若存 在 过 F1 的直 分 别 交 双 曲 线 C 的 左 、右 支 于 A ， B 两 点 ，使 得 BAF2 BF2 F1 ， 则 双曲 线 C 的 离 心 率e 的 取值
7、范 围 是 ( ) A 3,B 1,2 5 C. 3,2 5 D 1,3 第 卷 非选择 题 （共 90 分） 二、填空 题 （本大题 共 4 小题， 每 小 题 5 分， 共 20 分 ） 13 1 x2dx = 0 第 12 题图 2 2 2 2 14已 知 椭圆 C1 : 2 2 a b 1(a b 0) 与 双 曲线 C2 : x y 4 有 相 同 的 右 焦 点 F2 ， 点 P 是 C1 和 C2 的 一 个 公 共 点 ，若 PF2 2 ，则 椭 圆 C1 的 离 心 率 等 于 15 四 棱 柱 ABCD A1B1C1D1 中 ， 底 面 为 平 行 四 边 形 ， 以 顶
8、点 A 为 端 点 的 三 条 棱 长 都 相 等 ， 且 两 两 夹 角 为 60 .则 线段 AC1 与 平 面 ABC 所 成 角 的 正 弦 值 为 . mex 16已 知 函数 f x 1 x2 x 1 ， 若 存 在 唯 一 的 正 整数 x0 ， 使 得 f x0 0 ，则 实数 m 的 取 值 范 围 为 三、解答 题 （本大 题 共 6 小 题 ， 第 17 题满 分 10 分 ， 18-22 每题 满 分 12 分 ， 共 70 分 ； 解答应 写 出文字说明 、 证明过程或 演 算步骤 ） 17如 图 ， 在 直 三 棱柱 ABC A1B1C1 中， AC BC ，点 D
9、 是 AB 的 中 点 ， 求 证 ： （ ） AC BC1 ； （ ） AC1 / 平面 B1CD C1 B1 A1 6 C B D A 7 18某校举行汉字听写 比 赛，为了了解本次比赛成绩情况，从 得 分不低 于 50 分的 试 卷 中 随 机 抽 取 100 名 学 生 的 成绩 (得 分 均 为 整 数 ， 满 分 100 分 )进 行 统计 ， 请 根 据 频率 分 布 表 中 所 提 供 的 数 据 ， 解 答 下 列 问 题 ： 组号 分组 频数 频率 第 1 组 50， 60) 5 0.05 第 2 组 60， 70) a 0.35 第 3 组 70， 80) 30 b 第
10、4 组 80， 90) 20 0.20 第 5 组 90， 100 10 0.10 合计 100 1.00 （ ） 求 a、 b 的 值 ； （ ） 若 从 成 绩 较 好 的 第 3、 4、 5 组 中 按 分 层 抽 样 的 方 法 抽 取 6 人 参 加 市 汉 字听 写 比赛 ，并 从 中 选 出 2 人 做 种 子 选 手， 求 2 人 中 至 少 有 1 人 是 第 4 组 的 概 率 19已 知 函数 f(x) x2 2aln x. （ ） 若 函 数 f(x)的 图 象 在 (2， f(2)处 的 切 线 斜 率 为 1， 求 实数 a 的 值 ； （ ） 求 函 数 f(x)
11、的 单 调 区 间； 2 （ ） 若 函 数 g(x) f(x)在 1,2上 是 减 函 数 ， 求 实 数 a 的 取 值 范 围 x 8 ?2 2 2 2 20 在四棱 锥 P - ABCD 中， PAB 为正三 角 形，四边 形 ABCD 为矩形 ， 平 面 PAB 平面 ABCD ， AB = 2 AD ， M ,N 分 别 为 PB,PC 的 中 点 . （ ） 求 证 ： MN /平面 PAD ； （ ） 求 二 面 角 B AM C 的 大 小； （ ） 在 BC 上 是 否 存 在点 E ， 使得 EN 平面 AMN ？ BE 若 存 在 ， 求 BC 的 值 ； 若 不 存
12、在 ， 请 说 明 理由 21已 知 椭圆 C : x y 1 a b 0 经 过 点 P(1, 3 ) ， 离 心率 e 3 a b （ ） 求 椭 圆 C 的 标 准 方 程； 2 2 （ ） 设 过 点 E 0 , 2 的 直 线 l 与 C 相 交 于 P, Q 两 点 ， 求 OPQ 面 积 的 最 大 值 9 22已知 f ( x) 1 x2 ， g ( x) a ln x(a 0) . 2 （ ） 求 函 数 F ( x) （ ） 若 函 数 G( x) 取 值 范 围 ； f ( x) g ( x) 的 极 值； f ( x) g ( x) (a 1) x 在 区 间 (1 ,
13、 e) 内 有 两 个零 点 ， 求 的 e （ ） 函数 h( x) g x x 1 ， 设 x (0,1) ， x (1, ) ，若 h( x ) h( x ) x 1 2 2 1 存 在 最 大值 ， 记为 M (a) ， 则当 a e 1 时 ， M (a) 是 否 存 在 最 大 值 ？ 若 存在 ，求出 e 其 最 大 值 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理由 10 2016 2017 学年度（下期）高 2015级期中联考 数学（理科）参考答案及评分建议 一、 选择题：（每小题 5分，共 60分） 1.D； 2.B； 3.B； 4.C； 5.A； 6.C； 7.A； 8.D；
14、9.B； 10.A； 11.D； 12.C； 二、 填空题（每小题 5分，共 20分） 13.13； 14. 22 ； 15 .13； 16 .27 3,e e? ?； 三、 解答题（共 70分） 17证明：（ 1）在直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中， 1CC? 平面ABC ， 所以， 1CC AC? ， 又 AC BC? ， 1BC CC C? ， 所以， AC? 平面 11BCCB ， 所以， 1AC BC? . ?.? （ 5分） （ 2）设 1BC 与 1BC的交点 为 O ，连结 OD ， 11BCCB 为平行四边形，所以 O 为 1BC中点，又 D 是 AB 的中点， 所以 OD 是三角形 1ABC 的中位线， 1/OD AC ， 又因为 1AC? 平面 1BCD ， OD? 平面 1BCD ，所以 1/AC 平面 1BCD .? （ 10分） A1 C1 B1 A B C D O
