1、题组层级快练题组层级快练(十七十七) 1(2020 河北武邑中学月考)函数 ylnxx 的极值情况是( ) A有极大值，没有极小值 B有极小值，没有极大值 C既有极大值又有极小值 D既无极大值也无极小值 答案 A 解析 y1 x1 1x x (x0)，由 y0 得 x1，当 0x0，函数是增函数， 当 x1 时，y0.当 x2 时，f(x)0，这时 f(x)为增函数；当 0x2 时，f(x)0，f(x)单调递增，当 x(1，4时，f(x)0，所以当 x0 时，f(x)有最小值，且最小值为 0. 5(2020 河北邯郸一中月考)若函数 f(x)aexsinx 在 x0 处有极值，则 a 的值为(
2、 ) A1 B0 C1 De 答案 C 解析 f(x)aexcosx，若函数 f(x)aexsinx 在 x0 处有极值，则 f(0)a10， 解得 a1，经检验 a1 符合题意故选 C. 6若函数 yax3bx2取得极大值和极小值时的 x 的值分别为 0 和1 3，则( ) Aa2b0 B2ab0 C2ab0 Da2b0 答案 D 解析 y3ax22bx，据题意，0，1 3是方程 3ax 22bx0 的两根，2b 3a 1 3，a2b 0. 7设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f(x)，且函数 f(x)在 x2 处取得极小值，则函 数 yxf(x)的图象可能是( ) 答案 C 解析
3、 由 f(x)在 x2 处取得极小值可知，当 x2 时，f(x)0； 当2x0，则 xf(x)0 时，xf(x)0. 8已知 f(x)x3px2qx 的图象与 x 轴相切于非原点的一点，且 f(x)极小值4，那么 p，q 值分别为( ) A6，9 B9，6 C4，2 D8，6 答案 A 解析 设图象与 x 轴的切点为(t，0)(t0)， 设 f（t）t3pt2qt0， f（t）3t22ptq0，注意 t0， 可得出 p2t，qt2.p24q，只有 A 满足这个等式(亦可直接计算出 t3) 9 若函数 f(x)ax33x1 对于 x1， 1总有 f(x)0 成立， 则实数 a 的取值范围为( )
4、 A2，) B4，) C4 D2，4 答案 C 解析 f(x)3ax23， 当 a0 时，f(x)0，f(x)minf(1)a20，a2，不合题意； 当 01 时，f(x)在 1 a， 1 a 上为减函数，在 1， 1 a ， 1 a，1 上为增函数，f(1) a40，且 f 1 a 2 a10，解得 a4.综上所述，a4. 10若 f(x)x(xc)2在 x2 处有极大值，则常数 c 的值为_ 答案 6 解析 f(x)3x24cxc2， f(x)在 x2 处有极大值， f（2）0， f（x）2）， f（x）0（x0)，g(x)2 2 x30 x1g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单
5、 调递增 有唯一零点，ag(1)213f(x)2x33x21. 求导可知在1，1上，f(x)minf(1)4，f(x)maxf(0)1，f(x)minf(x)max3. 12(2019 河南信阳调研)已知函数 f(x)x3ax2bxa2在 x1 处取得极值 10，则 f(2)的 值为_ 答案 18 解析 f(x)3x22axb，由题意得 f（1）10， f（1）0，即 a2ab110， 2ab30， 解得 a4， b11 或 a3， b3. 当 a3，b3 时，f(x)3(x1)20，f(x)无极值 当 a4，b11 时，令 f(x)0，得 x11，x211 3 . 当 x 变化时，f(x)，
6、f(x)的变化情况如下表： x ，11 3 11 3 11 3 ，1 1 (1，) f(x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 f(x)x34x211x16，f(2)18. 13(2019 唐山联考)若函数 f(x)x21 2lnx1 在其定义域内的一个子区间(a1，a1)内存 在极值，则实数 a 的取值范围是_ 答案 1，3 2 解析 由题意，得函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)2x 1 2x 4x21 2x ，令 f(x)0， 得 x1 2 x1 2舍去 ，则由已知得 a10， a11 2， 解得 1a3 2. 14已知函数 f(x)(xk)ex. (1)求 f(x)的单调区间；
7、(2)求 f(x)在区间0，1上的最小值 答案 (1)单调递减区间为(，k1)，单调递增区间为(k1，) (2)当 k1 时，最小值 f(0)k； 当 1k2 时，最小值 f(k1)ek 1； 当 k2 时，最小值 f(1)(1k)e 解析 (1)f(x)(xk1)ex. 令 f(x)0，得 xk1. f(x)与 f(x)的变化情况如下表： x (，k1) k1 (k1，) f(x) 0 f(x) 极小值 所以 f(x)的单调递减区间是(，k1)，单调递增区间是(k1，) (2)当 k10，即 k1 时，函数 f(x)在0，1上单调递增，所以 f(x)在区间0，1上的最小 值为 f(0)k；
8、当 0k11，即 1k2 时， 由(1)知 f(x)在0，k1上单调递减，在(k1，1上单调递增， 所以 f(x)在区间0，1上的最小值为 f(k1)ek 1； 当 k11，即 k2 时，函数 f(x)在0，1上单调递减， 所以 f(x)在区间0，1上的最小值为 f(1)(1k)e. 15(2015 重庆)已知函数 f(x)ax3x2(aR)在 x4 3处取得极值 (1)确定 a 的值； (2)若 g(x)f(x)ex，讨论 g(x)的单调性 答案 (1)a1 2 (2)g(x)在(，4和1，0上为减函数，在4，1和0，)上为 增函数 解析 (1)对 f(x)求导得 f(x)3ax22x， 因
9、为 f(x)在 x4 3处取得极值，所以 f 4 3 0， 即 3a16 9 2 4 3 16a 3 8 30，解得 a 1 2. (2)由(1)得 g(x) 1 2x 3x2 ex. g(x) 1 2x 35 2x 22x ex1 2x(x1)(x4)e x. 令 g(x)0，解得 x0 或 x1 或 x4. 当 x4 时，g(x)0，故 g(x)为减函数； 当4x0，故 g(x)为增函数； 当1x0 时，g(x)0 时，g(x)0，故 g(x)为增函数 综上，知 g(x)在(，4和1，0上为减函数，在4，1和0，)上为增函数 16(2019 衡水中学调研卷)已知函数 f(x)xlnx. (
10、1)求函数 f(x)的极值点； (2)设函数 g(x)f(x)a(x1)，其中 aR，求函数 g(x)在区间1，e上的最小值(其中 e 为自然对数的底数) 答案 (1)极小值点为 x1 e，无极大值点 (2)当 a1 时，g(x)min0；当 1a0，由 f(x)0，得 x1 e. 所以 f(x)在区间 0，1 e 上单调递减，在区间 1 e， 上单调递增 所以 x1 e是函数 f(x)的极小值点，极大值点不存在 (2)g(x)xlnxa(x1)，则 g(x)lnx1a，由 g(x)0，得 xea 1. 所以在区间(0，ea 1)上，g(x)为减函数，在区间(ea1，)上，g(x)为增函数 当 ea 11，即 a1 时，在区间1，e上，g(x)为增函数，所以 g(x)的最小值为 g(1)0. 当 1ea 1e，即 1a2 时，g(x)的最小值为 g(ea1)aea1. 当 ea 1e，即 a2 时，在区间1，e上，g(x)为递减函数，所以 g(x)的最小值为 g(e)ae ae. 综上，当 a1 时，g(x)的最小值为 0；当 1a0，又h0，r0， V(r)在(0， 5)上为增函数 当 r(5，5 3)时，V(r)0，V(r)在(5，5 3)上为减函数 V(r)在 r5 处取最大值，此时 h8.即当 r5，h8 时，该蓄水池的体积最大
