1、题组层级快练题组层级快练(八十九八十九) 1设 a，b，c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是() A(a3)22a26a11 Ba2 a 1 a2 1 a C|ab|2 D. 1 ab a3a1a2a 答案C 解析(a3)2(2a26a11)a22b 时，恒成立，当 ab 时，不恒成立； 由不等式b1，xa ，yb ，则 x 与 y 的大小关系是() 1 a 1 b Axy Bxb1，ab0，ab10，ab0， 0，xy0，即 xy.故选 A. （ab）（ab1） ab 方法二：考察 f(x)x (x1) 1 x f(x)10，f(x)为增函数 1 x2 x21 x2 又 ab1，
2、f(a)f(b)，即 xy.故选 A. 3若 xyyzzx1，则 x2y2z2与 1 的大小关系是() Ax2y2z21 Bx2y2z21 Cx2y2z21 D不确定 答案A 解析x2y22xy，y2z22yz，z2x22zx， 2(x2y2z2)2(xyyzzx)2，x2y2z21.故选 A. 4已知 xy1，那么 2x23y2的最小值是() A. B. 5 6 6 5 C. D. 25 36 36 25 答案B 解析由柯西不等式得(x)2(y)2 23 ( 1 2) 2 ( 1 3) 2 ( 2x 1 2 3y 1 3) 2 即(2x23y2) 1，2x23y2 ，当且仅当 x ，y 时取
3、等号故选 B. 5 6 6 5 3 5 2 5 5设 a，b，c 为正实数，ab4c1，则2的最大值是() abc A. B. 53 C2 D. 3 3 2 答案B 解析由柯西不等式得()2()2(2)2(121212)(1112)2. abcabc 即(2)23(ab4c)3， abc 2. abc3 当且仅当 a ，b ，c时取等号选 B. 1 3 1 3 1 12 6若 a，b，cR，且 abc1，则的最大值为_ abc 答案 3 解析方法一：()2abc222abc(ab)(bc)(cabcabbcca a)3. 当且仅当 abc 时，等号成立 方法二：柯西不等式：()2(111)2(
4、121212)(abc)3. abcabc 7若 a，b，cR，a2b3c6，则 a24b29c2的最小值为_ 答案12 解析由柯西不等式，得(121212)(a24b29c2)(a2b3c)2，即 a24b29c212，当 a2b3c2 时，等号成立，所以 a24b29c2的最小值为 12. 8(2019沧州七校联考)若 logxy2，则 xy 的最小值为_ 答案 3 3 2 2 解析由 logxy2，得 y. 1 x2 而 xyx 33，当且仅当 ，即 x时取等号所以 1 x2 x 2 x 2 1 x2 3x 2 x 2 1 x2 31 4 3 3 2 2 x 2 1 x2 3 2 xy
5、的最小值为. 3 3 2 2 9已知 a，b，c，d 为实数，且 a2b24，c2d216，则 acbd 的最大值为_ 答案8 解析方法一：由柯西不等式得(acbd)2(a2b2)(c2d2) 因为 a2b24，c2d216，所以(acbd)264，因此 acbd8. 方法二：a2b24，c2d216， a2cos， b2sin，) c4cos， d4sin，) acbd8coscos8sinsin8cos()8. 10(2019江苏南通联考)已知 x0，y0，aR，bR.求证：. ( axby xy) 2 a2xb2y xy 答案略 证明因为 x0，y0，所以 xy0. 所以要证，即证(ax
6、by)2(xy)(a2xb2y)， ( axby xy) 2 a2xb2y xy 即证 xy(a22abb2)0，即证(ab)20，而(ab)20 显然成立故. ( axby xy) 2 a2xb2y xy 11(2019福建质量检查)若 a，b，cR，且满足 abc2. (1)求 abc 的最大值； (2)证明： . 1 a 1 b 1 c 9 2 答案(1)(2)略 8 27 解析(1)因为 a，b，cR，所以 2abc3，故 abc. 3 abc 8 27 当且仅当 abc 时，等号成立 2 3 所以 abc 的最大值为. 8 27 (2)证明 ： 因为 a，b，cR，且 abc2，所以
7、根据柯西不等式，可得 (ab 1 a 1 b 1 c 1 2 c)( ) ()2()2()2 ()2 . 1 a 1 b 1 c 1 2 abc ( 1 a) 2 ( 1 b) 2 ( 1 c) 2 1 2 a 1 a b 1 b c 1 c 9 2 当且仅当 abc 时，等号成立 2 3 所以 . 1 a 1 b 1 c 9 2 12已知 a，b，c 均是正实数 (1)若(a1)(b1)(c1)8，求证：abc1. (2)若 abc1，求 a2 b2 c2的最小值 1 4 1 9 答案(1)略(2) 1 14 解析(1)证明：(a1)(b1)(c1)2228. abcabc 88，1abc1
8、. abcabc (2)根据柯西不等式，得(122233)(abc)2 (a 21 4b 21 9c 2) (a 1 1 2b 2 1 3c 3) 2 1，当且仅当 ，即 a，b ，c时，等号成立，a2 b2 c2， a 1 1 2b 2 1 3c 3 1 14 2 7 9 14 1 4 1 9 1 14 a2 b2 c2的最小值为. 1 4 1 9 1 14 13(2015湖南，理)设 a0，b0，且 ab .证明： 1 a 1 b (1)ab2； (2)a2a2 与 b2b0，b0，得 ab1.由基本不等式及 ab1，得 ab2 1 a 1 b ab ab ab 2，即 ab2. (2)假设 a2a2 与 b2b2 同时成立，则由 a2a0，得 0a1；同理，0b1，从而 ab1，这与 ab1 矛盾故 a2a2 与 b2b2 不可能同时成立
