1、20162017 学年度第二学期期末抽测 高二数学 (理 )参考答案与评分标准 一、 填空题 1 1 2 8520 13?3 102 4 89 5 1234?6 ,ab都不是偶数 7 1724 8 36 9 7 10 1 11 32 3n? 12 120 13 12931 14 348 二、解答题 15 （ 1） 因为前三项系数 1， 11C2n， 21C4n成等差数列，所以 12112 C 1 C24nn? ? ?， 4 分 整理得 2 9 8 0nn? ? ? ，所以 8n? 或 1n? (舍 ) 7 分 （ 2） 因为 3241 411C ( ) ( ) C ( )22n rr n r
2、r r rr n nT x xx ? ? ? ? ? ? ?， 9 分 令 3414r?，得 4r? ， 11 分 所以展开式中含 x 项的系数为 4481 35( ) C28? 14 分 16 （ 1）由 113abcd? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?及 1111abcd? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 2 分 得3,1,3,1,ababcdcd? ? ? ? ? ? 4 分 解得2,1,1,2,abcd? ?故 2112?A 7 分 （ 2）设 12mn? ? ? ， 4 1 12 1 1mn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
3、? ? ? ? ? ? ?， 9 分 所以 42 mnmn? ? ?，解得 31mn? ?，即 123? ? ? ， 11 分 2 0 1 7 2 0 1 7 2 0 1 71 1 2 23?A ? ? ?2018201831? ? 14 分 17 （ 1）由 2 cosa? ，得 2 2 cosa? ? ? ，所以 222x y ax? ， 所求圆 C 的标准方程为 2 2 2()x a y a? ? ? 4 分 由 3 1,43xtyt? ? ?，消去参数，得 直线 l 的普通方程为 4 3 5 0xy? ? ? 8 分 （ 2）圆心 ( ,0)Ca 到直线 l 的距离为 455ad ?
4、10 分 因 为 直线 l 与圆 C 恒有公共点，所 以 da ， 12 分 解得 5a 14 分 18 （ 1）设 口 袋中原有 n 个白球，由题意，知 227C17Cn?， 4 分 解得 3n? 或 2n? （舍），故 口 袋中 原有白球 3 个 6 分 （ 2）由（ 1）可知， 口 袋中有 3 个白球， 4 个黑球甲四次取球的可能情况是 4 个黑球 ，3 黑 1 白 ， 2 黑 2 白 ， 1 黑 3 白 ， 相应的分数之和为 4 分 ， 5 分 ， 6 分 ， 7 分；与之对应的乙的取球情况是 3 个白球， 2 白 1 黑， 1 白 2 黑， 3 黑，相应的分数之和为 6 分， 5分，
5、 4 分， 3 分，故 ? 的可能取值为 0， 2， 4 7 分 314347CC 12( 0 ) C 3 5P ? ? ? ?； 9 分 4 2 24 4 347C C C 19( 2 ) C 3 5P ? ? ? ?； 11 分 134347CC 4( 4 ) C 3 5P ? ? ? ?， 13 分 所以 ? 的概率分布为： ? 0 2 4 P 1235 1935 435 所以 ? 的 数学 期望 1 2 1 9 4 5 4( ) 0 2 43 5 3 5 3 5 3 5E ? ? ? ? ? ? ? ? 16 分 19 （ 1） 因为2 1 2 2 211()2S a a a a? ?
6、 ? ?，即 2222 1 0aa? ? ? ，解得 2 21a ?； 由3 1 2 3 3 311()2S a a a a a? ? ? ? ?可得： 2332 2 1 0aa? ? ?，解得 3 32a ?； 由4 1 2 3 4 4 411()2S a a a a a a? ? ? ? ? ?可得： 2442 3 1 0aa? ? ?，解得 4 43a ?； 由5 1 2 3 4 5 4 411()2S a a a a a a a? ? ? ? ? ? ?可得： 2554 1 0aa? ? ? ， 解得 4 54a ? 4 分 （ 2）由（ 1）中的数值，猜测 1na n n? ? ?，
7、 *n N? 6 分 以下用数学归纳法证明： 当 1n? 时， 2 21a ?，猜想显然成立； 7 分 假设 *( , 1)n k k kN ? 时，猜想成立，即 1ka k k? ? ?成立， 此时 1 1 1 1( ) ( 1 )22 1kk kS a k k ka kk? ? ? ? ? ? ?， 10 分 当 1nk?时，11 111()2kk kSa a? ?，即11 111()2k k k kS a a a? ? ? ?， 所以11 1122 kk kk a a a? ? ? ?，整理得 2112 1 0kka k a? ? ?， 14 分 解得 1 1ka k k? ? ? ?，
8、 所以 1nk?时， 1na n n? ? ?也成立， 综 合 可知 ， *1 ( )na n n n N? ? ? ?恒成立 16 分 20 （ 1） 当 3n? 时，集合 ? ?1, 2,3, 4,5, 6, 7A ? ， 当 1m? 时，偶子集有 ? ? ? ? ? ?2 , 4 , 6 ，奇子集有 ? ? ? ? ? ? ? ?1 , 3 , 5 , 7 ， (1) 3, (1) 4fg?，所以 (1) 1F ? 2 分 当 2m? 时，偶子集有 2234CC? （ 2 个数全是偶数或全是奇数）， (2) 9f ? ， 奇子集有 1134CC? (1 偶 1 奇 )， (3) 12g
9、? ， 所以 (2) 3F ? 4 分 当 3m? 时，偶子集有 3 1 23 3 4C C C?（ 3 个数全是偶数或 1 偶 2 奇）， (3) 19f ? ， 奇子集有 2 1 33 4 4C C C? (2 偶 1 奇或 3 奇 )， (3) 16g ? ，所以 (3) 3F ? 6 分 （ 2） A 中共有 n 个偶数， 1n? 个奇数，此时 偶子集的个数 0 2 2 4 4 1 11 1 1 1( ) C C C C C C C Cm m m mn n n n n n n nfm ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 奇子集的个数 1 1 3 3 5 5 01
10、1 1 1( ) C C C C C C C Cm m m mn n n n n n n ngm ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 0 2 2 4 4 1 11 1 1 1( ) C C C C C C C Cm m m mn n n n n n n nFm ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 3 3 5 5 01 1 1 1( C C C C C C C C )m m m mn n n n n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 1 1 2 2 3 3 1 1 01 1 1 1 1 1C C C C C C
11、 C C C C C Cm m m m m mn n n n n n n n n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10 分 一方面， 1(1 ) (1 )nnxx? 0 1 0 1 1 1 11 1 1( C C C ) ( C C ( 1 ) C )n n n n nn n n n n nx x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以 1(1 ) (1 )nnxx?中 mx 的系数为 0 1 1 2 2 3 3 1 1 01 1 1 1 1 1C C C C C C C C C C C Cm m m m
12、m mn n n n n n n n n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 12 分 另一方面，在 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )n n n n nx x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?的展开式中， 当 m 为奇数时，为得到 mx ，则应由 (1 )x? 提供因数 x? ， 2(1 )nx? 提供 1mx? ， 所以 mx 的系数为 1 1 1 12 2 2 2( 1 ) ( 1 ) C ( 1 ) Cm m m mnn? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 故 1122( ) ( 1) CmmnFm ? ? ? 14 分 当 m 为偶数时，为得到 mx ，则应由 (1 )x? 提供因数 1， 2(1 )nx? 提供 mx ， 所以 mx 的系数为 22( 1) Cmmn?， 故 22( ) ( 1) CmmnFm ? ? ? 综上， 112222( 1 ) C ,()( 1 ) C ,mmnmmnnFmn为 奇 数 ,为 偶 数 .? ? ? ? 16 分
