1、 - 1 - 2017-2018 学年度第一学期期末安徽宿州五校联考 高二数学理科 第 卷（共 60分） 一、选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 过两点 的直线的倾斜角为 ，则 （ ） A. B. C. D. 1 【答案】 C 【解析】由题意知直线 AB的斜率为 ， 所以 ， 解得 选 C 2. “ ” 是 “ ” 成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不 必要条件 【答案】 A 【解析】试题分析：因为 “ 若 ，则 ” 是真命题， “ 若 ，则 ”
2、是假命题，所以 “ ” 是 “ ” 成立的充分不必要条件选 A 考点：充分必要条件的判断 【易错点睛】本题主要考查了充分条件 ,必要条件 ,充要条件的判断 ,属于基础题 对于命题“ 若 ,则 . 视频 3. 直三棱柱 中，若 ，则 （ ） - 2 - A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】要表示向量 ，只需要用给出的基底 表示出来即可，要充分利用图形的直 观性，熟练利用向量加法的三角形法则进行运算 解答：解： = =- 故选 D 4. 椭圆 的焦距是 2，则 的值是（ ） A. 9 B. 12或 4 C. 9 或 7 D. 20 【答案】 C 【解析】 当椭圆的焦点在 x轴上时，则有
3、， 解得 ； 当椭圆的焦点在 y轴上时，则有 ， 解得 综上可得 或 选 C 点睛 ： 解答本题时注意两点 ： （ 1）由于椭圆的焦点位置不确定，因此解题时需要分焦点在 x轴上和焦点在 y 轴上两种情况进行讨论 ， 分别求出 m 的值； （ 2） 解题时要读懂题意，其中 “ 焦距为 2” 的 意思是 ， 容易常误认为是 ， 这是在解题时常犯的错误 ， 要特别注意 5. 下列曲线中离心率为 的是（ ） A. B. C. D. - 3 - 【答案】 B 【解析】由 得 ，选 B. 视频 6. 过点 且平行于直线 的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】由题意可设所求的直线
4、方程为 x?2y+c=0 过点 (?1,3) 代入可得 ?1?6+c=0 则 c=7 x?2y+7=0 故选 A. 7. 已知双曲线 的焦距为 10，点 在 的 渐近线上，则 的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】试题分析：由题意得，双曲线的焦距为 ，即 ，又双曲线的渐近线方程为 ，点 在 的渐近线上，所以 ，联立方程组可得，所以双曲线的方程为 考点：双曲线的标准方程及简单的几何性质 视频 8. 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】 D - 4 - 【解析】结合几何体的特征和三视图的定义可得该几 何体
5、的侧视图如选项 D所示 . 本题选择 D选项 . 点睛： 三视图的长度特征： “ 长对正、宽相等，高平齐 ” ，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法正方体与球各自的三视图相同，但圆锥的不同 9. 正方体 中， 分别是 的中点，则直线 与 所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系 ， 设正方体的棱长为 2， 则 ， 所以 ， 故 ， 所以直线 与 所成角的余弦值是 选 C 点睛：用向量法求异面直线所成角的步骤 根据题意建立适当的
6、空间直角坐标系，求出相关点的坐标及相关向量的坐标； 用数量积求出两个向量的夹角的余弦值； 根据两异面直线所成角的范围得到结果 注意：两向量的夹角不一定就是两异面直线所成的角 10. 设长方体的长、宽、高分别为 ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） - 5 - A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】依题意可得，该球是长方体的外接球，其直径等 于长方体的体对角线，所以该球的表面积 ，故选 B 11. 设 是橢圆 的左、右焦点， 为直线 上一点， 是底角为 的等腰三角形，则 的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】试题分析：如下图所示， 是底角为 的等腰三角
7、形，则有所以 ，所以 又因为 ，所以， ，所以 所以答案选 C. 考点：椭圆的简单几何性质 . 视频 12. 为坐标原点， 为抛物线 的焦点， 为 上一点，若 ，则 的面积为（ ） - 6 - A. 2 B. C. D. 4 【答案】 C 【解析】试题分析： 抛物线 C的方程为 ，可得 ，得焦点 设 P（ m， n），根据抛物线的定义，得 |PF|=m+ = ，即 ，解得 点 P在抛物线 C上，得 |OF|= POF 的面积为 考点：抛物线的简单性质 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 命题 “ 存在实数 ，使 ” 的否定是 _ 【答案
8、】任意实数 【解析】试题分析：特称命题的否定为全称命题，并将结论加以否定，因此命题的否定为：对任意的 ，都 有 考点：特称命题与全称命题 14. 已知 ，则 _ 【答案】 【解析】因为 ， 所以 , 所以 答案 ： 15. 已知空间三点 ，若 ，且分别与 垂直，则向量_ 【答案】 或 【解析】由题意得 ， 设 ， 则 ， 解得 或 所以 或 - 7 - 答案 ： 或 16. 若椭圆 过抛物线 的焦点，且与双曲线 有相同的焦点，则该椭圆的方程为 _ 【答案】 【解析】因为椭圆过抛物线焦点为 (2,0),并且焦点为 所以 a=2, . 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分 .解答应写出文字说
9、明、证明过程或演算步骤 .） 17. 已知直线的倾斜角为 且经过点 . （ 1）求直线的方程； (2)求点 关于直线的对称点 的坐标 . 【答案】 (1) ； (2) . 【解析】试题分析 ： （ 1）先求得直线的斜率，再用点斜式可得直线的方程 （ 2） 设出点 的坐标 ，根据直线垂直平分线段 得到关于 的方程组，解方程组得到 的值后可得点的坐标 试题解析： （ 1）由题意得直线的斜率为 ， 直线的方程为 ， 即 . （ 2）设点 ， 由题意得 解得 点 的 坐标为 . - 8 - 18. 已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线 的一个焦点， 抛物线与双曲线交点为 ，求抛物线方程和双曲线方程
10、 . 【答案】抛物线方程为 ；双曲线方程为 . 【解析】试题分析 ： 由题意可设抛物线的方程为 ， 由点 在抛物线上可得 ，故抛物线方程为根据双曲线的焦点在抛物线的准线上可得 ，从而 再由点在双曲线上可得 ，由两式可得 ，故可得双曲线的方程 试题解析： 依题意设抛物线方程为 ， 点 在抛物线上， ， 解得 ， 所求抛物线方程为 . 故抛物线的准线方程为 ， 双曲线左焦点在抛 物线的准线上， ， 故 ， 又点 在双曲线上， ， 由 解得 . 所求双曲线方程为 . 19. 如图，在梯形 中， ， 平面 ， . - 9 - （ 1）证明： 平面 ； （ 2）若 为 的中点，求证： 平面 . 【答案】
11、 (1)证明见解析； (2)证明见解析 . 【解析】试题分析：（ 1）先证 ，结合 ，利用线面垂直的判定定理证明 平面 ；（ 2）先证 为等腰直角三角形，结合 为 中点，得到 ，根据 得，利用线面平行的判定定理证明 平面 . 试题解析：（ 1）证明： 平面 ， 平面 ， 又 ，而，所以 面 20. 已知圆 ，直线 . （ 1）求证：对任意 ，直线与圆 总有两个不同的交点； （ 2）设与圆 交于 两点，若 ，求的倾斜角 . 【答案】 (1)证明见解析； (2) 或 . 【解析】试题分析： （ 1） 先证明直线恒过定点 ，再证明点 P在圆 内即可（ 2）将直线方程与圆方程联立消元后得到一个二次方程
12、，运用根据系数的关系及弦长公式求得 ，进而得到直线的倾斜角为 或 . 试题解析 ： （ 1）证明：直线 ， 令 ，解得 直线恒过定点 ， - 10 - 点 在圆 内， 直线与圆 总有两个不同的交点 . （ 2）由 消去 整理得 ， 显然 设 ， 是一元二次方程的两个实根， ， ， ， 解得 ，即直线的斜率为 直线的倾斜角为 或 . 点睛：圆的弦长的求法 (1)几何法：设圆的半径为，弦心距为 ，弦长为 l，则 (2)代数法：设直线与圆相交于 两点，由方程组 消 y后得到关于 x的一元二次方程，从而求得 ，则弦长为 (k为直线斜率 )在代数法中，由于涉及到大量的计算，所以在解题中要注意计算的准确性，同时也要注意整体代换的运用，以减少运算量 21. 如图， 分别是椭圆 的左、右焦点， 是 椭圆 的顶点， 是直线与椭圆 的另一个交点， .
