1、 1 北京市西城区 2016 2017 学年度第一学期期末试卷 高二数学（理科） 2017.1 试卷满分： 150 分 考试时间： 120 分钟 题号 一 二 三 本卷总分 15 16 17 18 19 20 分数 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 . 1. 双曲线 2 2 13x y?的 一个焦点坐标 为 （ ） （ A） ( 2,0) （ B） (0, 2) （ C） (2,0) （ D） (0,2) 2. 已知椭圆的短轴长是焦距的 2 倍，则椭圆的离心率为 （ ） （ A） 12 （ B） 22 （ C） 15
2、 （ D） 55 3. 设 ,?是两个不同的平面， l 是一条直线，以下命题正确的是 （ ） （ A） 若 /?， /l ? ，则 l ? （ B） 若 /?， l ? ， 则 l ? （ C） 若 ? ， l ? ，则 l ? （ D） 若 ? ， /l ? ，则 l ? 4. 设 m?R ,命题 “ 若 0m? ， 则方程 2xm? 有实根 ” 的逆否命题是（ ） （ A） 若方程 2xm? 有实根 ， 则 0m? （ B） 若方程 2xm? 有实根 ， 则 0m? （ C） 若方程 2xm? 没有实根 ， 则 0m? （ D） 若方程 2xm? 没有实根 ， 则 0m? 5. 已知 ?,
3、 表示两个不同的平面 ， m 为平面 ? 内的一条直线 ， 则 “ ? ” 是 “ ?m ” 的 （ ） （ A） 充分不必要条件 （ B） 必要不充分条件 （ C） 充要条件 （ D） 既不充分也不必要条件 2 6. 已知双曲线的 焦点在 x 轴上， 焦距为 25， 且双曲线的一条渐近线与直线 2 1 0xy? ? ? 平行， 则双曲线的 标准 方程为 （ ） （ A） 2 2 14 ?x y （ B） 22 14?yx （ C） 2233120 5?xy （ D） 223315 20?xy 7. 已知 (3,0)A ， (0,4)B ，动点 ( , )Pxy 在线段 AB 上运动，则 xy
4、 的最大值为（ ） （ A） 5 （ B） 4 （ C） 3 （ D） 2 8. 用 一个 平面截正方体和正四面体， 给出 下列结论 ： 正方体的截面不可能是直角三角形； 正四面体的截面不可能是直角三角形； 正方体的截面可能是直角梯形； 若正四面体的截面是梯形，则一定 是等腰梯形 . 其中，所有正确结论的序号是（ ） （ A） （ B） （ C） （ D） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 .把答案填在题中横线上 . 9. 命题 “ x?R ， 使得 2 2 5 0xx? ? ? ” 的否定是 _. 10. 已知点 )1,0( ?M , )3,2(N . 如果直线
5、MN 垂直于直线 032 ? yax ， 那么 a 等于 _. 11. 在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中，异面直线 1,ADBD 所成角 的余弦值为 _. 12. 一个正 三棱柱的正视图 、 俯视图如图 所示， 则 该三棱柱的 侧视图的面积为 _. 13. 设 O 为坐标原点， 抛物线 2 4yx? 的焦点为 F ， P 为抛物 线上一点 . 若 3PF? ，则 OPF 的面积为 _. 14. 学完解析几何和立体几何后， 某同学发现自己家 碗 的侧面 可以看做 抛物线的 一部分曲线 围绕其对称轴旋转而成 ， 他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点， 对称轴
6、确定为 x 轴，建立 如图所示的 平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到 原 点的距离，请你通过 对碗的相关数据的 测正（主）视图 俯视图 2 4 2 3 量 以 及 进 一 步 的 计 算 ， 帮 助 他 求 出 抛 物 线 的 方 程 .你 需要 测量 的 数 据 是_（所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为 _ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 15 （本小题满分 13 分） 如图 ， 四棱锥 P ABCD? 的底面是正方形 ， 侧棱 PA? 底面 ABCD ， E 是 PA 的 中 点 . () 求证： /P
7、C 平面 BDE ； () 证明： BD CE? . 16 （本小题满分 13 分） 如图 ,PA? 平面 ABC , AB BC? , 22A B P A B C? ? ?,M 为 PB 的中点 . () 求证 :AM? 平面 PBC ； () 求二面角 A PC B?的余弦值 . 17（本小题满分 13 分） 已知 直线 l 过坐标原点 O ， 圆 C 的方程为 22 6 4 0x y y? ? ? ?. () 当直线 l 的斜率为 2 时，求 l 与 圆 C 相交所得 的 弦长； () 设直线 l 与 圆 C 交于两点 ,AB，且 A 为 OB 的中点，求直线 l 的方程 . A B C
8、 D P E A B C P M 4 y 1A 1B 2B 2A O x 18 （本小题满分 13 分） 已知 1F 为椭圆 22143xy?的左焦点，过 1F 的直线 l 与椭圆交于两点 ,PQ. （） 若直线 l 的倾斜角为 45 ，求 PQ ； （）设 直线 l 的斜率为 k ( 0)k? ， 点 P 关于原点的对称点为 P? ，点 Q 关于 x 轴的对称点为 Q? ， PQ?所在直线的斜率为 k? . 若 2k? ，求 k 的值 . 19 （本小题满分 14 分） 如图 ， 四棱锥 E ABCD? 中 ， 平面 EAD ? 平面 ABCD , /DC AB ， BC CD? ， EA
9、ED? ， 且 4AB? , 2B C C D E A E D? ? ? ?. （） 求证 :BD? 平面 ADE ； （） 求 BE 和平面 CDE 所成角的正弦值； （） 在线段 CE 上是否存在一点 F ， 使得平面 BDF ? 平面 CDE ， 请说明理由 . 20 （本小题满分 14 分） 如图， 过原点 O 引两条直线 12,ll与 抛物线 21 :2W y px? 和 22 :4W y px? （其中 p 为常数 ， 0p? ） 分 别 交于四个点 1 1 2 2, , ,A B A B . （） 求 抛物线 12,WW准线间的距离； （） 证明： 1 1 2 2/AB A B
10、； （） 若 12ll? ， 求梯形 1 2 2 1AABB 面积 的最小值 . E A B C D 5 北京市西城区 2016 2017 学年度第一学期期末试卷 高二数学（理科）参考答案及评分标准 2017.1 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 1.C； 2.D； 3. B ； 4. D； 5. B； 6. A； 7. C ； 8. D. 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . 9. 对任意 x?R ,都有 0522 ? xx ； 10. 1； 11. 33； 12. 83； 13. 2 ； 14. 碗底的直径 m ，碗口的直径 n
11、，碗的高度 h ； 2224nmyxh?. 注：一题两空的题目，第一空 2 分，第二空 3 分 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 . 15.（本小题满分 13 分） 解 : () 连结 AC 交 BD 于 O ，连结 OE ， 因为四边形 ABCD 是正方形，所以 O 为 AC 中点 . 又因为 E 是 PA 的中点，所以 /PC OE ， ? 3 分 因为 PC? 平面 BDE ， OE? 平面 BDE ， 所以 /PC 平面 BDE . ? 6 分 () 因为四边形 ABCD 是正方形，所以 BD AC? . ? 8 分 因为 PA? 底面 ABCD ，且 BD? 平面 A
12、BCD ， 所以 PA BD? . ? 10 分 又因为 AC PA A?I ，所以 BD? 平面 PAC ， ? 12 分 又 CE? 平面 PAC ， 所以 BD CE? . ? 13分 16.（本小题满分 13 分） 解 : () 因为 PA? 平面 ABC ， BC? 平面 ABC ， 所以 PA BC? . A B C D P E O 6 因为 BC AB? ， PA AB A? ， 所以 BC? 平面 PAB . ? 2分 所以 AM BC? . ? 3 分 因为 PA AB? ， M 为 PB 的中点 ， 所以 AM PB? . ? 4 分 所以 AM? 平面 PBC . ? 5
13、 分 () 如图 ， 在平面 ABC 内 ， 作 /Az BC ， 则 ,AP AB AZ 两两互相垂直 ， 建立空间直角坐标系 A xyz? . 则 ( 0 , 0 , 0 ) , ( 2 , 0 , 0 ) , ( 0 , 2 , 0 ) , ( 0 , 2 ,1 ) , ( 1 ,1 , 0 )A P B C M. (2,0,0)AP? ， (0,2,1)AC? ， (1,1,0)AM ? . ? 8 分 设平面 APC 的法向量为 ( , , )x y z?n ， 则 0,0,APAC? ?nn即 0,2 0.xyz? ?令 1y? ， 则 2z? .所以 (0,1, 2)?n . ?
14、 10 分 由 () 可知 (1,1,0)AM ? 为平面 BPC 的法向量 ， 设 ,AMn 的夹角为 ? ， 则 1 1 0c o s1052AMAM? ? ? ?nn. ? 12 分 因为二面角 A PC B?为锐角 ， 所以二面角 A PC B?的余弦值为 1010 . ? 13 分 17.（本小题满分 13 分） 解： () 由已知，直线 l 的方程为 2yx? ， 圆 C 圆心为 (0,3) ， 半径为 5 ， ? 3 分 所以，圆心到直线 l 的距离为 3 33 ?. ? 5 分 所以，所求弦长为 22. ? 6 分 () 设 11( , )Ax y ， 因为 A 为 OB 的中
15、点，则 11(2 ,2 )B x y . ? 8 分 又 ,AB圆 C 上， 所以 221 1 16 4 0x y y? ? ? ?， 221 1 14 4 1 2 4 0x y y? ? ? ?，即 221 1 13 1 0x y y? ? ? ?. ? 10 分 解得 1 1y? ， 1 1x? ， ? 11 分 A B C P M x y z 7 即 (1,1)A 或 ( 1,1)A? . ? 12 分 所以，直线 l 的方程为 yx? 或 yx? . ? 13 分 18.（本小题满分 13 分） 解：（） 设 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y，由已知，椭圆的
16、左焦点为 ( 1,0)? ， 又直线 l 的倾斜角为 45 ，所以直线 l 的方程为 1yx?， ? 1 分 由221,3 4 12yxxy? ?得 27 8 8 0xx? ? ? ， ? 3 分 所以1287xx? ?，12 87xx?. ? 4 分 2 2 21 2 1 2 8 8 2 4| | 1 ( ) 4 2 ( ) 47 7 7P Q k x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?. ? 5分 （） 由22( 1),3 4 12y k xxy? ?得 2 2 2 2( 3 4 ) 8 4 1 2 0k x k x k? ? ? ? ?， ? 6 分 所以 212 2834kxx k?， 212 24 1234kxx k? ?. ? 8 分 依题意 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y? ? ?，且 11( 1)y k x?， 22( 1)y k x?， 所以， 1 2 1 21 2 1 2()y y k x xk x x x x? ?， ?
