1、 - 1 - 上学期 高 二数学 期末模拟 试题 09 第卷 (选择题 共 60分 ) 一、选择题：本小题共 12小题，每小题 5分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 .请把答案填涂在答题纸的相应位置 . 1. ABC的内角 A、 B、 C的对边分别为 a、 b、 c，若 c 2， b 6， B 120 ，则 a等于 ( ) A. 6 B 2 C. 3 D. 2 2. 已知平面 ? 的法向量是 ? ?2,3, 1? ，平面 ? 的法向量是 ? ?4, , 2? ，若 /?， 则 ? 的值是（ ） A 103? B 6? C 6 D 103 3 已知 , ,
2、abc 满足 c b a? ，且 0ac? ，那么下列选项中一定成立的是 ( ) A. ab ac? B. ? ? 0c b a? C. 22cb ab? D. ? ? 0ac a c? 4. 等差数列 na 中，已知前 15项的和 9015?S ，则 8a 等于 （ ） A 245 B 12 C 445 D 6 5. 下列 有关命题的说法正确的是 ( ) A命题“若 2 1x? ，则 1?x ”的否命题为：“若 2 1x? ，则 1x? ” B “ 1x? ”是“ 2 5 6 0xx? ? ? ”的必要不充分条件 C 命题“ xR?， 使得 2 10xx? ? ? ”的否定是：“ xR?，
3、均有 2 10xx? ? ? ” D命题“若 xy? ，则 sin sinxy? ”的逆否命题为真命题 6. (2010年浙江 )设 Sn为等比数列 an的前 n项和， 8a2 a5 0，则 S5S2 ( ) A 11 B 5 C 8 D 11 7. 若椭圆的两焦点为（ 2， 0）和（ 2， 0），且椭圆过点 )23,25( ? ，则椭圆方程是 （ ） A 148 22 ?xy B 1610 22 ?xy C 184 22 ?xy D 1610 22 ?yx 8. 若 ABC? 的内角 ,ABC 所对的边 ,abc满足 22( ) 4a b c? ? ? ，且 060C? ，则 ab? 的最小
4、值为 ( ) A 233 B 433 C 43 D 8 4 3? 9. 已知正方体 1111 DCBAABCD ? 中， E 为 11DC 的中点，则异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为 A. 0 B. 21 C. 32 D. 32? 10.若不等式 ax2 8ax 210的解集 是 x| 7x 1，那么 a的值是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 - 2 - 11若双曲线 22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?的右焦点为 F，若过 F且倾斜角为 ?60 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率 e 的取值范围是（ ） A ?2,1 B ? ?2,1
5、C ? ?,2 D ? ?,2 12.若抛物线 2 4yx? 的焦点是 F ,准线是 l ,则经过点 F 、 M （ 4， 4）且与 l 相切的圆共有 A.4个 B.2 个 C.1个 D.0个 第 2卷（非选择题 共 100分） 二、填空题 :本大题共 4小题，每小题 4分，满分 16 分 .请把答案填在答题纸的相应位置 . 13 等差数列 ?na 中，若 345 12,a a a? ? ? 则 71 aa? = . 14. 已知向量 )0,1,1(?a ， )2,0,1(?b ，且 ?bak 与 ?ba2 互相垂直，则 k 的值是 15. 设 0?x ， 0?y ， 且 1116xy?，则
6、xy? 的最小值为 16. 点 P 是抛物线 xy 42? 上一动点，则点 P 到点 )1,0( ?A 的距离与 P 到直线 1?x 的距离和的最小值是 . 三、解答题 :本大题共 6小题，共 74分 .解答应写出文字说明 ,证明过程或演算步骤 . 17. （ 本小题满分 12 分） 已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 na 是 nS 与 2的等差中项， 求 12,aa的值； 求数列 na 的通项 公式。 18（ 本小题满分 12分） 已知 0, 1aa?，命题 :p “ 函数 xaxf ?)( 在 (0, )? 上单调递减 ” ， 命题 :q “ 关于 x 的不等式 2 1204x
7、 ax? ? ? 对一切的 xR? 恒成立 ” ，若 pq? 为假命题， pq? 为真命题，求实数 a 的取值范围 . - 3 - 19（ 本小题满分 12分） 在 ABC中， a、 b、 c分别是角 A、 B、 C的对边， 且 cabba ca ? ， （ 1） 求角 B的大小； （ 2） 若 ABC 最大边的边长为 7 ，且 AC sin2sin ? ，求最小边长 20 （本小题满分 12分） 某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本 1000元，运费 500元，可得产品 90 千克；若采用乙种原料，每吨成本为 1500 元，运费 400 元，可得产品 100千克，如
8、果每月原料的总成本不超过 6000 元，运费不超过 2000 元，那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？ 21（ 本小题满分 12分）如图，在四棱锥 P ABCD中， PD? 底面 ABCD， 底面 ABCD是正方形， PD=DC， E、 F分别为 AB、 PB的中点。 （ 1）求证： EF? CD； （ 2）求 DB与平面 DEF 所成角的正弦值； （ 3）在平面 PAD内求一点 G，使 GF? 平面 PCB，并 证明你的结论。 P F D C A E B - 4 - 22 （本小题满分 14分） 已知椭圆的两焦点为 1F ( 3,0)? ， 2F ( 3,0) ，离心率 32e? 。 （）
9、求此椭圆的方程。 （）设直线 2xym?与椭圆交于 P,Q两点，且 PQ 的长等于椭圆的短轴长，求 m 的值。 （）若直线 2xym?与此椭圆 交于 M， N两点，求线段 MN的中点 P的轨迹方程。 参考答案 一、选择题 1 5、 BCADD 6 10、 DDBCC 11 12、 DB 二、填空题 13、 8 14、 57 15、 41 16、 2 三、解答题 17、 2nS?n解 :由 已 知 得 2a - -2分 由 得： 1 22S? ? ? ?112a a-4分 2 2 2 4S? ? ? ? ? ? ?2 1 2 22 a a a a-6分 (2)解： 1 2nS ?n+12a -
10、- 得 12nnSS? ? ? ?n + 1 n n + 1n+1n2 a 2 a aaa-9分 ?数列 na 以 2为首项，以 2为公比的等比数列 -10分 即 12 2 2nn? ? ?na -12分 18、 解： p 为真： 01a?； ? 2分； q 为真： 014 2 ? a ，得 2121 ? a ， 又 0, 1aa?， 210 ? a ? 5分 因为 pq? 为假命题， pq? 为真命题，所以 ,pq命题一真一假 ? 7分 （ 1）当 p 真 q 假 1212110?aaa ? 9分 - 5 - （ 2）当 p 假 q 真?2101aa 无解 ? 11 分 综上， a 的取值范
11、围是 1( ,1)2 ? 12分 19、解： （ ） 由 cabba ca ? 整理得 )()( baabcca ? ， 即 222 abcac ? ， -2分 2122c o s 222 ? acacac bcaB ， -5分 ?B0 ， 32?B 。 -7分 （ ） 32?B ,最长边为 b ， -8分 AC sin2sin ? ， ac 2? ， -10分 a 为最小边，由余弦定理得 )21(2247 222 ? aaaa ，解得 12?a ， 1?a ，即最小边长为 1 -12分 20.解： 分析：将已知数据列成下表 甲原料（吨） 乙原料（吨） 费用限额 成本 1000 1500 60
12、00 运费 500 400 2000 产品 90 100 解：设此工厂每月甲、乙两种原料各 x吨、 y吨，生产 z千克产品，则： ?200040050060001500100000yxyxyxz=90x+100y 作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域： 由?72071220451232yxyxyx 得 令 90x+100y=t，作直线 :90x+100y=0 即 9x+10y=0 的平行线 90x+100y=t，当 90x+100y=t过点 M（ 720,712 ）时，直线 90x+100y=t中的截距 最大 . 5M (127,207)o 644xy- 6 - 由此得出 t的值也最大，
13、最大值 zmax=90 720100712 ? =440. 答：工厂每月生产 440千克产品 . 21、 PD? 面 ABCD , ? ,PD DA PD DC?，又 底面 ABCD是正方形， ?DA DC? ( 0 , 0 , 0 ) 0 0 0 0 0 0 02 2 20 0 .222D A D C D P x y z A D aa a aD A a B a a C a E a FaaaF P a?以 、 、 所 在 直 线 为 轴 、 轴 、 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 设 ，则 、 （ ， ， ） 、 （ ， ， ） 、 （ ， ， ） 、 （ ， ， ） 、 （ ，
14、， ）（ ， ， ） 、 （ ， ， ）1 0 0 0 0 .22aaE F D C a E F D C? ? ? ? ? ? ?（ ） （ ， ， ） （ ， ， ） ， ( , , ) .( , , ) ( , , ) 0 , ( ) 0.0 2 2 2 20( , , ) ( , , 0) 0 , 0.2231 , 2 , 1 , ( 1 , 2 , 1 ) . c os , ,626D E F n x y za a a ax y z x y zn D Faan D Ex y z a ax yB D n ax y z n B D naB D nD B D E F? ? ? ? ? ? ?
15、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（ 2 ） 设 平 面 的 法 向 量 为由 ， 得取 则与 平 面 所 成 角 的 正 弦3.6值 为20 . , , ,2 2 2, , ( , 0 , 0) ( ) 0 , ;2 2 2 2 2, , ( 0 , , ) ( ) 0 , 0.2 2 2 2 20 0 .2a a aG x z G P A D F G x za a a a aF G CB x z a a x xa a a a aF G CP x z a a a z zaG G A D? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
16、 ? ? ? ? ? ? ?（ 3 ） 设 （ ， ， ） ， 则 平 面 。 （ ）（ ）（ ）点 坐 标 为 （ ， ， ） ， 即 点 为 的 中 点解法二、 (1)证明： PD? 面 ABCD ?PD CD? ，又 ABCD 是正方形 ? AD CD? PD AD D? ?CD? 面 PAD ?CD PA? E、 F分别为 AB、 PB 的中点 ? EF PA ，故 CD EF? ADOEEBAEOEFOOBD /. ? ，、，连结的中点（证法二）取 ? ./. PDFOFBFPCDOECDAD ? ，又 ? P D A B C D F O A B C D? ? ? ?底 面 ， 底
17、面 ，FO CD? OE OF O? ?CD? 面 OEF EF? 面 OEF ?CD EF? P F D C A E B - 7 - 22211.331 1 1 22 4 2 21 1 53.2 2 4 2B D E F F D E B D E F D E BD E BB D E F d d F Oaa F O a a E F A PaD F P B a D E a aV V S SS? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（ 2 ） 设 到 平 面 的 距 离 为 ，设 底 面 边 长 为 ， 则 ， ， ，.6363s i n.6121418686.90454342222222222所成角的正弦值为与平面，则所成角与平面设，D E FDBDBdD E FDBadaadaaD E FDEaaaDFEF SD E Fo?.G A D（ 3） 答 ： 是 的 中 点.P C H D H P D D C D H P C? ? ?（ 方 法 一 ） 取 的 中 点 ， 连 结 ， .B C P D C B C D H D H P C B? ?
