1、第十六讲 量子理论拾贝/hchE/hp 2mc/hct/pNf0kWhEh/W00e/WhU0）（反220cv1vmhh/mvp/h有关的理论：(1)光子：能量 动量(因为 光压（2）光电效应：光照射到金属表面，金属表面有电子射出的现象。截止频率 （3）德布罗意波长：物体有波粒二象性，其波动性所体现的波长叫德布罗意波长。)最大反向截至电压xpx)2/h(2/tE2/p2sin220cmh4)(TTE424TRP（4）不确定关系 位置和动量 能量和时间 角动量和角位移 （6）斯特藩-波尔茨曼定律 球体：（为散射角）（5）康普顿效应：光子撞上自由电子后发生散，且散射光子的波长增大的现象。1。入射光
2、以入射角i射到一不透明的物质表面（如图），入射光的能流密度为I，设该物质表面对入射光的能量反射率为R，求单位表面积受到的光压和切向力。2cos i(1)IpRc，iRcIT2sin)1(2 XKKYi解：当入射光以入射角i射到一不透明物的表面时，一部分光子被反射，而另一部分光子被表面吸收，根据能流密度定义可以求得在单位时间内射到物体单位表面上的光子数cosIiNh 当光子被反射时，光子的动量发生变化，这是因光子受到表面的冲力所致，因此物体的表面也要受到光子给与的作用力。参考右图。根据动量原理可以求得在单位时间内，物体单位表面积上受到冲力KKXYi其中有NR个光子被反射，有N（1-R）个光子被表
3、面吸收。1coscossin 1cos 1hhFNRkkNRkcchINkRki kRkccIiR iiR jc2cos1IpiRc，k k式中 ，分别表示入射光子和反射光子动量方向的单位矢量。F在表面法线方向的分量（即Y方向分量）就是单位表面积受到的光压，即 而F在表面且线方向的分量（即X方向分量）就是单位面积受到切向力，即cossin 11sin22ITiRcIRic 2。求证：自由电子不可能吸收光子而产生光电效应。证明：不论自由电子处于静止状态还是运动状态，都不能吸收光子，因为这一过程不能同时满足能量守恒和动量守恒定律。证明如下：(1)静止的自由电子与光子碰撞，设碰后电子的速度为v，根据
4、能量守恒定律，有2200221m chm cvc由此解得电子的速度220202chh m cvhm c 根据动量守恒定律0221m vhcvc由此解得电子的速度2 22 40h cvhm c式的结果与式不相等，说明静止的自由电子不能吸收光子。(2)运动的自由电子与光子碰撞，为简单起见，假设电子在碰撞前的运动方向与光子运动方向垂直，速度为v1，质量012121mmvc022221mmvc碰撞后电子吸收光子沿方向运动，速度为v2，质量按能量守恒定律，有22012221m chmcvc由此解得电子的速度222421012212chmmchmcvhmc根据动量守恒定律，有0 2222cos1hm vc
5、vc 0 21 1222sin1m vmvvc，解上述两方程得22 220 21 12221hm vmcvc即2 22 2 21 122 22 42 2 201 1hm v cvchm cm v c显然式结果与式不相等。这说明上述过程不能发生，光子只有与束缚在固体中（或原子中）、具有一定的束缚能得电子相碰撞时，才能被吸收而产生光电效应。根据能量守恒定律2200221m chm cAvc即2200221m chm cAvcvc212hmvA当时，得其中A为逸出功，这就是爱因斯坦方程。3。试求：动能等于电子静止能量的电子及质子的德布罗意波长。电子：1.410-3nm；质子：4.00610-5nm。
6、222000221mcm cm cvc22121vc32vc解(1)电子得，002231mpvm cvc，故34331806.63 101.4 10 nm33 9.11 103 10ehhpm c(2)质子000222221ppemcm cm cvc0022111pemmvc，0022111epmmvc 0000012peepemmmvcmm，000022121ppeemmpvm cmvc得0000003427318311226.63 102 1.67 109.11 103 109.11 10pppeeeehhhpmmm cm cmm 4。（1）一根长为l0横截面积为s的匀质圆柱体，在地面上静
7、止时测得其密度为0。当圆柱体沿轴线方向以速度v=0.9c相对于地面做匀速运动时，相对地面上的观测者再计算其密度等于多少。(c为光速)（2）有一个电子，已知它的德布罗意波(物质波)是波长为、向x的正方向传播的平面波。它的动量px等于多少?它的坐标x如何?0020436l.081.01l)c/v(1ll20)cv(1mm解：（1）对于地面上的观察者，圆柱体沿运动方向上的长度为圆柱体的质量为 圆柱体的密度为 20)cv(1VmVm式中V为圆柱体的体积，垂直于运动方向上的横截面积S在运动过程中不变，因此 20)c/v(1SllSV020220026.5)c/v(1)c/v(11Slm所以（2）根据德布
8、罗意关系hpx现在px=0，根据不确定关系xpxh，即电子的坐标x取各种值都有可能，坐标x值不确定。5。人们曾经认为原子核是由质子和中子组成的，若电子存在于原子核中，试用不确定关系估算核中电子的动能。124MeV因为只估计数量级，取动量近似等于它的不确定量，即xxph 1410mx 34201146.63 106.63 10kg m s10 xhpxxxph 解：按不确定关系 取下限来估算，若电子存在于原子核中，它的位置不确定量就是核的直径，即，电子动量的不确定量xpp2 22 40Ep cm c2222 400kEm ccpm c由于电子速度很高，用相对论处理，能量与动量关系即208196.
9、63 103 10/1.6 10124MeVcp 200.511MeVm c 式中；解得124MeVkEpc实验测得原子核衰变中放出电子的能量仅有1MeV左右，可见电子不可能是原子核的组成成分。6 某原子因受到激发跃迁到激发态能级，若在激发态能级停留10-8s时间，试根据不确定关系估算该激发态能级的宽度。设电子从上述激发态跃迁到基态，对应的能量为3.39eV，试确定辐射光子的波长的最小不确定量。Eth 3478196.63 104.1 10eV101.6 10hEt解：按不确定关系式该激发态能级的宽度辐射光子的波长3487196.63 103 103.67 10m3.39 1.60 10367
10、nmhcE 故波长的最小不确定量34719822191456.63 104.1 101.6 103 103.39 1.6 104.435 10m4.435 10 nmEhcE 7。在康普顿效应中，求：（1）反冲电子获得的最大动能Ekmax与入射光子能量h的关系式；（2）入射光子的能量在什么范围内，康普顿效应才能显著？02020max2)(2)1(hcmhEk（2）反冲电子的动能占入射光子能量的83%以上。解：(1)根据康普顿散射公式2002sin2hm c当散射角，即光子和电子作对心碰撞时，光子被弹回。在这种情况下，被散射的光子波长最长，能量最小，此时反冲电子获得的动能最大max0kEhh00
11、20020000002222hm cm cccchchm chm cm c180当 时反冲电子的动能最大值与入射光子能量h0存在如下关系20max020022khEhhm ch(2)所谓康普顿效应显著，指的是散射光子的波长有显著增大，即在光子和电子作用过程中光子传递给电子的能量越多，康普顿效应就越明显。从式得max0200022kEhhm ch电子的静止能量2505.11 10m ceV从式可以看出，只有当入射光子的能量可与电子的静止能量相比拟时，才能明显地观察到康普顿效应。例如对于可见光，光子的能量 200hm ckmax0Eh0，因此，几乎观察不到康普顿效应。对于的X射线，光子的能量 34
12、2060196.626 103 101.2 101.6 10heV 6max5602 1.2 1083%5.11 102 1.2 10kEh 即反冲电子获得的最大动能占入射光子能量的83%，入射光子丢失了绝大部分能量，散射光子波长有显著增大，能明显观察到康普顿效应。8。试估算太阳质量由于热辐射而耗失1%所经历的时间。（太阳半径R=7.0108m,质量M=2.01030kg，太阳光波长m=480nm）1011年解：将太阳视为黑体，由维恩位移定律得太阳的温度392.898 106000480 10mbTK根据斯蒂藩-波尔兹曼定律，可求得太阳热辐射功率为244PRT8245.672 10/()WmK
13、（其中）2Emc242692221644.6 105 10/9 10EPRTmkg sccc 根据质能关系太阳由于热辐射在单位时间损失的质量可知太阳的质量由于热辐射而损失1%时，所经历的时间301811991%2 100.014 10105 105 10Mts 年 9。有一个小灯泡功率为1W，辐射的光波的波长为10-8m，试求：（1）对应于该波长的一个光子的能量、质量、动量；（2）在离灯泡10km处，单位时间落在垂直于光线的1m2面积上的光子数。（1）1.9910-17J，2.2kg，6.6310-26kg.m/s；（2）4.0103m2/s8341783 106.63 101.99 10J1
14、0chh17342281.99 102.2 10kg3 10mc342686.63 106.63 10kg m/s10hp解：(1)(2)单位时间落在垂直于光线的1cm2面积上的光能量4142241017.96 10J44 3.1410SEpd 光子数14321177.96 104.0 10 ms1.99 10Enh 10。若光子的波长和电子的德布罗意波长都为=0.2nm，求：（1）光子和电子的动量之比；（2）光子和电子的能量之比。（1）1；（2）164.8解：(1)波长为的电子和光子，其动量均为34241106.63 103.32 102 10hpkg m s因此二者的动量之比为1。(2)光
15、子的能量2481633.32 103 109.96 10J6.23 10 eVpEhpc 电子的能量224218313.32 106.05 10J37.8eV22 9.11 10epEm二者能量之比36.23 10164.837.8peEE 11。动能为1000eV的质子射向原来静止的氦原子时发生弹性碰撞，散射角为900。求：散射的质子在远离氦原子核时的德布罗意波的波长。10-3nm。1.57解：由能量守恒定律得2012kkEEMV式中M为氦原子核的质量。由动量守恒定律得0 xmvMV0=mv+MVy解式、可得0kkMmEEMm德布罗意波长022kkhhmEMmmEMm取M=2m，则有3427
16、319036.63 10221.67 10101.6 10331.57 10nmkhmE 12。在室温下将一个氢原子放置在一个立方体盒中，此盒如此之小以至于它的能量至少有10%的确定性，此盒必须有多大？a=5.010-8m解：设此立方体盒的边长为a，氢原子的位置不确定两为,xayaza 根据不确定原理，动量的不确定量xyzhpppa22kpEm2222xxyyzzkppppppEm因，氢原子的能量不确定量 22223kxyzmEppp11222633kkkmEEhhEm aam设，得2310%102kkEEkT1223632102kThkTam按题意故 13。一束波长为0.20nm的光入射到一
17、个散射物体上，由于康普顿效应，散射光频率改变了0.04%，试求：（1）散射光所对应的散射角；（2）散射光子的能量。（1）14.750；（2）9.94110-16J0.04%c解：由题意知因光子的频率和波长的关系为2cc 0.04%故由此得出0.04%202sin2hm c 即由康普顿散射公式 得2043189234sin224 109.11 103 100.2 101.65 102 6.63 10m ch 。散射角14.75(2)散射光子的能量8341010163 106.63 102 102 100.04%9.941 10cchhhJ 14。在康普顿散射中，入射光子的波长为0.0024nm，
18、测得反冲电子的速率为0.7c，求：（1）反冲电子的动能；（2）散射光子的波长；（3）散射角；（4）反冲电子的运动方向。（1）0.205MeV；（2）3.9710-3nm；（3）69012；（4）和光子原运动方向成35036。解：(1)反冲电子的动能22222200000222318141.4010.40 9.11 103 103.28 100.205kmEmcm ccm cm cm cvcJMeV00kccEhhhh348346149036.63 103 106.63 103 103.28 100.0024 103.97 10khchcEnm (2)散射光子的波长202sin2hm c 203
19、18121234sin229.11 103 103.97 102.4 100.3242 6.63 10m ch (3)由，得 34 362691200hp于是，得，(4)参见右图，散射以前光子的动量，自由电子的动量00ep散射以后光子的动量hp电子的动量epmv系统在Y方向动量守恒sinsinhmv3431812sinsin6.63 100.93420.58251.40 9.11 100.7 3 103.97 10hmv 35 361221342128232736231026.63 1066.2 105.0 10m6.2 101.7 10kThamkT得。15。一位物理学家用一个尽可能大的物体
20、来论证不确定原理，他认为能以类似于可见光波的精度来测量位置，并希望用至少1m/s的速率能测量到百万分之一的精度，若此是令人信服的，试估计试验物体的质量为多大？1.210-21kg80.55 10m610kg m/spm vm 解：位置不确定量为（黄绿光波长），而动量不确定量 86340.55 10106.63 10 xxphm 211.2 10kgm根据不确定关系得 16。试用波尔理论计算处于基态的氢原子中电子的（1）轨道半径，（2）角动量，（3）总能量、动能、势能。（1）5.3110-11m，（2）1.05610-34kg.m2/s，（3）-13.6eV、13.6eV、-27.2eV解：(1
21、)轨道半径2202nhrnme当n=1时23412201223119116.63 108.85 103.14 9.11 101.60 105.31 10mhrme2hLn3434216.63 101.056 10kg ms22 3.14hL(2)轨道角动量当n=1时(3)动能2222234182311112221.056 102.18 10J13.6eV2 9.11 105.31 10kpLEmvmmr 2022 13.627.2eV4pkeEEr 213.6eVkpkkkEEEEEE势能总能量 17。如图所示，波长为0的A光子与一个运动的自由电子相碰，碰后电子静止，A光子消失，产生一个波长为
22、1 的B光子，B光子的运动方向与A光子的运动方向成=600角。B光子又与一个静止的自由电子相碰，碰后B光子消失，同时产生一个波长2=1.2510-10m的C光子。C光子的运动方向和B光子的运动方向成=600角。试求第一个运动电子碰撞前的德布罗意波长。1.2410-10mBAeeAB解：只要求出运动电子碰撞前的动量pe，根据德布罗意关系时，即可求得德布罗意波长e。发生两次碰撞均遵守能量守恒和动量守恒。即2010ehEhm c 01coscosehhp0sinsin0ehp式中Ee为碰撞前电子总能量，pe为碰前电子动量。电子的动量与能量关系2 222 40eep cEm c 将式、改写为01cos
23、cosehcph0sinsin0ehcp22211002cosecphhhh、二式得将式代入式得2222 4011002coseEm chhhh解、二式得0101coshm c第二次碰撞相当于第一次碰撞的逆过程，式和式同样适用，只需用2代替0即可，得2101coshm c比较、式，由于=，因此10201.25 10m 代入式，得101001cos1.238 10mhm c 22221 210121coseph 22221 01012cos1ehh 代入式，得即 22210101010112cos6011.25 101.238 101.238 101.25 10e101.24 10me代入0、1的值，得 18。白帜灯工作时的温度为2400K，灯丝可以看作黑体，如果灯的功率为100W，则灯丝的表面积多大？5.310-5m2
