1、 - 1 - 上学期 高 二数学 期末模拟 试题 06 一、填空题（每题 5分，共 70 分） 1、已知复数 2zi? ，则 13iz? 的虚部为 2、过点 (1,3)? 且平行于直线 032 ? yx 的直线方程为 3、已知长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为 1、 2 、 3 ，则这个长方体的外接球的表面积为 . 4、抛物线 24xy? 的焦点坐标为 5、 过点 )2,1( 作圆 01422 ? xyx 的切线方程为 6、函数 ( ) ln ( 0)f x x x x?的单调递增区间是 7、双曲线 22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?的离心率为 52 ，实轴长 4，则双
2、曲线的焦距等于 8、已知两条直线 ,mn，两个平面 ,?，给出下面四个命题： / ,m n m n? ? ? / , , /m n m n? ? ? ? ? ? / , / /m n m n? / , / ,m n m n? ? ? ? ? ? 其中正确命题的序号是 9、设直线 3y x b? ? 是曲线 323y x x? 的一条切线，则实数 b 的值是 10、 在平面直角坐标系 xOy 中 ,直线 3 4 5 0xy? ? ? 与圆 224xy?相交于 A 、 B 两点 ,则弦 AB的长等于 11、 观察下列各式： 2/3 3)( xx ? ； xx cos)(sin / ? ； xxxx
3、 ? ? 22)22( / ；xxxxx s inco s)co s( / ? 根据其中函数 )(xf 及其导函数 )(/ xf 的奇偶性，运用归纳推理可得到的一个命题是： 12、 已知 F1、 F2是椭圆的两个焦点，过 F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、 B两点，若 2ABF?是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是 13、 以下说 法 正确的有 （ 1） 命题 “ 若 2 3 2 0xx? ? ? ?则 x=1” 的逆否命题为 “ 若 x? 1,则 2 3 2 0xx? ? ? ” . - 2 - （ 2） “ 1x? ” 是 “ 2 3 2 0xx? ? ? ” 的充分不必要条件 .
4、 （ 3） 若 pq? 为假命题 ,则 p q、 均为假命题 . （ 4）若 命题 p: x?R,使得 2 10xx? ? ? ? 则 p?x?R,则 2 10xx? ? ? . 14、 已知 P是抛物线 y2 2x上的一个动点，过点 P作圆 (x 3)2 y2 1的切线，切点分别为 M、N，则 |MN|的最小值是 _ 二、解答题（共 90分） 15、（ 14 分） 已知 c 0，且 c1 ，设 p：函数 y xc 在 R 上单调递减； q：函数 f(x) 2x 2cx 1 在 ? ?12， 上为增函数，若 “ p q” 为假， “ p q” 为真，求实数 c的取值范围 16、 （ 14 分）
5、 如图，在正三棱柱 ABC A1B1C1中，点 D在边 BC 上，AD C1D (1)求证： AD 平面 BCC1B1； (2)如果点 E为 B1C1的中点，求证： A1E 平面 ADC1 17、（ 14分）已知直线 l 过两直线 0103 ? yx 和 02?yx 的交点，且直线 l 与点 )3,1(A 和点 )2,5(B 的距离相等，求直线 l 的方程。 18（ 16分）已知函数 cbxxaxxf ? 44 ln)( (x0)在 x = 1处取 得极值 c?3 ，其中 ,abc为常数。 （ 1）试确定 ,ab的值； （ 2）讨论函数 f(x)的单调区间； （ 3）若对任意 x0，不等式 2
6、2)( cxf ? 恒成立，求 c的取值范围。 19. （ 16分） 椭圆方程为 x2a2y2b2 1(ab0)的一个顶点为 A(0,2)，离心率 e63 . (1)求椭圆的方程； (2)直线 l： y kx 2(k0) 与椭圆相交于不同的两点 M， N满足 MP PN ， AP MN 0，求k. 20、（ 16 分） 已知 22:1O x y?和点 (4,2)M . - 3 - ( )过点 M 向 O 引切线 l ，求直线 l 的方程； ( )求以点 M 为圆心，且被 直线 21yx?截得的弦长为 4的 M 的方程 ； ( )设 P 为 （ ） 中 M 上任一点，过点 P 向 O 引切线，
7、切点为 Q . 试探究：平面内是否存在一定点 R ，使得 PQPR 为定值？若存在，请举出 一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由 . M x y o 第 20 题 - 4 - 参考答案 1、 12? 2、 072 ? yx 3、 14? 4、（ 0， 41 ） 5、 032 ? yx 6、 1,e?7、 25 8、 （ 1）（ 4） 9、 1 10、 23 11、 奇函数的导函数是偶函数 12、 55 13、 （ 1）（ 2）（ 4） 14、 4 55 15 16、（略） 17、由直线 l 与 BA, 的距离相等可知， ABl/ 或 l 过 AB 的中点， ABl/由? 得 l 的方程
8、为 014)3(411 ? yxxy 即 ABl过由 的中点得 l 的方程为 3?x ，故 014 ? yx 或 3?x 为所求。 18（ 16 分）解：（ 1）由题意知 (1) 3fc? ? ，因此 3b c c? ? ? ，从而 3b? 又对 ()fx求导得 ? ? 343 41ln4 bxxaxxaxxf ? 3 (4 ln 4 )x a x a b? ? ? 由题意 (1) 0f? ? ，因此 40ab?，解得 12a? （ 2）由（ 1）知 3( ) 48 lnf x x x? ? （ 0x? ），令 ( ) 0fx? ? ，解得 1x? 当 01x?时， ( ) 0fx? ? ，此
9、时 ()fx为减函数；当 1x? 时， ( ) 0fx? ? ，此时 ()fx为增函- 5 - 数 因此 ()fx的单调递减区间为 (01)， ，而 ()fx的单调递增区间为 (1 )?， （ 3）由（ 2）知， ()fx在 1x? 处取得极小值 (1) 3fc? ? ，此极小值也是最小值， 要使 2( ) 2f x c? （ 0x? ）恒成立，只需 232cc? ? ? 即 22 3 0cc? ，从而 (2 3)( 1) 0cc? ， 解得 32c 或 1c ? 所以 c 的取值范围为 3( 12? ? ? ? ?， ， 19、 解： (1)设 c a2 b2，依题意得? b 2，e ca
10、a2 b2a 63 ，即? b 2，6a2 9a2 9b2， a2 12，即椭圆方程为 x212y24 1. (2) MP PN ， AP MN 0 AP MN，且点 P为线段 MN 的中点由? y kx 2，x212y24 1，消去 y得 x2 3(kx 2)2 12 即 (1 3k2)x2 12kx 0(*)，由 k0 ，得方程 (*)的 ( 12k)2144k20，显然方程 (*)有两个不相等的实数根设 M(x1， y1)、 N(x2， y2)，线段 MN的中 点 P(x0，y0)，则 x1 x2 12k1 3k2， x0 x1 x22 6k1 3k2 y0 kx0 2 6k2 2(1 3k2)1 3k2 21 3k2，即P( 6k1 3k2， 21 3k2) k0 ， 直线 AP的斜率为 k1 21 3k2 26k1 3k2 2 2(1 3k2)6k . 由 MN AP，得 2 2(1 3k2)6k k 1， 2 2 6k2 6，解得 k 33 . - 6 -
