1、 第十一章第十一章 全等三角形全等三角形 测试测试 1 全等三角形的概念和性质全等三角形的概念和性质 学习要求学习要求 1理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素 2掌握全等三角形的性质；会利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某 些实际问题 课堂学习检测课堂学习检测 一、填空题一、填空题 1_的两个图形叫做全等形. 2 把两个全等的三角形重合到一起， _叫做对应顶点； 叫做对应边； _叫做对应角 记 两个三角形全等时，通常把表示_的字母写在_上 3全等三角形的对应边_，对应角_，这是全等三角形的重要性质 4如果ABCDEF，则 AB 的对应边是_，AC
2、的对应边是_，C 的对应角是 _，DEF 的对应角是_ 图 11 5如图 11 所示，ABCDCB（1）若D74DBC38，则A_， ABC_ （2）如果 ACDB，请指出其他的对应边_； （3）如果AOBDOC，请指出所有的对应边_，对应角_ 图 12 图 13 6如图 12，已知ABEDCE，AE2 cm，BE1.5 cm，A25，B48；那 么 DE_cm，EC_cm，C_；D_ 7一个图形经过平移、翻折、旋转后，_变化了，但_都没有改变，即平移、 翻折、旋转前后的图形 二、选择题二、选择题 8已知：如图 13，ABDCDB，若 ABCD，则 AB 的对应边是 （ ） ADB BBC C
3、CD DAD 9下列命题中，真命题的个数是 （ ） 全等三角形的周长相等 全等三角形的对应角相等 全等三角形的面积相等 面积相等的两个三角形全等 A4 B3 C2 D1 10如图 14，ABCBAD，A 和 B、C 和 D 是对应顶点，如果 AB5，BD6，AD 4，那么 BC 等于 （ ） A6 B5 C4 D无法确定 图 1-4 图 1-5 图 1-6 11如图 15，ABCAEF，若ABC 和AEF 是对应角，则EAC 等于 （ ） AACB BCAF CBAF DBAC 12如图 16，ABCADE，若B80，C30，DAC35，则EAC 的 度数为 （ ） A40 B35 C30 D
4、25 三、解答题三、解答题 13已知：如图 17 所示，以 B 为中心，将 RtEBC 绕 B 点逆时针旋转 90得到ABD， 若E35，求ADB 的度数 图 17 图 18 图 19 综合、运用、诊断综合、运用、诊断 一、填空题 14 如图 18， ABE 和ADC 是ABC 分别沿着 AB， AC 翻折 180形成的若12 32853，则的度数为_ 15已知：如图 19，ABCDEF，A85，B60，AB8，EH2 （1）求F 的度数与 DH 的长； （2）求证：ABDE 拓展、探究、思考拓展、探究、思考 16如图 110，ABBC，ABEECD判断 AE 与 DE 的关系，并证明你的结论
5、 图 110 测试测试 2 三角形全等的条件（一）三角形全等的条件（一） 学习要求学习要求 1理解和掌握全等三角形判定方法 1“边边边”， 2能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等 课堂学习检测课堂学习检测 一、填空题一、填空题 1判断_的_ 叫做证明三角形全等 2全等三角形判定方法 1“边边边”（即_）指的是_ _ 3由全等三角形判定方法 1“边边边”可以得出：当三角形的三边长度一定时，这个 三角形的_也就确定了 图 21 图 22 图 23 4已知：如图 21，RPQ 中，RPRQ，M 为 PQ 的中点 求证：RM 平分PRQ 分析：要证 RM 平分PRQ，即P
6、RM_， 只要证_ 证明： M 为 PQ 的中点（已知）， _ 在_和_中， ),_(_ _, ),( PM RQRP已知 _（ ） PRM_（_） 即 RM 5已知：如图 22，ABDE，ACDF，BECF. 求证：AD 分析：要证AD，只要证_ 证明：BECF （ ）， BC_ 在ABC 和DEF 中， _, _, _, AC BC AB _（ ） AD （_） 6如图 23，CEDE，EAEB，CADB， 求证：ABCBAD 证明：CEDE，EAEB， _， 即_ 在ABC 和BAD 中， _（已知）， ),_(_ ),_(_ ),_(_ 已证 已知 ABCBAD （ ） 综合、运用、诊
7、断综合、运用、诊断 一、解答题一、解答题 7已知：如图 24，ADBCACBD试证明：CADDBC. 图 24 8画一画 已知：如图 25，线段 a、b、c 求作：ABC，使得 BCa，ACb，ABc 图 25 9“三月三，放风筝”图 26 是小明制作的风筝，他根据 DEDF，EHFH，不用度 量，就知道DEHDFH请你用所学的知识证明 图 26 拓展、探究、思考拓展、探究、思考 10画一画，想一想： 利用圆规和直尺可以作一个角等于已知角，你能说明其作法的理论依据吗？ 测试测试 3 三角形全等的条件三角形全等的条件 （二）（二） 学习要求学习要求 1理解和掌握全等三角形判定方法 2“边角边”
8、2能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等 图 31 图 32 课堂学习检测课堂学习检测 一、填空题一、填空题 1全等三角形判定方法 2“边角边” （即_）指的是_ _ 2已知：如图 31，AB、CD 相交于 O 点，AOCO，ODOB 求证：DB 分析：要证DB，只要证_ 证明：在AOD 与COB 中， ),_( ),_(_ ),( OD COAO AOD_ （ ） DB （_） 3已知：如图 32，ABCD，ABCD求证：ADBC 分析：要证 ADBC，只要证_， 又需证_ 证明： ABCD （ ）， _ （ ）， 在_和_中， ),_(_ ),_(_ ),_(_
9、 _ （ ） _ （ ） _（ ） 综合、运用、诊断综合、运用、诊断 一、解答题一、解答题 4已知：如图 33，ABAC，BADCAD 求证：BC 图 33 5已知：如图 34，ABAC，BECD 求证：BC 图 34 6已知：如图 35，ABAD，ACAE，12 求证：BCDE 图 35 拓展、探究、思考拓展、探究、思考 7如图 36，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 （A、B、D 三点共线，ABCB， EBDB，ABCEBD90），连接 AE、CD，试确定 AE 与 CD 的位置与数量关 系，并证明你的结论 图 36 测试测试 4 三角形全等的条件三角形全等的条件 （三）（三） 学习要
10、求学习要求 1理解和掌握全等三角形判定方法 3“角边角”，判定方法 4“角角边”；能 运用它们判定两个三角形全等 2能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等 课堂学习检测课堂学习检测 一、填空题一、填空题 1（1）全等三角形判定方法 3“角边角”（即_）指的是_ _； （2）全等三角形判定方法 4“角角边” （即_）指的是_ _ 图 41 2已知：如图 41，PMPN，MN求证：AMBN 分析：PMPN， 要证 AMBN，只要证 PA_， 只要证_ 证明：在_与_中， ),_(_ ),_(_ ),_(_ _ （ ） PA_ （ ） PMPN （ ）， PM_PN_，即
11、 AM_ 3已知：如图 42，ACBD求证：OAOB，OCOD 分析：要证 OAOB，OCOD，只要证_ 证明： ACBD， C_ 在_与_中， ),_(_ ),_( ),_( C AOC _ （ ） OAOB，OCOD （ ） 图 42 二、选择题二、选择题 4能确定ABCDEF 的条件是 （ ） AABDE，BCEF，AE BABDE，BCEF，CE CAE，ABEF，BD DAD，ABDE，BE 5如图 43，已知ABC 的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和ABC 全等的 图形是 （ ） 图 43 A甲和乙 B乙和丙 C只有乙 D只有丙 6AD 是ABC 的角平分线，作 DEAB
12、 于 E，DFAC 于 F，下列结论错误的是（ ） ADEDF BAEAF CBDCD DADEADF 三、解答题三、解答题 7阅读下题及一位同学的解答过程：如图 44，AB 和 CD 相交于点 O，且 OAOB，A C那么AOD 与COB 全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理 由 答：AODCOB 证明：在AOD 和COB 中， 图 44 ),( ),( ),( 对顶角相等 已知 已知 COBAOD OBOA CA AODCOB （ASA） 问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？ 综合、应用、诊断综合、应用、诊断 8已知：如图 45，ABAE，ADAC，EB，DECB 求
13、证：ADAC 图 45 9已知：如图 46，在MPN 中，H 是高 MQ 和 NR 的交点，且 MQNQ 求证：HNPM. 图 46 10已知：AM 是ABC 的一条中线，BEAM 的延长线于 E，CFAM 于 F，BC10，BE 4求 BM、CF 的长 拓展、探究、思考拓展、探究、思考 11填空题 （1）已知：如图 47，ABAC，BDAC 于 D，CEAB 于 E.欲证明 BDCE，需 证明_，理由为_ （2） 已知： 如图 48， AEDF， AD， 欲证ACEDBF， 需要添加条件_, 证明全等的理由是_；或添加条件_，证明全等的理由是_；也可以 添加条件_，证明全等的理由是_ 图 4
14、7 图 48 12如图 49，已知ABCABC，AD、AD分别是ABC 和ABC的角平分线 （1）请证明 ADAD； （2）把上述结论用文字叙述出来； （3）你还能得出其他类似的结论吗？ 图 49 13如图 410，在ABC 中，ACB90，ACBC，直线 l 经过顶点 C，过 A、B 两点 分别作 l 的垂线 AE、BF，E、F 为垂足 （1）当直线 l 不与底边 AB 相交时，求证：EFAEBF 图 410 （2）如图 411，将直线 l 绕点 C 顺时针旋转，使 l 与底边 AB 交于点 D，请你探究直 线 l 在如下位置时，EF、AE、BF 之间的关系 ADBD；ADBD；ADBD 图
15、 411 测试测试 5 直角三角形全等的条件直角三角形全等的条件 学习要求学习要求 掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法一“斜边、直角边” （即“HL”），能熟练 地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形全等的特殊方法判定两个直角三角形全 等 课堂学习检测课堂学习检测 一、填空题一、填空题 1判定两直角三角形全等的“HL”这种特殊方法指的是_ 2直角三角形全等的判定方法有_ （用简写） 3如图 51，E、B、F、C 在同一条直线上，若DA90，EBFC，ABDF则 ABC_，全等的根据是_ 图 51 4判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“”，全等的注明理由： （1）一个锐
16、角和这个角的对边对应相等；（ ） （2）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（ ） （3）一个锐角和斜边对应相等； （ ） （4）两直角边对应相等； （ ） （5）一条直角边和斜边对应相等 （ ） 二、选择题二、选择题 5下列说法正确的是 （ ） A一直角边对应相等的两个直角三角形全等 B斜边相等的两个直角三角形全等 C斜边相等的两个等腰直角三角形全等 D一边长相等的两等腰直角三角形全等 6如图 52，ABAC，AD BC 于 D，E、F 为 AD 上的点，则图中共有（ ）对全等 三角形 A3 B4 C5 D6 图 52 三、解答题三、解答题 7已知：如图 53，ABBD，CDBD，ADBC 求证
17、：（1）ABDC： （2）ADBC 图 53 8已知：如图 54，ACBD，ADAC，BCBD 求证：ADBC； 图 54 综合、运用、诊断综合、运用、诊断 9已知：如图 55，AEAB，BCAB，AEAB，EDAC 求证：EDAC 图 55 10已知：如图 56，DEAC，BFAC，ADBC，DEBF. 求证：ABDC. 图 56 11用三角板可按下面方法画角平分线：在已知AOB 的两边上，分别取 OMON （如图 57），再分别过点 M、N 作 OA、OB 的垂线，交点为 P，画射线 OP，则 OP 平分 AOB，请你说出其中的道理 图 57 拓展、探究、思考拓展、探究、思考 12下列说法
18、中，正确的画“”；错误的画“”，并作图举出反例 （1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等（ ） （2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等（ ） （3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等（ ） 13（1）已知：如图 58，线段 AC、BD 交于 O，AOB 为钝角，ABCD，BFAC 于 F，DEAC 于 E，AECF 求证：BODO 图 58 （2）若AOB 为锐角，其他条件不变，请画出图形并判断 （1）中的结论是否仍然成 立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由 测试测试 6 三角形全等的条件三角形全等的条件 （四）（四） 学习要求学习要求 能熟练运
19、用三角形全等的判定方法进行推理并解决某些问题 课堂学习检测课堂学习检测 一、填空题一、填空题 1两个三角形全等的判定依据除定义外，还有_；_；_；_； _ 2如图 61，要判定ABCADE，除去公共角A 外，在下列横线上写出还需要的两 个条件，并在括号内写出由这些条件直接判定两个三角形全等的依据 （1）BD，ABAD（ ）； （2）_，_（ ）； （3）_，_（ ）； （4）_，_（ ）； （5）_，_（ ）； （6）_，_（ ）； （7）_，_（ ） 图 61 3如图 62，已知 ABCF，DE CF，垂足分别为 B，E，ABDE请添加一个适当条 件，使ABCDEF，并说明理由 添加条件：_
20、， 理由是：_ 图 62 4在ABC 和DEF 中，若BE90，A34，D56，ACDF，贝 ABC 和DEF 是否全等？答：_，理由是_ 二、选择二、选择题题 5下列命题中正确的有 （ ）个 三个内角对应相等的两个三角形全等； 三条边对应相等的两个三角形全等； 有两角和一边分别相等的两个三角形全等； 等底等高的两个三角形全等 A1 B2 C3 D4 6如图 63，ABCD，ADCB，AC、BD 交于 O，图中有 （ ）对全等三角形 A2 B3 C4 D5 图 63 7如图 64，若 ABCD，DEAF，CFBE，AFB80，D60，则B 的度 数是 （ ） A80 B60 C40 D20 8
21、如图 65，ABC 中，若BC，BDCE，CDBF，则EDF （ ） A90A BA 2 1 90o C1802A DA 2 1 45o 图 64 图 65 图 66 9下列各组条件中，可保证ABC 与ABC全等的是 （ ） AAA，BB，CC BABAB，ACAC，BB CABCB，AB，CC DCBAB，ACAC，BABC 10如图 66，已知 MBND，MBANDC，下列条件不能判定ABMCDN 的是 （ ） AMN BABCD CAMCN DAMCN 综合、运用、诊断综合、运用、诊断 一、解答题一、解答题 11已知：如图 67，ADAE，ABAC，DAEBAC 求证：BDCE 图 67
22、 12已知：如图 68，AC 与 BD 交于 O 点，ABDC，ABDC （1）求证：AC 与 BD 互相平分； 图 68 （2）若过 O 点作直线 l，分别交 AB、DC 于 E、F 两点， 求证：OEOF. 13如图 69，E 在 AB 上，12，34，那么 AC 等于 AD 吗？为什么？ 图 69 拓展、探究、思考拓展、探究、思考 14如图 610，ABC 的三个顶点分别在 23 方格的 3 个格点上，请你试着再在格点上 找出三个点 D、E、F，使得DEFABC，这样的三角形你能找到几个？请一一画出 来 图 610 15请分别按给出的条件画ABC （标上小题号，不写作法），并说明所作的三
23、角形是否 唯一；如果有不唯一的，想一想，为什么？ B120，AB2cm，AC4cm； B90，AB2cm，AC3cm； B30，AB2cm，AC3cm； B30，AB2cm，AC2cm； B30，AB2cm，AC1cm； B30，AB2cm，AC1.5cm 测试测试 7 三角形全等的条件三角形全等的条件 （五）（五） 学习要求学习要求 能熟练运用三角形全等的知识综合解决问题 课堂学习检测课堂学习检测 解答题解答题 1如图 71，小明与小敏玩跷跷板游戏如果跷跷板的支点 O （即跷跷板的中点）到地 面的距离是 50 cm，当小敏从水平位置 CD 下降 40 cm 时，小明这时离地面的高度是多 少？
24、请用所学的全等三角形的知识说明其中的道理 图 71 2如图 72，工人师傅要在墙壁的 O 处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的 B 点处打开， 墙壁厚是 35 cm，B 点与 O 点的铅直距离 AB 长是 20 cm，工人师傅在旁边墙上与 AO 水 平的线上截取 OC35 cm，画 CDOC，使 CD20 cm，连接 OD，然后沿着 DO 的方 向打孔，结果钻头正好从 B 点处打出，这是什么道理呢？请你说出理由 图 72 3如图 73，公园里有一条“Z”字形道路 ABCD，其中 ABCD，在 AB、BC、CD 三段 路旁各有一只小石凳 E，F，M，且 BECF，M 在 BC 的中点，试判断三只石凳
25、 E，M， F 恰好在一直线上吗？为什么？ 图 73 4在一池塘边有 A、B 两棵树，如图 74试设计两种方案，测量 A、B 两棵树之间的距 离 方案一： 方案二： 图 74 测试测试 8 角的平分线的性质角的平分线的性质 （一）（一） 学习要求学习要求 1掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质 2掌握角平分线的判定及角平分线的画法 课堂学习检测课堂学习检测 一、填空题一、填空题 1_叫做角的平分线 2角的平分线的性质是_ 它的题设是_，结论是_ 3到角的两边距离相等的点，在_.所以，如果点 P 到AOB 两边的距离相等，那么射 线 OP 是_ 4完成下列各命题，注意它们之间的区别
26、与联系 （1）如果一个点在角的平分线上，那么_； （2）如果一个点到角的两边的距离相等，那么_； （3）综上所述，角的平分线是_的集合 5（1）三角形的三条角平分线_它到_ （2）三角形内，到三边距离相等的点是_ 6如图 81， 已知C90， AD 平分BAC，BD2CD，若点 D 到 AB 的距离等于 5cm， 则 BC 的长为_cm 图 81 二、作图题二、作图题 7已知：如图 82，AOB 求作：AOB 的平分线 OC 作法： 图 82 8已知：如图 83，直线 AB 及其上一点 P 求作：直线 MN，使得 MNAB 于 P 作法： 图 83 9已知：如图 84，AB C 求作：点 P，
27、使得点 P 在ABC 内，且到三边 AB、BC、CA 的距离相等 作法： 图 84 综合、运用、诊断综合、运用、诊断 一、解答题一、解答题 10已知：如图 85，ABC 中，ABAC，D 是 BC 的中点，DEAB 于 E，DFAC 于 F. 求证：DEDF 图 85 11已知：如图 86，CDAB 于 D，BEAC 于 E，CD、BE 交于 O，12 求证：OBOC. 图 86 12已知：如图 87，ABC 中，C90，试在 AC 上找一点 P，使 P 到斜边的距离等 于 PC（画出图形，并写出画法） 图 87 拓展、探究、思考拓展、探究、思考 13已知：如图 88，直线 l1，l2，l3表
28、示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求 它到三条公路的距离都相等，试问： （1）可选择的地点有几处？ （2）你能画出塔台的位置吗？ 图 88 14已知：如图 89，四条直线两两相交，相交部分的线段构成正方形 ABCD试问：是 否存在到至少三边所在的直线的距离都相等的点？若存在， 请找出此点， 这样的点有几 个？若不存在，请说明理由 图 89 测试测试 9 角的平分线的性角的平分线的性质质 （二）（二） 学习要求学习要求 熟练运用角的平分线的性质解决问题 课堂学习检测课堂学习检测 一、选择题一、选择题 1如图 91，若 OP 平分AOB，PCOA，PDOB，垂足分别是 C、D，则下列结论中
29、 错误的是 （ ） APCPD BOCOD CCPODPO DOCPC 图 91 2如图 92，在 RtABC 中，C90，BD 是ABC 的平分线，交 AC 于 D，若 CD n，ABm，则ABD 的面积是（ ） Amn 3 1 Bmn 2 1 Cmn D2mn 图 92 二、填空题二、填空题 3已知：如图 93，在 RtABC 中，C90，沿着过点 B 的一条直线 BE 折叠ABC， 使 C 点恰好落在 AB 边的中点 D 处，则A 的度数等于_ 图 93 4已知：如图 94，在ABC 中，BD、CE 分别平分ABC、ACB，且 BD、CE 交于点 O，过 O 作 OPBC 于 P，OMA
30、B 于 M，ONAC 于 N，则 OP、OM、ON 的大小关 系为_ 图 94 三、解答题三、解答题 5已知：如图 95，OD 平分POQ，在 OP、OQ 边上取 OAOB，点 C 在 OD 上，CM AD 于 M，CNBD 于 N. 求证：CMCN 图 95 6已知：如图 96，ABC 的外角CBD 和BCE 的平分线 BF、CF 交于点 F. 求证：一点 F 必在DAE 的平分线上 图 96 7已知：如图 97，A、B、C、D 四点在MON 的边上，ABCD，P 为MON 内一点， 并且PAB 的面积与PCD 的面积相等 求证：射线 OP 是MON 的平分线 图 97 8如图 98，在ABC 中，C90，BD 平分ABC，DEAB 于 E，若BCD 与 BCA 的面积比为 38，求ADE 与BCA 的面积之比 图 98 9已知：如图 99，BC90，M 是 BC 的中点，DM 平分ADC （1）求证：AM 平分DAB； （2）猜想 AM 与 DM 的位置关系如何？并证明你的结论 图 99 拓展、探究、思考拓展、探究、思考 10已知：如图 910，在ABC 中，AD 是ABC 的角平分线，E、F 分别是 AB、AC 上 一点，并且有EDFEAF180试判断 DE 和 DF 的大小关系并说明理由 图 910
