1、 1 2016 2017 学年 度 第一学期期末考试试卷 高二数学（理科） 注意事项： 1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效 . 2.本试卷分第卷（选择题 ）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120分钟 . 第 I 卷 一、 选择题 :（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设命题 2 1: , 04p x x x? ? ? ? ?R ，则 p? 为 （ ） A. 2 1,04x x x? ? ? ? ?R B. 2 1,04x x x? ? ? ? ?R C. 2 1,04x x x? ? ? ? ?R
2、 D. 2 1,04x x x? ? ? ? ?R 2.已知 椭圆 2215xyk ?的一个焦点坐标为 (2,0) ，则 k 的值为 （ ） A 1 B 3 C 9 D 81 3.已知 ,abc均为实数，则 “ 2b ac? ”是“ ,abc构成等比数列”的 （ ） A 必要不充分条件 B 充分不必要条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 4.抛物线 2 14xy? 的准线方程是 （ ） A 116x? B 116x? C 116y? D. 116y? 5.在等差数列 ?na 中， 1 3 4 5 61, 2 0 ,a a a a a? ? ? ? ?则 8a? （ ） A 7 B 8
3、C 9 D 10 6.已知 ABC? 的 两个 顶点 ? ? ? ?5,0 , 5,0AB? ，周长为 22，则顶点 C 的轨迹方程是（ ） A 22136 11xy?B ? ?221036 11xy y? ? ? C 2219 16xy?D ? ?22109 16xy y? ? ? 2 7.函数 ? ? lnxfx x? ，则 （ ） A xe? 为函数 ?fx的极大值点 B xe? 为函数 ?fx的极小值点 C 1x e? 为函数 ?fx的极大值点 D 1x e? 为函数 ?fx的极小值点 8.如图所示， 在正方体 1 1 1 1-ABCD A B C D中，已知 MN， 分别是 BD 和
4、 AD 的中点，则1BM 与 1DN所成角的余弦值为 （ ） A 3010 B. 3015 C. 3030 D. 1515 （第 8 题 图） 9.已知数列 ?na ， 1a 1，1 2 2nn naa a? ? ?， 则 10a 的 值 为 （ ） A.5B. 15 C.112D. 211 10.若函数 32( ) 1f x x x mx? ? ? ?是 R 上的单调函数， 则实数 m 的取值范围是 （ ） A. 1( , )3? B. 1( , )3? C. 1 , )3? D. 1( , 3? 11.已知 ? ?, 0,xy? ? ，且满足 1122xy?，那么 4xy? 的最小值为 （
5、 ） A 3 22? B 23 2? C 3 22? D 23 2? 12.已知 1F ， 2F 是双曲线 22: 1 ( 0 , 0 )xyC a bab? ? ? ?的左、右 焦点，若直线 yx? 与双曲线 C 交于 P ， Q 两点，且四边形 12PFQF 为矩形，则双曲线的离心率为 （ ） 3 A 26? B. 26? C.22? D. 22? 第 II 卷 二 、 填空题 :（本大题共 4 小题 ,每小题 5 分 ,共 20 分 ,把答案填在答卷纸的相应位置上 ） 13.若 )1,2,7(),0,3,1(),5,2,3( ? cba ， 则 ? cba )( _. 14.1 1ee
6、dxx ?_. 15. 椭圆 C 的中心在 坐标原点， 左 、 右 焦点 12,FF在 x 轴上， 已知 ,AB分别是椭圆的上顶点和右顶点， P 是椭圆上一点，且 1PF x? 轴， 2 /PF AB ，则此椭圆的离心率为 _. 16.已知 ( , )f x y ax by?， 若 1 (1,1) 2f?且 -1 (1 , 1) 1f? ? ?， 则 (2,1)f 的取值范围为 _. 三 、 解答题： (本大题共 6 小题 ,共 70 分 ,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17.(本小题满分 10 分 ) 设数列 ?na 满足 1 1a? ， 1 3nnaa? ? ， n?+N （
7、）求 ?na 的通项公式及前 n 项和 nS ； （）已知 ?nb 是等差数列，且 满足 12ba? ， 3 1 2 3b a a a? ? ? ， 求数列 ?nb 的 通项 公式 . 18.(本小题满分 12 分 ) 已知抛物线 ? ?2 20y px p?，焦点到准线的距离为 4，过点 ? ?1, 1P ? 的直线交抛物线于,AB两点 . （）求抛物线的方程； （）如果点 P 恰是线段 AB 的中点，求直线 AB 的方程 . 4 19. (本小题满分 12 分 ) 如图，直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中， ,DE分别是 1,ABBB 的中点， 1 2 , 2 2A A A C C
8、B A B? ? ? ?. ( )证明： 1BC 平面 1ACD ； ( )求 锐 二面角 1D AC E?的 余 弦值 . （第 19 题 图） 20.（本小题满分 12 分） 在圆 224xy?上任取一点 P ， 点 P 在 x 轴的正射影为点 Q ，当点 P 在圆上运动时，动点 M 满足 2PQ MQ?uuur uuur ，动点 M 形成的 轨迹为曲线 C . （） 求 曲线 C 的方程； （） 点 (2,0)A 在 曲线 C 上， 过点 ? ?1,0 的直线 l 交 曲线 C 于 ,BD两点，设直线 AB 斜率 为 1k ，直线 AD 斜率为 2k ， 求证： 12kk 为定值 . 2
9、1.（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 ABCDP? 中，底面 ABCD 为平行四边形， 22 ? ADAB ， 3?DAB ， DCPDADPD ? , . ( )证明：平面 ?PBC 平面 PBD ； （第 21 题 图） ( )若二面角 DBCP ? 为 6? ，求 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值 . 22.（本小题满分 12 分） 设函数 ? ? 2 xf x x e? （）求曲线 ?fx在点 ? ?1,e 处的切线方程； （） 若 ? ?f x ax? 对 ? ?,0x? 恒成立，求 实数 a 的取值范围； （）求整数 n 的值，使函数 ? ? ? ? 1F x f x x
10、?在区间 ? ?,1nn? 上有零点 5 2016 2017 学年度第一学期期末考试 高二数学（理科）参考答案 一选择题 1 B 2. C 3. A 4.D 5.C 6.B 7.A 8.A 9.D 10.C 11.C 12.D 二填空题 13. 7? 14. 2 15. 55 16. 71,2?三解答题 17. （） 由题设可知 ?na 是首项为 1，公比为 3 的等比数列，? 2分 所以 13nna ? ，? 4分 1 3 3 11 3 2nnnS ? ? 6分 （） 设数列 ?nb 的公差为 d 1 2 3 1 2 3 33 , 1 3b a b a a a S? ? ? ? ? ? ?，
11、 31 10 2b b d? ? ? ?， 5,d? ? 8 分 52nbn? ? ? ? 10分 18. （） 由题设可知 4p? ，所以抛物线方程为 2 8yx? ? 4 分 （） 方法一：设 1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x y，则 1 2 1 22 , 2x x y y? ? ? ? ? 又 21122288yxyx? ?，相减整理得 121 2 1 288 42yyx x y y? ? ? ? ? ? ? 8分 6 所以直线 AB 的方程是 4( 1) 1yx? ? ?，即 4 3 0xy? ? ? .? 12 分 方法二： 由题设可知直线 AB 的斜率存在
12、， 设直线 AB 的方程为 ( 1) 1y k x? ? ? ， 1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x y， 由 2 8( 1) 1yxy k x? ? ? ? ?，消去 x ，得 2 8 8 8 0ky y k? ? ? ?，? 6分 易知 213 2 ( ) 5 6 02k? ? ? ? ?，128yyk?， 又 122yy? ? 所以 8 2k? ， 4k? ? 8分 所以直线 AB 的方程是 4( 1) 1yx? ? ?，即 4 3 0xy? ? ? .? 12分 19.解： ( )连结 1AC ,交 1AC 于点 O ，连结 DO ,则 O 为 1AC 的中点，
13、因为 D 为 AB 的中点，所以 OD 1BC ,又因为 OD ? 平面 1ACD , 1BC? 平面 1ACD , 1BC? 平面1ACD ? 4 分 ( )由 1 2 , 2 2A A A C C B A B? ? ? ?，可知 AC BC? ,以 C 为坐标原点， CA 方向为x 轴正方向， CB 方向为 y 轴正方向， 1CC 方向为 z轴正方向，建立空间直角坐标系 Cxyz ， 则 ? ? ? ? ? ?11 , 1 , 0 , 0 , 2 , 1 , 2 , 0 , 2D E A, ? ?1,1,0CD? , ? ?0,2,1CE? , ? ?1 2,0,2CA ? 设 ? ?,n
14、 x y z? 是 平 面 1ACD 的 法 向 量 ， 则7 100n CDn CA? ? 即 02 2 0xyxz? ?可取 ? ?1, 1, 1n? ? ? .? 6 分 同理，设 m 是平面 1ACE 的法向量，则100m CEm CA? ?， 可取 ? ?2,1, 2m?.? 8 分 从而 3c o s ,3nmnm nm? ? ? ? 10 分所以锐二面角 1D AC E?的余弦值为 33 ? ? 12 分 20. 解： （）设点 M坐标为 ? ?,xy，点 P的坐标为 ? ?00,xy，则00, 2yx x y?因为点 ? ?00,P x y在圆224xy?，所以 22004?
15、把 00,2x x y y?代入方程，得 44xy，即2 2 14x y， 所以曲线 C 的方程为 2 2 14x y?.? 4分 （）方法一： 由 题意 知 直 线 l 斜率不为 0，设直线 l 方程为 1x my?，1 1 2 2( , ), ( , )B x y D x y 由 2 2 141x yx my? ? ?消去 x ， 得 22( 4 ) 2 3 0m y m y? ? ? ?， 易知 216 48 0m? ? ? ?，得1 2 1 22223,44my y y ymm? ? ? ? ? 8分 1 2 1 2 1 212 21 2 1 2 1 2 1 2( 2 ) ( 2 )
16、( 1 ) ( 1 ) ( ) 1y y y y y ykk x x m y m y m y y m y y? ? ? ? ? ? ? ? ? 8 2 2 2333 2 4 4m m m? ? ? ? ? ?所以12 34kk?为定值? ? ? 12 分 方法二：（）当直线 l 斜率不存在时， 33(1, ) , (1, )22BD? 所以 1233 3221 2 1 2 4kk ? ? ? ? ? 6分 （）当直线 l 斜率存在时，设直线 l 方程为 ( 1)y k x?， 1 1 2 2( , ), ( , )B x y D x y 由 2 2 14( 1)x yy k x? ? ?消去
17、y ， 得 2 2 2 2(1 4 ) 8 4 4 0k x k x k? ? ? ? ?， 易知 248 16 0k? ? ? ?， 221 2 1 28 4 4,1 4 1 4kkx x x x ? ? ? ? ? 8分 ? ?22 1 2 1 21 2 1 2121 2 1 2 1 2 1 2( ) 1( 1 ) ( 1 )( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 2 ( ) 4k x x x xy y k x xkk x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 22 2 2( 4 4 8 1 4 34 4 1 6 4 1 6 4k k k kk k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ）所 以12 34kk?为定值? ? ?
