1、 - 1 - 2017-2018 学年高二上学期期末考试数学（文）试题 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 对于常数 mn、 ，“ 0mn? ” 是“方程 221mx ny?的曲 线 是双曲 线“的”（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分 也不必要条件 2.若 0ab? ， 则下列不等式中 错误 的是 （ ） A 11a b a?B 11ab?C.ab? D 22ab? 3.下列函数中，最小值为 4 的是 （ ） A 3log 4l
2、og 3xyx? B 4xxy e e? C. ? ?4sin 0siny x xx ? ? ? ?D 4yxx?4.已知实数 ,xy满足 223yxyxx?， 则目标函数 2z x y? 的最小值是 （ ） A 9? B 15 C. 0 D 10? 5.下列命题中，说法 错误 的是（ ） A.“若 p ， 则 q ”的否命题是“若 p? ， 则 q? ” B.“ pq? 是真命题 ”是“ pq? 是真命题 ”的充分不必要条件 C.“ 22, 2 0x x x? ? ? ? ”的否定是“ 22, 2 0x x x? ? ? ? ” D.“若 0b? ， 则 ? ? 2f x ax bx c?
3、? ?是偶函数 ”的逆命题是真命题 6.设 0, 0ab?， 若 3 是 3a 与 23b 的等比中项 ， 则 21ab?的最 小值为 （ ） A 5 B 6 C. 7 D 8 7.已知 12,FF分别 是 椭圆 221xyab?的左 、 右焦点 ， P 是以 12FF 为直径的圆与该椭圆的一个交点 ， 且 1 2 2 12PF F PF F? ? ? ， 则这个 椭圆 的离心率是 （ ） A 31? B 23? C. 312?D 232?- 2 - 8.设 nS 为等比数列 ?na 的前 n 项和 ， 2580aa?， 则 84SS? （ ） A 1716B 12C. 2 D 17 9.在等
4、差数列 ?na 中， nS 是其前 n 项和 ， 1 11a? ， 10 8 210 8SS?， 则 11S? （ ） A 11 B 11? C. 10 D 10? 10.设 12,FF分别是双曲线 ? ?22: 1 0, 0xyC a bab? ? ? ?的左右焦点 ， 点 ? ?,Mab .若12 30MFF? ? ? ， 则 双曲线 C 的离心率为 （ ） A 32B 2 C. 2 D 3 11.设 ?na 为等差数列，若1110 1aa ? ， 且它的前 n 项和 nS 有 最 小 值，那么 当 nS 取得最小正值时的 n 值为 （ ） A 18 B 19 C. 20 D 21 12.
5、已知 定义在 R 上的奇函数 ?fx的导函数为 ?fx? ， 当 0x? 时， ?fx满足，? ? ? ? ? ?2 f x xf x xf x?， 则 ?fx在 R 上的零点个数为 （ ） A 5 B 3 C. 1 或 3 D 1 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.函数 ? ? 322332f x x x x? ? ? ?的递增区间为 14.在数列 ?na 中，2337,23aa?， 且数列 ? ?1nna? 是等比数列 ， 则 na? 15.已知函数 ? ? ? ?xeaf x a Rx?， 若函数 ?fx在区间 ? ?2,4 上
6、是单调增函数，则实数 a 的取值范围是 16.抛物线 ? ?2 20y px p?的焦点为 F ， 已知 点 ,AB为抛物线上的两个动点，且满足120AFB? ? ? ,过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN ， 垂足为 N ， 则 MNAB 的最 大值为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 若数列 ?na 满足 ? ?*111, 2 1 , 2nna a a n N n? ? ? ? ? ?. - 3 - （ 1） 求证：数列 ? ?1na? 是等比数列，并求数列 ?na 的通项公式 ； （ 2） 设 ? ?2lo
7、g 1nnba?， 若数列 ? ?*11nn nNbb? 的 前 n 项和为 nT ， 求证 ： 1nT? . 18. 已知 函数 ? ? ? ? ? ?2 1 1 0f x a x a x a? ? ? ? ?. （ 1） 若 ? ? 2fx? 在 R 上恒成立，求实数 a 的取值范围； （ 2） 解关于 x 的不等式 ? ? 0fx? . 19.已知 过点 ? ?4,0A? 的动直线 l 与抛物线 ? ?2: 2 0G x py p?相交于 ,BC两点 .当直线 l 的斜率是 12时， 4AC AB? . （ 1） 求抛物线 G 的方程 ； （ 2） 设线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截
8、距为 b ，求 b 的取值范围 . 20.已知 数列 ? ? ?,nnab， nS 为 数列 ?na 的前 n 项和 ， 214 , 2 2nna b S a? ? ?，? ? ? ?2*1 1nnn b n b n n n N? ? ? ? ? ?. （ 1） 求 数列 ?na 的通项公式 ； （ 2） 证明 nbn?为等差数列 . （ 3） 若数列 ?nc 的通项公式为 ,2,4nnnnnab nc abn? ?为 奇 数为 偶 数， 令 2 1 2n n np c c?.nT 为 ?np 的前 n 项的和，求 nT . 21.已知椭圆 22143xy?的左顶点为 A ， 右焦点为 F ，
9、 过点 F 的直线交椭圆于 ,BC两点 . （ 1） 求该 椭圆 的离心率 ； （ 2） 设直线 AB 和 AC 分别与直线 4x? 交于点 ,MN，问： x 轴上是否存在定点 P 使得MP NP? ？ 乳品存在 ， 求出点 P 的坐标 ； 若不存在 ， 说明理由 . 22.已知函数 ? ? ? ? ? ?2ln ,f x b x g x a x x a R? ? ? ? （ 1） 若曲线 ?fx与 ?gx在公共点 ? ?1,0A 处有相同的切线，求实数 ,ab的值； （ 2） 若 0, 1ab?， 且曲线 ?fx与 ?gx总 存在 公共的切线，求 正数 a 的最小值 . - 4 - 试卷答案
10、 一、选择题 1-5: CABAC 6-10: DAABC 11、 12： CD 二、填空题 13. 1,12?14.21nn?15. ?2,e? ? 16. 33三、解答题 17. 解： （ 1)证明： 121nnaa? ? ?11 2 1nnaa? ? ?，又 1 1a? ， 1 12a? ? 数列 ? ?1na? 是首项为 2? ， 公比为 2 的等比数列 ? ? 11 2 2 2nnna ? ? ? ? ? ? 12nna ? （ 2） 由 （ 1） 知： ? ?22lo g 1 lo g 2 nnnb a n? ? ? ? ? ?11 1 1 111nnb b n n n n? ?
11、? ?，所以 1 1 1 1 1 11 1 12 2 3 1 1 1n nT n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 18.解 ：（ 1） ? ? 2fx? 在 R 上恒成立， 即 ? ?2 1 1 0ax a x? ? ? ?在 R 上恒成立， 所以 ? ?20 3 2 2 3 2 21 4 0a aaa? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（ 2） ? ? ? ?20 1 1 0f x a x a x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 0 *ax x? ? ? ? 当 01a?时 ， ?* 式
12、等价于 ? ?111 0 1x x xaa? ? ? ? ? ?； 当 1a? 时， ?* 式等价于 ? ?210xx? ? ? ?； 当 1a? 时， ?* 式等价于 ? ?111 0 1x x xaa? ? ? ? ? ?； 当 0a? 时， ?* 式等价于 ? ?1110x x xaa? ? ? ? ?或 1x? 综上，当 01a?时， ? ? 0fx? 的解集为 11,a?； 当 1a? 时， ? ? 0fx? 的解集为 ? ； - 5 - 当 1a? 时， ? ? 0fx? 的解集为 1,1a?； 当 0a? 时， ? ? 0fx? 的解集为 ? ?1, 1,a? ? ?. 19.解
13、： （ 1） 设 ? ? ? ?1 1 2 2, , ,B x y C x y，当直线 l 的斜率是 12时， l 的方程为 ? ?1 42yx?， 即 24xy?， 由 2 224x pyxy? ? ?得： ? ?22 8 8 0y p y? ? ? ? ? ? ? ?28 6 4 1 6 0p p p? ? ? ? ? ? ?， 124yy? ， 128 2pyy ? ， 又 4AC AB? ， 214yy? ， 由及 0p? 得 ： 2p? ，得抛物线 G 的方程为 2 4xy? . （ 2） 设 ? ?:4l y k x?， BC 的中点坐标为 ? ?00,xy ， 由 ? ?2 44
14、xyy k x? ? ?得 2 4 16 0x kx k? ? ? ? ? 20 0 02 , 4 2 42CBxxx k y k x k k? ? ? ? ? ?. 线段 BC 的中垂线方程为 ? ?2 12 4 2y k k x kk? ? ? ? ?， 线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 ： ? ?222 4 2 2 1b k k k? ? ? ? ? 对于方程，由 216 64 0kk? ? ? ?得 0k? 或 4k? ， ? ?2,b? ? . 20.解：（ 1）当 1n? 时，11122 2222nn n n nSa a a a ? ? ? ? ? 12nnaa?当 1n?
15、 时， 1 1 12 2 2S a a? ? ? ?， 综上， ?na 是公比为 2,首项为 2 的等比数列 ， 2nna? . （ 2） 214ab? ， 1 1b? ， ? ? 21 1nnnb n b n n? ? ? ? ?， 1 11nnbb?综上 ， nbn?是公差为 1，首项为 1 的等差数列 . （ 3） 由 （ 2)知 ： 211nnb n b nn ? ? ? ? ? 2 1 2n n np c c? - 6 - ? ? ? ? ? ? ? ?222 1 2 2 2 12 1 2 2 2 4 1 2 4 1 424nn nnnn nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
16、? ? ? ?0 1 2 13 4 7 4 1 1 4 4 1 4 nnTn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 3 14 3 4 7 4 1 1 4 4 5 4 4 1 4nnnT n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 两式相减得： ? ?0 1 2 13 3 4 4 4 4 4 4 4 4 1 4nnnTn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?14 1 43 3 4 4 1 414n nnTn? ? ? ? ? ? ? 7 12 7 499 nn nT ? ? ?. 21.解 ：（ 1） 由 椭圆 方程可得 2, 3ab?，
17、从而椭圆 的半焦距 221c a b? ? ? . 所以椭圆的离心率为 12ce a?. （ 2） 依 题意 ， 直 ,BC 的斜率不为 0，设其方程为 1x ty?. 将 其代入 22143xy?，整理得 ? ?224 3 6 9 0t y ty? ? ? ? 设 ? ? ? ?1 1 2 2, , ,B x y C x y， 则1 2 1 22269,4 3 4 3ty y y ytt? ? ?. 易知直线 AB 的方程是 ? ?11 22yyxx? ， 从而可得 1164, 2yM x?， 同理可得 2264, 2yN x?. 假设 x 轴上存在定点 ? ?,0Pp 使得 MP NP?
18、， 则有 0PM PN?. 所以 ? ? ? ? ?21212364022yyp xx? ? ?. 将 1 1 2 21, 1x ty x ty? ? ? ?代入上式，整理得： ? ? ? ?21221 2 1 2364039yyp t y y t y y? ? ? ? ? 所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 223 6 9409 3 6 9 4 3p t t t t? ? ? ? ? ? ?， 即 ? ?24 9 0p? ? ? ， 解得 1p? 或 7p? . 所以 x 轴上存在定点 ? ?1,0P 或 ? ?7,0P ， 使得 MP NP? . - 7 - 22.解： （ 1)依
19、据题意 : ? ? ? ? ? ?10 110 111f ag bfg? ? ?（ 2） 当 0, 1ab?时 ， ? ? lnf x x? ， ? ? ? ?1f x f xx? ?在点 ? ?,lntt处的切线方程为 ：? ?1lny t x tt? ? ? ， 即 1 ln 1y x tt? ? ? 由21 ln 1y x tty ax x? ? ? ? ?得： 2 ()11 ln 1 0ax x tt? ? ? ? ? ? ? ? ?,f x g x 总存在公切线，的 ? ?211 4 ln 1 0att? ? ? ? ? ? ?， 即 关于 t 的方程 ? ? ?211 4 ln 1 0a t tt? ? ? ? ?总有解 . 左边 0, 0a?， 1 ln 0 0t t e? ? ? ? ?， 于是，式 ? ? ? ? ?22 1401 lnta t ett? ? ? ?
