1、 1 陕西省咸阳市 2017-2018 学年高二数学上学期期末考试试题 文 第 卷（选择题 共 60 分） 一、 选择题（本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） . 1.设 0 1,a b c R? ? ? ?，则下列不等式成立的是（ ） A 22ab? B 11ab? C 1ba? D b c a c? ? ? 2.下列求导数运算正确的是（ ） A2111x xx? ? ? B ? ?2 1log ln 2x x? ? C ? ? 33 3 logxxe? ? D ? ?2 cos 2 sinx x x x? ? 3.
2、 命题“若 2a? 则 1a? ”及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 4. 在等比数列 ?na 中，若 142, 16aa?，则 ?na 的前 5 项和 5S 等于（ ） A 30 B 31 C 62 D 64 5. 如果 aR? ，且 2 0aa? ，那么 2,aa a? 的大小关系为（ ） A 2a a a? ? B 2a a a? ? ? C. 2aaa? ? ? D 2a a a? ? 6.“ 1a? ”是“ ln 0a? ”的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C. 充要条件 D既不是充分条件也不是必要条件 7.
3、若不等式组 04 2 2xaxx? ? ? ?有解，则实数 a 的取值范围是（ ） A 2a? B 2a? C. 2a? D 2a? 8. 已知 3x? ，则函数 ? ? 4 3f x x x? ?的最小值为（ ） A 1 B 4 C. 7 D 5 9.已知 ABC? 的三边长构成公差为 2 的等差数列，且最大角为 120，则这个三角形的周长为 （ ） 2 A 15 B 18 C. 21 D 24 10. 方程 2 2 1 0x ax? ? ? 的两根分别在 ? ?0,1 与 ? ?1,2 内，则实数 a 的取值范围为（ ） A 51 4a? B 1a? 或 1a? C. 11a? ? ? D
4、 5 14 a? ? ? 11. 九章算术是我国古代的数学巨著，内容极为丰富，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何” .意思是：“ 5 人分取 5 钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前 2 人所得钱数之和与后 3 人所得钱数之和相等”，则最中间一人分得的钱数最多的是（ ） A 56 钱 B 1 钱 C. 76 钱 D 43 钱 12.函数 ? ?y f x? 的导函数与圆 ? ?y f x? 的图象如图所示，则函数 ? ?y f x? 的图像可能是 （ ） A B C. D 第 卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分
5、 20 分，将答案填在答题纸上） 13.设函数 ? ?y f x? 的 0xx? 处可导，且 ? ? ? ?0003lim 1xf x x f xx? ? ? ?，则 ? ?0fx? 等于 14.已知双曲线 ? ?22 1 0, 0xy abab? ? ? ?，点 ? ?4,2 在它的一条渐近线上，则其离心率等3 于 15.若命题“ ? ?20 0 0, 1 1 0x R x a x? ? ? ? ? ?”是真命题，则实数 a 的取值范围是 16.设 ,yx 满足的约束条件是 222xyxy?，则 2z x y? 的最大值是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明
6、、证明过程或演算步骤 .） 17.已知动圆在运动过程中，其圆心 M 到点 ? ?0,1 与到直线 1y? 的距离始终保持相等 . （ 1）求圆心 M 的轨迹方程； （ 2）若直线 ? ?: 2 2l y kx k? ? ?与点 M 的轨迹交于 AB、 两点，且 8AB? ，求 k 的值 18.已知 ?na 是等比数列， 1 2a? ，且 1 3 4, 1,a a a? 成等差数列 . （ 1）求数列 ?na 的通项公式； （ 2）若 2lognnba? ，求数列 ?nb 的前 n 项和 nS 19. 在 ABC? 中，角 ,ABC 的对边分别是 ,abc，且 1 cos2b c a C? （
7、1）求角 A ； （ 2）若 ? ?4 3 , 2 3b c bc a? ? ?，求 ABC? 的面积 S 20.已知函数 ? ? 3 12f x x x?（ 1）求函数 ?fx的极值；（ 2）当 ? ?3,3x ? 时，求函数 ?fx的最值 21. 已知椭圆 ? ?222: 1 03xyMaa ? ? ?的一个焦点为 ? ?1,0F? ，左、右顶点分别为 AB、 ，经过点 F 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 M 交于 ? ? ? ?1 1 2 2, , ,C x y D x y两点 （ 1）求椭圆 M 的方程； （ 2）记 ABD? 与 ABC? 的面积分别为 1S 和 2S ，求 12S
8、S? 关于 k 的表达式 22.已知 ? ? ? ? 32ln , 2f x x x g x x a x x? ? ? ? ? （ 1）若函数 ?gx的单调递减区间为 1,13?，求函数 ? ?y g x? 的图像在点 ? ?1,1P? 处的切线方程； 4 （ 2）若不等式 ? ? ? ?22f x g x?恒成立，求实数 a 的取值范围 试卷答案 一、选择题 1-5: DBBCB 6-10:BDCAA 11、 12： BD 二、填空题 13. 13 14. 52 15. ? ? ? ?, 1 3,? ? ? 16. 6 三、解答题 17.解：（ 1）圆心 M 到点 ? ?0,1 与到直线 1
9、y? 的距离始终保持相等， 圆心 M 的轨迹为抛物线，且 12p? ，解得 2p? ， 圆心 M 的轨迹方程为 2 4xy? ； （ 2）联立224y kxxy? ? 消去 y 并整理，得 2 4 8 0x kx? ? ? ， 设 ? ? ? ?1 1 2 2,A x y B x y、 ，则 1 2 1 24 , 8x x k x x? ? ?， ? ? ? ?22221 2 1 21 4 1 4 3 2 8A B k x x x x k k? ? ? ? ? ? ? ?， 解得 3k? ，结合已知得 3k? 18.解 :（ 1）设数列 ?na 的公比为 q ，则 2 2 3 33 1 4 1
10、2 , 2a a q q a a q q? ? ? ?， 1 3 4, 1,a a a? 成等差数列， ? ?1 4 321a a a? ? ?，即 ? ?322 2 2 2 1qq? ? ?， 5 整理得 ? ?2 20qq?， 0q? ， 2q? ， ? ?1*2 2 2nnna n N? ? ?； （ 2） 22log log 2 nnnb a n? ? ?， ? ?12 112 2nn nnS b b b n ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 数列 ?nb 的前 n 项和 ? ?12n nnS ? 19.解：（ 1）在 ABC? 中， 1 cos2b c a C? ， 由正弦定理，
11、得 1sin sin sin co s2B C A C?， 又 ? ?sin sinB A C?， ? ? 1s in s in s in c o s2A C C A C? ? ?，即 1cos sin sin2A C C? ， 又 sinC 0? ， 1cos 2A? ， 又 0 A ?， 060A? ； （ 2）由余弦定理，得 ? ? 22 2 2 2 22 c o s 3a b c b c A b c b c b c b c? ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ?4 3 , 2 3b c bc a? ? ?， ? ? ? ?2 4 12b c b c? ? ? ?，解得 6bc? ，
12、代入上式，得 8bc? ， ABC? 的面积 1 1 3s in 8 2 32 2 2S b c A? ? ? ? ? 20.解：（ 1） ? ? ? ? ?23 1 2 3 2 2f x x x x? ? ? ? ? ?， 令 ? ? ? ? ? ?23 1 2 3 2 2 0f x x x x? ? ? ? ? ? ?，解得 2x? 或 2x? ， ? ? ? ?,x f x f x? 的变化如下表： x ? ?,2? -2 ? ?2,2? 2 ? ?2,? ?fx? + 0 - 0 + 6 ?fx 单调递增 16 单调递减 -16 单调递增 函数 ?fx的极大值为 ? ?2 16f ?
13、，极小值为 ? ?2 16f ? ； （ 2）由（ 1）知 ? ? ? ?2 16, 2 16ff? ? ? ?，又 ? ? ? ?3 9, 3 9ff? ? ?， 当 ? ?3,3x? 时，函数 ?fx的最大值为 ? ?2 16f ? ，最小值为 ? ?2 16f ? 21.解：（ 1） ? ?1,0F? 为椭圆 M 的焦点， 1c? ， 又 3b? ， 2a? ， 椭圆 M 的方程为 22143xy?； （ 2）依题意，知 0k? ，设直线方程为 ? ?1y k x?， 和椭圆方程联立消掉 y ，得 ? ?2 2 2 23 4 8 4 1 2 0k x k x k? ? ? ? ?， 计算
14、知 0? ， 方程有两实根，且 221 2 1 28 4 1 2,3 4 3 4kkx x x x ? ? ? ?， 此时? ? ? ? ? ?1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2121 4 2 2 1 1 2 22 3 4 kS S y y y y k x k x k x x k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 22.解：（ 1） ? ? 23 2 1g x x ax? ? ? ?，由题意，知 23 2 1 0x ax? ? ?的解集是 1,13?， 即方程 23 2 1 0x ax? ? ?的两根分别是 1,13? 将 1x? 或 13? 代入方程 23 2
15、 1 0x ax? ? ?，得 1a? ， ? ? 32 2g x x x x? ? ? ?， ? ? 23 2 1g x x x? ? ? ?， ? ?14g? ?， ?gx的图像在点 ? ?1,1P? 处的切线斜率 ? ?14kg? ? ? ， 函数 ? ?y g x? 的图像在点 ? ?1,1P? 处的切线方程为： ? ?1 4 1yx? ? ? ，即 4 5 0xy? ? ? ； （ 2） ? ? ? ?22f x g x?恒成立， 即 22 ln 3 2 1x x x ax? ? ?对一切 ? ?0,x? ? 恒成立， 7 整理可得 31ln 22a x x x? ? ?对一切 ? ?0,x? ? 恒成立， 设 ? ? 31ln 22h x x x x? ? ?，则 ? ?21 3 122hx xx? ? ? ?， 令 ? ? 0hx? ? ，得 11, 3xx? ? （舍）， 当 01x?时， ? ? ? ?0,h x h x? ? 单调递增；当 1x? 时， ? ? ? ?0,h x h x? ? 单调递减， 当 1x? 时， ?hx取得最大值 ? ?12h ? ， 2a? 故实数 a 的取值范围是 ? ?2,? ?
