1、专题八 数学思想数形结合数形结合思想是数学中重要的思想方法，它根据数学问题中的条件和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思想方法.由数想形，由形知数.著名数学家华罗庚说过“数无形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”几何图形形象直观，便于理解；用代数方法解题，操作性强，便于把握.类型一 与代数相关的数形结合1. 点M，N，P和原点O在数轴上的位置如图所示，有理数a，b，c各自对应着M，N，P三个点中的某一点，且ab0，a+cb+c，那么表示数b的点为( A ).
2、A. 点MB. 点NC. 点PD. 无法确定2. 一条数轴上有点A，B，C，其中点A，B表示的数分别是14，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线CB上，并且AB=6，则点C表示的数是( D ).A. 1B. 3C. 1或4D. 1或53. 已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简ab+b+c+ca=2b+2c2a.4. 已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且a=b.（1） 求a+b和ab的值；解:由题意，得a，b异号且a=b，所以它们互为相反数，所以a+b=0，ab=bb=1.（2） 化简：aa+bca+cb2b.答案由题意可知，cb0a，且a+b=0，所以原式=a0
3、+cacb+2b=a+cac+b+2b=3b.5. 如图，数轴上的点A，B，C，D，E表示的数分别为4，2.5，1，0.5，2，回答下列问题.（1） 将点A，B，C，D，E表示的数用“ ”连接起来.解:42.510.52.（2） 若将原点改在C点，则点A，B，C，D，E所表示的数分别为多少，将这些数也用“ ”连接起来.答案若将原点改在C点，则点A，B，C，D，E所表示的数分别为3，1.5，0，1.5，3，将这些数用“ ”连接起来为31.501.50且t16)，P是数轴上一点，若OP=2NP，猜想NA与MP的关系，并说明理由.解:猜想:NA=3MP，理由如下:因为xM=t，MN=8，所以xN=t
4、+8，因为OP=2NP，xM=t，所以xP=23t+8，MP=23t+8t=16t3，因为xA=24，xN=t+8，所以NA=t+824=t16，因为t16，所以MPNA=16t3t16=13，所以NA=3MP.10. 【概念学习】点A，B，C为数轴上的三点，如果点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍，那么我们就称点C是A，B的偶点.如图1，点A表示的数为2，点B表示的数为1，表示0的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是A，B的偶点；表示1的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是A，B的偶点，但点D是B，A的偶点.【初步探究】 如图2，M，N为数轴上两点，点M表
5、示的数为1，点N表示的数为5，若点F是M，N的偶点，回答下列问题：（1） 当F在点M，N之间时，点F表示的数为3；解:设F表示的数为x，且1x5，因为点M表示的数为1，点N表示的数为5，所以FM=x1=x+1，FN=5x.因为点F是M，N的偶点，所以FM=2FN，所以x+1=25x，解得x=3.所以点F表示的数为3.（2） 当F为数轴上一点时，点F表示的数为3或11.解析设F表示的数为x，因为点M表示的数为1，点N表示的数为5，所以FM=x1=x+1，FN=5x，因为点F是M，N的偶点，所以FM=2FN，所以x+1=25x，解得x=3或11.所以点F表示的数为3或11.【深入思考】 如图3，P
6、,Q为数轴上两点，点P表示的数为20，点Q表示的数为40，现有一个动点E从点Q出发，以每秒2个单位的速度向左运动，到达点P停止.若运动时间为t，求当t为何值时，P，Q，E中恰有一个点为其余两点的偶点？答案由题意，知QE=2t，PQ=4020=60，所以EP=PQQE=602t，当点E是P，Q的偶点时，EP=2QE，所以602t=22t，解得t=10；当点E是Q，P的偶点时，QE=2EP，所以2t=2602t，解得t=20；当点Q是P，E的偶点时，PQ=2QE，所以60=22t，解得t=15；当点P是Q，E的偶点时，PQ=2EP，所以60=2602t，解得t=15.综上所述，当t为10s或15s或20s时，P，Q，E中恰有一个点为其余两点的偶点.第 6 页
