1、 - 1 - 2017-2018 学年期末联考高二文科数学 一、 选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知 | 1 1P x x? ? ? ?， 0 2Qx? ? ? ，则 PQ? （ ） A ( 1,2)? B (0,1) C ( 1,0)? D (1,2) 2.(1 )(2 )ii? ? ? ( ) A 1i? B 13i? C 3i? D 33i? 3.设 1 , 0()2 , 0xxxfxx? ? ?，则 ( ( 2)ff?（ ） A 1? B 14 C 12 D 32 4.“ ln lnxy? ”是
2、“ xy? ”的（ ） A充要条件 B充分不必要条 件 C必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件 5.已知 2sin2 3? ，则 2cos ( )4? 等于（ ） A 16 B 13 C.12 D 23 6. 设 ABC? 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，若 c o s c o s s inb C c B a A?，则 ABC? 的形状为（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C.等边三角形 D等腰三角形 7.函数 ()fx满足 ( 1) ( )f x f x? ? ，且当 01x?时， ( ) 2 (1 )f x x x?，则 52f?的值为（ ） A 12
3、 B 14 C. 14? D 12? 8.若函数 ( ) lnf x kn x?在区间 (1, )? 单调递增，则 k 的取值范围是（ ） A ( , 2? B ( , 1? C.2, )? D 1, )? 9.函数 sin( )y A x?的部分图象如图所示，则（ ） - 2 - A 2 sin(2 )6yx? B 2 sin(2 )3yx? C. 2 sin( )6yx? D 2 sin( )3yx? 10.若函数 cos6yx?（ *N? ）图象的一个对称中心是 ,06?，则 ? 的最小值为（ ） A 1 B 2 C.4 D 8 11.函数|xxayx?（ 01a?）的图象的大致形状是（
4、 ） A B C. D 12.已知函数 ( ) sin ( )f x A x?（ 0A? ， 0? ， |2? ）的图像与 y 轴交于点 (0, 3) ，在 y 轴右边到 y 轴最近的最高坐标为 ,212?，则不等式 ( ) 1fx? 的解集是（ ） A 5,66kk? ? ?， kZ? B 5,1 2 6kk? ? ?， kZ? - 3 - C. ,64kk?， kZ? D ,12 4kk?， kZ? 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分 . 13.已知命题 p ： 0x?，总有 ( 1) 1xxe?.则 p? 为 14. 不等式 2 3 21 22x x? ? ?的解集是 15.曲线
5、 ( ) 5 3xf x e? ? 在点 (0, 2)? 处的切线方程为 16.若动直线 xa? 与函数 ( ) sinf x x? 和 ( ) cosg x x? 的图象分别交于 M ， N 两点，则|MN 的最大值为 三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17. 在 ABC? 中， A? ， B? ， C? 的对边分别为 a ， b ， c ，若 c o s ( 2 ) c o sb C a c B?， （ 1）求 B? 的大小；（ 2）若 7b? ， 4ac? ，求 a ， c 的值 . 18. 已知向量 1(cos , )2ax?， ( 3 sin , co s 2
6、 )b x x? ， xR? ，设函数 ()f x a b? （ 1）求 ()fx的最小正周期； （ 2）求函数 ()fx的单调递减区间； （ 3）求 ()fx在 0,2?上的最大值和最小值 . 19. 某贫困地区有 1500户居民 ,其中平原地区 1050户 ,山区 450户 ,为调查该地区 2017年家庭收入情况 ,从而更好地实施“精准扶贫” ,采用分层抽样的方法 ,收集了 150户家庭 2017年年收入的样本数据 (单位 :万元 ) (I)应收集多少户山区家庭的样本数据 ? ( )根据这 150个样本数据 ,得到 2017年家庭收入的频率分布直方图 (如图所示 ),其中样本数据分组区间为
7、 ? ?0,0.5 ,? ?0.5,1 ,? ?1,1.5 ,? ?1.5,2 ,? ?2,2.5 ,? ?2.5,3 .如果将频率率视为概率 ,估计该地区 2017年家庭收入超过 1.5万元的概率； ( )样本数据中 ,由 5户山区家庭的年收入超过 2万元 ,请完成 2017年家庭收入与地区的列联表 ,并判断是否有 90%的把握认为“该地区 2017年家庭年收入与地区有关” ? - 4 - 附： 22 ()( ) ( ) ( ) ( )n a d b cK a b c d a c b d? ? ? ? ?2 0()P K k? 0.100 0.050 0.010 0.001 0k 2.706
8、 3.841 6.635 10.828 超过 2万元 不超过 2万元 总计 平原地区 山区 5 总计 20. 如图 ,某军舰艇位于岛的 A 的正西方 C 处 ,且与岛的 A 相距 12海里 .经过侦察发现 ,国际海盗船以 10海里 /小时的速度从 岛屿 A 出发沿北偏东 30方向逃窜 ,同时 ,该军舰艇从 C 处出发沿北偏东 90 ? 的方向匀速追赶国际海盗船 ,恰好用 2小时追上 . （ 1）求该军舰艇的速度 . （ 2）求 sin? 的值 . 21. 已知函数 ln() xfx x? ，23( ) 1mgx xx? ? ?. （ 1）求函数 ()fx的单调区间； （ 2）对一切 (0, )
9、x? ? ， 2 ( ) ( )f x g x? 恒成立，求实数 m 的取值范围； - 5 - （ 3）证明：对一切 (0, )x? ? ，都有 22lnxxxx ee?成立 . 22.已知函数 ( ) 2xf x e ax? ? ?，其中 a 为常数 . （ 1）求函数 ()fx的单调区间； （ 2）若 2y ex?是 ( ) 2xf x e ax? ? ?的一条切线，求 a 的值； （ 3）已知 1a? ， k 为常数，若对任意 (0, )x? ? ，都有 ( ) ( ) 1 0x k f x x? ? ? ?恒成立，求k 的最大值。 - 6 - 试卷答案 一、选择题 1-5: ABCBA
10、 6-10:BADAB 11、 12： DD 二、填空题 13. 使得 14. ? 1x3 ? 或x 15.5 2 0XY? ? ? 16. 2 三、解 答题 17. 解：（ 1）由已知得 s i n c o s 2 s i n c o s s i n c o sB C A B C B? ? ? ? ? ?s in 2 s in c o sB C A B? ? ? B C A? ? sin 2sin cosA A B? ? ?, 0,AB? 1cos 2B? ， 3B ? （ 2） 2 2 2 2 c o sb a c ac B? ? ? 即 ? ?273a c ac? ? ? 3 16 7
11、9ac ? ? ? 3ac? 4ac? 1a? ， 3c? 或 3a? ， 1c? 18. 分析：（ 1）先化简 ，再求函数的最小正周期 .(2)利用复合函数的单调性原理求函数 的单调递减 区间 .(3)利用三角函数的图像和性质求函数 在 上的最大值和最小值 . - 7 - 详解： . （ 1） 的最小正周期为 ，即函数 的最小正周期为 . （ 2）函数 单调递减区间： ， ， 得： ， ， 所以单调递减区间是 ， . （ 3） ， . 由正弦函数的性质， 当 ，即 时， 取得最大值 . 当 ，即 时， ， - 8 - 当 ，即 时， ， 的最小值为 .m?m? 2lnx+x+x3 x?(0,
12、1) 因此， 在 上的最大值是 ，最小值是 . 19. （ ） 由已知可得每户居民被抽取的概率为 0.1，故应 收集 户山区家庭的样本数据 （ ） 由 直 方 图 可 知 该 地 区 2017 年 家 庭 年 收 入 超 过 1.5 万 元 的 概 率 约 为 （ ） 样本数据中，年收入超过 2万元的户数为 户 而样本数据中，有 5户山区家庭的年收入超过 2万元，故列联表如下： 所以 ， 有 的把握认为 “ 该地区 2017年家庭年收入与地区有关 ” 20. 解： (1)依题意知 ， CAB 120 ， AB 102 20， AC 12， ACB ， 在 ABC中 ， 由余弦定理 ， 得 BC
13、2 AB2 AC2 2AB ACcos CAB 202 122 22012 cos 120 78 4， 解得 BC 28 所以该军舰艇的速度为 BC2 14 海里 /小时 (2)在 ABC中 ， 由正弦定理 ， 得 ABsin BCsin 120 ， 即 sin ABsin 120BC 282320? 5 314 . - 9 - 21. （ 1） ，得 由 ，得 的递增区间是 ，递减区间是 （ 2）对一切 ， 恒成立， 可化为 m? 2lnx+x+x3对一切 恒成立 。 令 ， 2312)( xxxh ? = ， 当 x?(0,1)时， ，即 在 递减 当 时， ，即 在 递增， ， m? 4
14、，即实数 的取值范围是 （ 3）证明： 等价于 ，即 f(x)xex?e2由（ 1）知 ，（当 时取等号） 令 ，则 ，易知 在 递减，在 递增 （当 时取等号） 对一切 都成立 则对一切 ，都有 成立 . 22. （ 1）函数 ?fx的定义域为 ? ? ? ?, , e xf x a? ? ? ? 若 0a 时，则 ? ? 0fx? ? ，所以 ?fx在 ? ?,? 上单调递增； 若 0a? 时，则当 ? ?,ln xa? ? 时， ? ? 0fx? ? ，当 ? ?ln ,xa? ? 时， ? ? 0fx? ? ， 所以 ?fx在 ? ?,ln a? 上递减，在 ? ?ln ,a? 上递增
15、 （ 2）设切点为 ? ?00,xy 则：0000eee 2 e2xxayxy ax? ? ? ? ?，解得 0010 , 0e2xaay? ? ? （ 3）当 1a? 时，对任意 ? ?0,x? ? ，都有 ? ? ? ? 10x k f x x? ? ? ? 恒成立等价于- 10 - 1e1xxkx? 对 0x? 恒成立 令 ? ? 1 ( 0 )e1xxg x x x? ? ?，则 ? ? ? ? ?2e e 2e1xxxxgx ? ?， 由（ 1）知，当 1a? 时， ? ? e2xf x x? ? ?在 ? ?0,? 上递增 因为 ? ? ? ?0 0 2 0ff?， ，所以 ? ? e2xf x x? ? ?在 ? ?0,? 上存在唯一零点， 所以 ?gx? 在 ? ?0,? 上也存在唯一零点，设此零点为 0x ，则 ? ?0 1,2x ? 因为当 ? ?00,xx? 时， ? ? 0gx? ? ，当 ? ?0,xx? ? 时， ? ? 0gx? ? ， 所以 ?gx在 ? ?0,? 上的最小值为 ? ?00001e1xxg x x? ，所以00 01e1xxkx? ， 又因为 ? ? 000e 2 0xg x x? ? ? ? ，所以 0 0e2x x?，所以 0 1kx? 又因为 k 为整数且 02 1 3x? ? ? ，所以 k 的最大值是 2
