1、 1 学习改变命运，思考成就未来学习改变命运，思考成就未来! ! 第第 2 2 讲讲 30 道典型几何题解析 1 1【加加减减法法求求面积面积】如图是一个直径为如图是一个直径为3cm的半圆，让这个半圆以的半圆，让这个半圆以A点为轴沿逆时针方点为轴沿逆时针方 向旋转向旋转60，此时，此时B点移动到点移动到B点，求阴影部分的面积点，求阴影部分的面积(图中长度单位为图中长度单位为cm，圆周率按，圆周率按 3计算计算) B BA 60 【解析】面积圆心角为60的扇形面积半圆空白部分面积(也是半圆)圆心角为 60的扇形面积 22 603 34.5(cm ) 3602 2 2【割割补补法法求求面积面积】求
2、下列各图中阴影部分的面积求下列各图中阴影部分的面积(图中长度单位为图中长度单位为cm，圆周率按，圆周率按 3 计计 算算)： 3 4 11 1 2 【解析】4.5 4 1 2 3 3【差差不不变变】三角形三角形ABC是直角三角形，阴影是直角三角形，阴影I的面积比阴影的面积比阴影II的面积小的面积小 2 25cm， 8cmAB ，求，求BC的长度的长度 I I A BC I 2 学习改变命运，思考成就未来学习改变命运，思考成就未来! ! 第第 2 2 讲讲 【解析】由于阴影I的面积比阴影II的面积小 2 25cm，根据差不变原理，直角三角形 ABC面积减去半圆面积为 2 25cm，则直角三角形A
3、BC面积为 2 18 25825 22 ( 2 cm)， BC的长度为8252826.2512.53 (cm) 4 4【等量等量代代换换】下图下图( (单位：厘米单位：厘米) )是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面 积积. . 20 8 5 205 8 20 【解析】所求面积等于图中阴影部分的面积，为2052082140 ()(平方厘米) 5 5【等等面面积积变变形形】如下图，长方形如下图，长方形AFEB和长方形和长方形FDCE拼成了长方形拼成了长方形ABCD，长方形，长方形 ABCD的长是的长是 20，宽，宽是是 12，则它内部阴影部分
4、的面积是多少，则它内部阴影部分的面积是多少? FE DC B A 【解析】根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为 1 20 12120 2 6 6【面积面积与与旋转旋转】如图所示，直角三角形如图所示，直角三角形ABC的斜边的斜边AB长为长为 10 厘米，厘米，60ABC， 此时此时BC长长 5 厘米以点厘米以点B为中心，将为中心，将ABC顺时针旋转顺时针旋转120，点，点A、C分别到达点分别到达点E、 D的位置求的位置求AC边扫过的图形即图中阴影部分的面积边扫过的图形即图中阴影部分的面积(取取 3) AB C D E (2) (1) E D C B A 【解析】注意分割、平移
5、、补齐 如图所示，将图形移补到图形的位置， 3 学习改变命运，思考成就未来学习改变命运，思考成就未来! ! 第第 2 2 讲讲 因为60EBD，那么120ABE， 则阴影部分为一圆环的 1 3 7 7【图图形形与与平移平移】用同样大小的瓷砖铺一个正方形地面，两条对角线上铺黑色的，其它用同样大小的瓷砖铺一个正方形地面，两条对角线上铺黑色的，其它 地方铺白色的，如图所示如果铺满这块地面共用地方铺白色的，如图所示如果铺满这块地面共用 101 块黑色瓷砖，那么白色瓷砖用了多块黑色瓷砖，那么白色瓷砖用了多 少块？少块？ 图 图 2 【解析】我们可以让静止的瓷砖动起来，把对角线上的黑瓷砖，通过平移这种动态
6、的 处理，移到两条边上(如图 2)在这一转化过程中瓷砖的位置发生了变化，但数量没 有变，此时白色瓷砖组成一个正方形大正方形的边长上能放(101 1)251(块)，白 色瓷砖组成的正方形的边长上能放：51 150 (块)，所以白色瓷砖共用了： 50502500(块) 8.8. 【化化整整为为零零】正方形正方形 ABCDABCD 与等腰直角三角形与等腰直角三角形 BEFBEF 放在一起（如图），放在一起（如图），M M、N N 点为正方点为正方 形的边的中点，阴影部分的面积是形的边的中点，阴影部分的面积是 14cm14cm 2 2，三角形 ，三角形 BEFBEF 的面积是的面积是多少平方厘米？多少
7、平方厘米？ 【解析】因为 M、N 是中点，故我们可以将该图形进行分割，所得图形如下 N M F E D C B A A B C D E F M N 图形中的三角形面积都相等，阴影部分由 7 个三角形组成，且其面积为 14平方厘米， 故一个三角形的面积为 2平方厘米，那么三角形 BEF的面积是 18 平方厘米。 9.9. 【割割补补法法】如图所示的四边形的面积等于多少？如图所示的四边形的面积等于多少？ O D C B A 13 13 12 12 13 13 12 12 【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积. 我们可以利用旋转的方法对图形实施变换： 4 学习改
8、变命运，思考成就未来学习改变命运，思考成就未来! ! 第第 2 2 讲讲 把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形 OAB将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个 边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积. 因此，原来四边形的面积为12 12144.(也可以用勾股定理) 1 10 0【巧求周长】下下图中的阴影部分图中的阴影部分BCGF是正方形，线段是正方形，线段FH长长18厘米，线段厘米，线段AC长长 24厘米，则长方形厘米，则长方形ADHE的周长是的周长是 厘米厘米 H GF E D CB A 【解析】本题需要注意，长方
9、形ADHE的宽应等于正方形BCGF的边长 由于图中阴影部分BCGF是个正方形，其四条边的边长都相等，且等于长方形ADHE的 宽FHAC的和应为长方形ADHE的长加上正方形BCGF的边长，所以等于长方形 ADHE的长与宽之和所以长方形ADHE的周长为：(1824)284厘米 1 11 1【周周长长与与面积面积】有有9个小长方形，它们的长和宽分别相个小长方形，它们的长和宽分别相等，用这等，用这9个小长方形拼成的个小长方形拼成的 大长方形的面大长方形的面积是积是45平方厘米，求这个大长方形的周长平方厘米，求这个大长方形的周长 【解析】从图上可以知道，小长方形的长的4倍等于宽的5倍，所以长是宽的541
10、.25 倍每个小长方形的面积为4595平方厘米，所以1.25宽宽5，所以宽为2厘米， 长为2.5厘米大长方形的周长为(2.5 422.5)229 厘米 1212【梯形梯形蝴蝶蝴蝶】如图，如图，ABCD与与AEFG均为正方形，三角形均为正方形，三角形ABH的面积为的面积为 6 平方厘平方厘 米，图中阴影部分的面积为米，图中阴影部分的面积为 AB CD E F G H AB CD E F G H 【解析】如图，连接AF，比较ABF与ADF，由于ABAD，FGFE，即ABF与 ADF的底与高分别相等，所以ABF与ADF的面积相等，那么阴影部分面积与 ABH的面积相等，为 6 平方厘米 1 13 3【
11、曲线曲线开型开型面积面积】如右图，有如右图，有 8 8 个半径为个半径为 1 1 厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成 5 学习改变命运，思考成就未来学习改变命运，思考成就未来! ! 第第 2 2 讲讲 一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心则花瓣图形的面积是多少平方厘米？一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心则花瓣图形的面积是多少平方厘米？ ( (取取 3)3) 【解析】本题直接计算不方便，可以利用分割移动凑成规则图形来求解 如右上图，连接顶角上的 4 个圆心，可得到一个边长为 4 的正方形可以看 出，与原图相比，正方形的每一条边上都多了一个半圆，所以可以
12、把原花瓣 图形的每个角上分割出一个半圆来补在这些地方，这样得到一个正方形，还 剩下 4 个 1 4 圆，合起来恰好是一个圆，所以花瓣图形的面积为 22 4 119(平方厘米) 1 14 4【曲线曲线型型面积面积】如图，如图，ABCD 是边长为是边长为 a 的正方形，以的正方形，以 AB、BC、CD、DA 分别为直分别为直 径画半圆，求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积径画半圆，求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积(取取 3) D C B A a D C B A a 【解析】这道题目是很常见的面积计算问题阴影部分是一个花瓣状的不规则图形， 不能直接通过面积公式求解，观察发现阴影部分是一个对称图形
13、，我们只需要在阴影 部分的对称轴上作两条辅助线就明了了 如图，这样阴影部分就划分成了 4个半圆减去三角形，我们可以求得， 4SSS 阴影半圆三角形 2 11 4 2222 aa a 2 1 2 a 1 15 5【表表面积面积计算计算】中是一个边长为中是一个边长为 4 厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中 心位置挖去一个边长心位置挖去一个边长 1 厘米的正方体，做成一厘米的正方体，做成一种玩具它的表面积是多少平方厘米？种玩具它的表面积是多少平方厘米？ 6 学习改变命运，思考成就未来学习改变命运，思考成就未来! ! 第第 2 2 讲讲 【解析】根
14、据题意可知，挖去的 6 个边长 1 厘米的正方体相互之间是独立的，所以挖 去之后，原正方体的表面积相当于增加了六个小正方体的侧面积，所以现在它的表面 积为：4 4 6 1 1 4 6120 平方厘米 1 16 6【共共高高模型模型】如图，把四边形如图，把四边形 ABCD 的各边都延长的各边都延长 2 倍，得到一个新四边形倍，得到一个新四边形 EFGH 如果如果 ABCD 的面积是的面积是 5 平方厘米，则平方厘米，则 EFGH的面积是多少平方厘米的面积是多少平方厘米? 【解析】如下图，连接 BD，ED，BG， 有EAD、ADB 同高，所以面积比为底的比，有2 EADABDABD EA SSS
15、AB 同理36 EAHEADEADABD AH SSSS AD 类似的，还可得6 FCGBCD SS，有 66 EAHFCGABDBCDABCD SSSSS=30 平方厘米 连接 AC，AF，HC，还可得6 EFBABC SS，6 DHGACD SS， 有66 EFBDHGABCACDABCD SSSSS=30 平方厘米. 有四边形 EFGH 的面积为EAH,FCG,EFB,DHG,ABCD 的面积和，即为 30+30+5=65(平方厘米.) 1 17 7【等积等积变形变形】图中图中 ABCD 是个直角梯形是个直角梯形(DAB=ABC=90 )，以，以 AD 为一边向外作为一边向外作 长方形长
16、方形 ADEF，其面积为，其面积为 6.36 平方厘米。连接平方厘米。连接 BE交交 AD 于于 P，再连接，再连接 PC。则图中阴影部。则图中阴影部 分的面分的面积是积是( )平方厘米。平方厘米。 7 学习改变命运，思考成就未来学习改变命运，思考成就未来! ! 第第 2 2 讲讲 P A BC D EF P A BC D EF 【解析】如图,连接AE，BD。因为ADBC，则： PDCPDB SS ,又ABED，则： EADEBD SS ,所以， 11 6.363.18 22 EPDPDCEPDPDBEDAADEF SSSSSSS 阴影 （平方厘米） 1 18 8【一一半半模型模型】一个长方形
17、分成一个长方形分成 4 个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的 15%，黄色三角形面，黄色三角形面积是积是 2 21cm问：长方形的面积是多少平方厘米？问：长方形的面积是多少平方厘米？ 红 绿 黄 红 【解析】黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长，高相加为长方形的 宽，所以黄色三角形与绿色三角形的面积和为长方形面积的50%，而绿色三角形面积 占长方形面积的15%，所以黄色三角形面积占长方形面积的50% 15%35% 已知黄色三角形面积是 2 21cm，所以长方形面积等于21 35%60（ 2 cm） 1919【表表面积面积计算计算】如
18、图，棱长分别为如图，棱长分别为1厘米、厘米、2厘米、厘米、3厘米、厘米、5厘米的四个正方体紧贴厘米的四个正方体紧贴 在一起，则所得到的多面体的表面积是在一起，则所得到的多面体的表面积是多少平方多少平方厘米？厘米？ 【解析】(法 1)四个正方体的表面积之和为： 2222 (1235 ) 639 6234(平方厘米)， 重叠部分的面积为： 222222222 13(22 1 )(321 )(321 )39 14 1440 (平方厘米)， 所以，所得到的多面体的表面积为：23440194(平方厘米) 8 学习改变命运，思考成就未来学习改变命运，思考成就未来! ! 第第 2 2 讲讲 (法 2)三视图
19、法从前后面观察到的面积为 222 53238平方厘米,从左右 两个面观察到的面积为 22 5334平方厘米，从上下能观察到的面积为 2 525平方厘米 表面积为3834252194(平方厘米) 2 20 0【表表面积面积计算计算】用棱长是用棱长是 1 厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表 面积是多少平方厘米面积是多少平方厘米? 【解析】该图形的上、左、前三个方向的表面分别由 9、7、7块正方形组成 该图形的表面积等于(977)246个小正方形的面积，所以该图形表面积 为 46平方厘米 2 21 1【取取特殊特殊点点】长方形长方形A
20、BCD的面积为的面积为 3636，E、F、G为各边中点，为各边中点，H为为AD边上任边上任 意一点，问阴影部分面积是多少？意一点，问阴影部分面积是多少？ H G F E D C B A (H) G F E D CB A 【解析】特殊点法由于H为AD边上任意一点，找H的特殊点，把H点与A点重合 （如左上图），那么阴影部分的面积就是AEF与ADG的面积之和，而这两个三角形 的面积分别为长方形ABCD面积的 1 8 和 1 4 ，所以阴影部分面积为长方形ABCD面积的 113 848 ，为 3 3613.5 8 2 22 2【共共高高模型模型】如图，长方形如图，长方形ABCD的面积是的面积是 2 平
21、方厘米，平方厘米，2ECDE，F是是DG的中的中 点阴影部分的面积是多少平方厘米？点阴影部分的面积是多少平方厘米？ G F E D CB A x y y x G F E D CB A 【解析】如下图，连接FC，DBF、BFG的面积相等，设为x平方厘米;FGC、 9 学习改变命运，思考成就未来学习改变命运，思考成就未来! ! 第第 2 2 讲讲 DFC的面积相等，设为y平方厘米，那么DEF的面积为 1 3 y平方厘米 221 BCD Sxy， BDE 111 S=x+y=l 333 所以有 0.5 31 xy xy 比较、式， 式左边比式左边多2x，式右边比式右边大 0.5，有20.5x ，即
22、0.25x ,0.25y 而阴影部分面积为 255 0.25 3312 yy平方厘米 2 23 3【周周长长与与面积面积】如图，大长方形的面积是小于如图，大长方形的面积是小于 200200 的整数，内部有三个边的整数，内部有三个边长为整数的长为整数的 正方形正方形 A A、B B、C C，正方形，正方形 B B 的边长是长方形长的的边长是长方形长的 7/167/16，正方形，正方形 C C 的边长是长方形宽的的边长是长方形宽的 1/41/4，那么剩余黑色区域的面积是多少？，那么剩余黑色区域的面积是多少？ 【解析】如图，长方形长的 16 9 =宽的 3 4 ，可求出长与宽的比，再根据面积小于 2
23、00确定面 积大小，从长方形面积中减去 A、B、C 就是阴影部分面积。长 9 10 =宽3 4 ，长：宽=4:3 面积200 的整数，所以长=16，宽=12，面积=192 A 9 S =81 16 2 （16）， B 7 S = 16 2 （16） 49 C 1 S =S=- = 4 2 （12） 9 阴影 192 8119 9 53。 2 24 4【梯形梯形蝴蝶蝴蝶】如图所示，如图所示，BD、CF将长方形将长方形ABCD分成分成 4 块，块，DEF的面积是的面积是 5 平平 方厘米，方厘米，CED的面积是的面积是 10 平方厘米问：四边形平方厘米问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？的面积
24、是多少平方厘米？ F A BC D E 10 5 F A BC D E 10 5 【解析】连接BF，根据梯形模型，可知三角形BEF的面积和三角形DEC的面积相等， 即其面积也是 10 平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形BCE的面积为10 10520(平 方厘米)，所以长方形的面积为20 10260(平方厘米)四边形ABEF的面积为 605 102025 (平方厘米) 10 学习改变命运，思考成就未来学习改变命运，思考成就未来! ! 第第 2 2 讲讲 2 25 5【面积面积与与重叠重叠】奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内圆直径为奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内圆直径为 6 厘米，外圆直
25、厘米，外圆直 径为径为 8 厘米的五个环组成，其中两两相交的小曲边四边形厘米的五个环组成，其中两两相交的小曲边四边形(阴影部分阴影部分)的面积都相等，已知的面积都相等，已知 五个圆环盖住的面积是五个圆环盖住的面积是77.1平方厘米，求每个小曲边四边形的面积平方厘米，求每个小曲边四边形的面积(3.14) 【解析】每个圆环的面积为： 22 4 3721.98(平方厘米)； 五个圆环的面积和为：21.98 5109.9 (平方厘米)； 八个阴影的面积为：109.977.132.8(平方厘米)； 每个阴影的面积为：32.884.1 (平方厘米) 2 26 6【圆柱圆柱体体表面表面积积】如图是一个半径为
26、如图是一个半径为 4 4 厘米，高为厘米，高为 4 4 厘米的圆柱体，在它的中间依次厘米的圆柱体，在它的中间依次 向下挖半径分别为向下挖半径分别为 3 3 厘米、厘米、2 2 厘米、厘米、1 1 厘米，高分别为厘米，高分别为 2 2 厘米、厘米、1 1 厘米、厘米、0.50.5 厘米厘米 的圆柱体，则最后得到的立体图形表面积是多少平方厘米？的圆柱体，则最后得到的立体图形表面积是多少平方厘米？ 【解析】圆柱挖掉 3个小圆柱，表面积会增 3 个圆柱的侧面积，底面积总和不变。 总表面积为：232+221+210.5=12+4+1=17 2 27 7【等积等积变形变形】输液输液 100100 毫升，每
27、分钟输毫升，每分钟输2.5毫升如图，请你观察第毫升如图，请你观察第 1212 分钟时图中的分钟时图中的 数据，问：整个吊瓶的容积是多少毫升？数据，问：整个吊瓶的容积是多少毫升？ 11 学习改变命运，思考成就未来学习改变命运，思考成就未来! ! 第第 2 2 讲讲 【解析】100 毫升的吊瓶在正放时，液体在 100 毫升线下方，上方是空的，容积是多 少不好算但倒过来后，变成圆柱体，根据标示的格子就可以算出来 由于每分钟输2.5毫升，12 分钟已输液2.5 1230(毫升)，因此开始输液时 液面应与 50 毫升的格线平齐，上面空的部分是 50 毫升的容积所以整个吊瓶的容积 是10050150(毫升
28、) 2 28 8【表表面积面积变化变化】如图，有一个边长为如图，有一个边长为 20 厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、 面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为 2454 平方厘米，那么挖掉的小立方平方厘米，那么挖掉的小立方 体的边长是多少厘米？体的边长是多少厘米？ 【解析】大立方体的表面积是 202062400 平方厘米在角上挖掉一个小正方体后， 外面少了 3 个面，但里面又多出 3 个面；在棱上挖掉一个小正方体后，外面少了 2 个面， 但里面多出 4 个面；在面上挖掉一个小正方体后，外面少了 1
29、个面，但里面多出 5 个 面所以，最后的情况是挖掉了三个小正方体，反而多出了 6 个面，可以计算出每个面的 面积：(24542400)69平方厘米，说明小正方体的棱长是 3 厘米 2929【燕尾燕尾模型模型】如图，已知如图，已知3BDDC，2ECAE，BE与与AD相交于点相交于点O, ,则则ABC 被分成的被分成的4部分面积各占部分面积各占ABC 面积的几分之几？面积的几分之几？ O E D CB A 13.5 4.5 9 2 1 1 2 13 O E D CB A 【解析】连接CO,设1 AEO S 份，则其他部分的面积如图所示，所以 129 1830 ABC S 份，所以四部分按从小到大各
30、占ABC面积的 124.51393 13.59 , 303060 30103020 3030【格格点点与与面积面积】如图如图(a)，有，有 21 个点，每相邻三个点成个点，每相邻三个点成“”“”或或“”“”，所形成的三，所形成的三 角形都是等边三角形计算三角形角形都是等边三角形计算三角形 ABC 的面积的面积 12 学习改变命运，思考成就未来学习改变命运，思考成就未来! ! 第第 2 2 讲讲 A B C D F E C B A (b)(a) H G R (c)(d) A B C E F D C B A 【解析】方法一：如图(b)所示，在ABC 内连接相邻的三个点成DEF，再连接 DC、 EA
31、、FB后是ABC 可看成是由DEF分别延长 FD、DE、EF边一倍、一倍、二倍而成的，由等积变 换不难得到2 ACD S， 3 AEB S，4 FBC S，所以123410S (面积单位) 方法二：如图(c)所示，作辅助线把图、分别移拼到、的位 置，这样可以通过数小正三角形的方法，求出ABC 的面积为 10 方法三：如图(d)所示：作辅助线可知：平行四边形 ARBE中有 6个小正三角形， 而ABE的面积是平行四边形 ARBE面积的一半，即3 AEB S，平行四边形 ADCH中有 4个小正三角形，而ADC的面积是平行四边形 ADCH面积的一半， 即2 ACD S平行四边形 FBGC中有 8个小正三角形，而FBC的面积是平行四 边形 FBGC的一半，即：4 FBC S所以123410S (面积单位)
