1、 整式及因式分解整式及因式分解 第第3讲讲整式及因式分解整式及因式分解考点考点1 1 整式的概念整式的概念 内容内容整式整式单项式单项式多项式多项式定义定义数与字母的数与字母的_的的代数式叫做单项式，单独代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是的一个数或一个字母也是单项式单项式几个单项式的几个单项式的_叫做多项叫做多项式式乘积乘积 考考 点点 聚聚 焦焦和和 第第3讲讲整式及因式分解整式及因式分解内容内容整式整式单项式单项式多项式多项式次数次数一个单项式中，所有字母的指数和一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数叫做这个单项式的次数一个多项式中，次数最高项的次数，一个多项式中，次
2、数最高项的次数，叫做这个多项式的次数叫做这个多项式的次数系数系数单项式中的数字因数叫做单项式的单项式中的数字因数叫做单项式的系数系数项项多项式中每个单项式叫做多项式的多项式中每个单项式叫做多项式的项项第第3讲讲整式及因式分解整式及因式分解相同相同 考点考点2 2 同类项、合并同类项同类项、合并同类项 1 1同类项：所含字母同类项：所含字母_，并且相同字母，并且相同字母的指数也的指数也_的项叫做同类项，几个常数项也的项叫做同类项，几个常数项也是同类项是同类项 2 2合并同类项：把多项式中的同类项合并成一合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并同类项后，所得项的系数项叫做合并同
3、类项，合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母局部不变是合并前各同类项的系数的和，且字母局部不变 相同相同 第第3讲讲整式及因式分解整式及因式分解考点考点3 3 整式的运算整式的运算 类别类别法则法则整式整式的加的加减减整式的加减实质就是整式的加减实质就是_一般地，几个整式相加一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，再合并同类项减，如果有括号就先去括号，再合并同类项幂幂的的运运算算同底数幂同底数幂相乘相乘底数不变，指数相加底数不变，指数相加.即：即：a am ma an n_(_(m m，n n都是整数都是整数)幂的乘方幂的乘方底数不变，指数相乘底数不变，指数相乘.即
4、：即：(a am m)n n_(_(m m，n n都是整数都是整数)积的乘方积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即：幂相乘即：(abab)n n_(_(n n为整数为整数)同底数幂同底数幂相除相除底数不变，指数相减底数不变，指数相减.即：即：a am ma an n_(_(a a00，m m、n n都为整数都为整数)合并同类项合并同类项 a amn amn anbn amn 第第3讲讲整式及因式分解整式及因式分解整整式式的的乘乘法法单项式与单项式单项式与单项式相乘相乘把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含把它们的系数、相
5、同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式单项式与多项式单项式与多项式相乘相乘就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即m m(a ab bc c)mamambmbmcmc多项式与多项式多项式与多项式相乘相乘先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即的积相加，即(m mn n)()(a ab b)mama mbmbnananbnb第第3讲讲整式及因式分解整式及因式分解整式整式的除的
6、除法法单项式除以单单项式除以单项式项式把系数与同底数幂分别相除，作为商把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因母，则连同它的指数作为商的一个因式式多项式除以单多项式除以单项式项式先把这个多项式的每一项分别除以这先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商相加个单项式，然后把所得的商相加乘法乘法公式公式平方差公式平方差公式(a ab b)()(a ab b)_完全平方公式完全平方公式(a ab b)2 2_常用恒等变换常用恒等变换(1)(1)a a2 2b b2 2_(2)(2)(a ab b)2
7、 2(a ab b)2 24 4ababa2b2 a22abb2(ab)22ab(ab)22ab第第3讲讲整式及因式分解整式及因式分解考点考点4 4 因式分解的概念因式分解的概念 整式的积整式的积 因式分解：把一个多项式化为几个因式分解：把一个多项式化为几个_的形式，的形式，像这样的式子变形，叫做多项式的因式分解像这样的式子变形，叫做多项式的因式分解注意：注意：(1)(1)因式分解专指多项式的恒等变形；因式分解专指多项式的恒等变形；(2)(2)因式分解的结果必须是几个整式的积的形式；因式分解的结果必须是几个整式的积的形式；(3)(3)因式分解与整式乘法互为逆运算因式分解与整式乘法互为逆运算第第
8、3讲讲整式及因式分解整式及因式分解考点考点5 5 因式分解的相关概念及根本方法因式分解的相关概念及根本方法 公因式公因式定义定义一个多项式各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各一个多项式各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式项的公因式提取公因式提取公因式法法定义定义一般地，如果多项式的各项都有公因式，可以把这个公因一般地，如果多项式的各项都有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式的乘积形式，即式提到括号外面，将多项式写成因式的乘积形式，即mamambmbmcmc_应用注意应用注意(1)(1)提公因式时，其公因式应满足：提公因式时，其公因式应满足：系数是各项系数的系
9、数是各项系数的最大公约数；字母取各项相同字母的最低次幂；最大公约数；字母取各项相同字母的最低次幂；(2)(2)公因公因式可以是数字、字母或多项式；式可以是数字、字母或多项式；(3)(3)提取公因式时，若有一提取公因式时，若有一项全部提出，括号内的项应是项全部提出，括号内的项应是“1 1”，而不是，而不是0 0m(abc)第第3讲讲整式及因式分解整式及因式分解运用公式法运用公式法平方差公平方差公式式a a2 2b b2 2_完全平方完全平方公式公式a a2 22 2ababb b2 2_ a a2 22 2ababb b2 2_因式分解的一般步骤因式分解的一般步骤一提一提(提取公因式提取公因式)
10、；二套二套(套公式法套公式法)；一直分解到不能分解为止一直分解到不能分解为止(ab)(ab)(ab)2(ab)2 探究一探究一 同类项同类项 命题角度：命题角度：1 1同类项的概念；同类项的概念；2 2由同类项的概念通过列方程组求解同类项的指数由同类项的概念通过列方程组求解同类项的指数的字母的值的字母的值归归 类类 探探 究究第第3讲讲整式及因式分解整式及因式分解C 解析解析1亿亿108 8，11.2亿亿1.12109 9。第第3讲讲整式及因式分解整式及因式分解(1)(1)同类项必须符合两个条件：第一，所含字母相同；同类项必须符合两个条件：第一，所含字母相同；第二，相同字母的指数相同两者缺一不
11、可。第二，相同字母的指数相同两者缺一不可。(2)(2)根据同类项概念根据同类项概念相同字母的指数相同列方程相同字母的指数相同列方程(组组)是解此类题的一般方法。是解此类题的一般方法。第第3讲讲整式及因式分解整式及因式分解命题角度：命题角度：1 1整式的加、减、乘、除运算；整式的加、减、乘、除运算；2 2乘法公式乘法公式 探究二整式的运算探究二整式的运算 D 例例2 20212 2021泸州泸州 以下各式计算正确的选项是以下各式计算正确的选项是()A A(a7)2(a7)2a9 Ba9 Ba7a7a2a2a14a14C C2a22a23a33a35a5 D5a5 D(ab)3(ab)3a3b3a
12、3b3解析解析A利用幂的乘方运算法则计算得到结果；利用幂的乘方运算法则计算得到结果；B.利用利用同底数幂的乘法法则计算得到结果；同底数幂的乘法法则计算得到结果；C.原式不能合并；原式不能合并；D.利利用积的乘方运算法则计算得到结果用积的乘方运算法则计算得到结果 第第3讲讲整式及因式分解整式及因式分解 解解第第3讲讲整式及因式分解整式及因式分解 (1)(1)对于整式的加、减、乘、除、乘方运算，要充对于整式的加、减、乘、除、乘方运算，要充分理解其运算法那么，注意运算顺序，正确应用乘法公分理解其运算法那么，注意运算顺序，正确应用乘法公式以及整体和分类等数学思想。式以及整体和分类等数学思想。(2)(2
13、)在应用乘法公式时，要充分理解乘法公式的结在应用乘法公式时，要充分理解乘法公式的结构特点，分析是否符合乘法公式的条件。构特点，分析是否符合乘法公式的条件。第第3讲讲整式及因式分解整式及因式分解命题角度：命题角度：1因式分解的概念；因式分解的概念；2提取公因式法因式分解；提取公因式法因式分解；3运用公式法因式分解：运用公式法因式分解：(1)平方差公式；平方差公式；(2)完全平方完全平方公式公式C 探究三探究三 因式分解因式分解 例例4 20214 2021恩施州恩施州 把把x2yx2y2y2x2y2xy3y3分解因式正确分解因式正确的选项是的选项是()A Ay(x2y(x22xy2xyy2)y2
14、)B Bx2yx2yy2(2xy2(2xy)y)C Cy(xy(xy)2 y)2 D Dy(xy(xy)2y)2第第3讲讲整式及因式分解整式及因式分解解析解析首先提取公因式首先提取公因式y，再利用完全平方公式进行二次分，再利用完全平方公式进行二次分解即可解即可x2y2y2xy3y(x22yxy2)y(xy)2.第第3讲讲整式及因式分解整式及因式分解 (1)(1)分解因式的步骤：一提分解因式的步骤：一提(提公因式提公因式)、二套、二套(套套公式公式)、三验、三验(检验是否分解彻底检验是否分解彻底)。(2)(2)注意一些常见的恒等变形：如注意一些常见的恒等变形：如yx(xy)，(yx)2(xy)2
15、。(3)(3)应用公式法因式分解时应用公式法因式分解时，要牢记平方差公式要牢记平方差公式和完全平方式及其特点。和完全平方式及其特点。第第3讲讲整式及因式分解整式及因式分解 探究四探究四 整式运算与因式分解的应用整式运算与因式分解的应用 命题角度：命题角度：1 1整式的规律性问题；整式的规律性问题；2 2利用整式验证公式或等式；利用整式验证公式或等式；3 3新定义运算；新定义运算；4 4利用因式分解进行计算与化简；利用因式分解进行计算与化简；5 5利用几何图形验证因式分解公式利用几何图形验证因式分解公式例例5 20215 2021滨州滨州 观察以下各式的计算过程：观察以下各式的计算过程：5 55
16、 50 01 11001002525，151515151 12 21001002525，252525252 23 31001002525，353535353 34 41001002525，请猜测，第请猜测，第n n个算式个算式(n(n为正整数为正整数)应表示为应表示为 _ _ _._.10(n1)5100n(n1)25或或5(2n 1)5(2n1)100n(n1)2510(n1)5第第3讲讲整式及因式分解整式及因式分解解析解析根据数字变化规律得出个位是根据数字变化规律得出个位是5的数字与本身乘积等的数字与本身乘积等于十位数乘十位数字加于十位数乘十位数字加1再乘再乘100再加再加25，即，即10
17、(n1)510(n1)5100n(n1)25或或5(2n1)5(2n1)100n(n1)25.第第3讲讲整式及因式分解整式及因式分解 解决整式的规律性问题应充分发挥数形结合的作用，从分析图形的结构入手，分析图形结构的形成过程，从简单到复杂，进行归纳猜测，从而获得隐含的数学规律，并用代数式进行描述。第第3讲讲整式及因式分解整式及因式分解完全平方公式大变身完全平方公式大变身 回回 归归 教教 材材把以下各式分解因式：把以下各式分解因式：(1)3ax26axy3ay2；(2)x24y24xy.(1)3ax26axy3ay23a(x22xyy2)3a(xy)2；(2)x24y24xy(x24xy4y2
18、)x22x2y(2y)2(x2y)2.解解第第3讲讲整式及因式分解整式及因式分解点点 析析如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是是“”号时，可以先提取号时，可以先提取“”号，然后再用完全平方公号，然后再用完全平方公式分解因式式分解因式 第第3讲讲整式及因式分解整式及因式分解中中 考考 预预 测测 分解因式：分解因式：(1)x36x29x；(2)2x24x2；(3)a3a；(4)9ax26axa。1x(x3)22.2(x1)23a(a1)(a1)4.a(3x1)2 解解18.118.1平行四边形平行四边形18.1.2平行四边形的判定平行四边
19、形的判定第第2课时课时B 如图，如图，取两根等长木条取两根等长木条AB、CD,将将他们平行放置，在用两根木条他们平行放置，在用两根木条BC、AD加固，得到的四边形加固，得到的四边形ABCD是一个平行是一个平行四边形吗？四边形吗？大家齐动手大家齐动手ABCD12 如图，如图，取两根等长木条取两根等长木条AB、CD,将他们将他们平行放置，在用两根木条平行放置，在用两根木条BC、AD加固，得加固，得到的四边形到的四边形ABCD是一个平行四边形吗？是一个平行四边形吗？连接连接AC ABCD,1=2，又又 AB=CD,AC=CA,ABC CDA BC=AD 四边形四边形ABCD有两组对边相等，是一个平行
20、四边形有两组对边相等，是一个平行四边形一组对边平行且相等一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的四边形是平行四边形行家伸伸手行家伸伸手平行四边形的判别方法平行四边形的判别方法图形语言图形语言符号语言符号语言定义定义 判别判别1判别判别2判别判别3ABCDADBCABCDAB=CDAB=CDOA=OCOB=ODAD=BC四边形四边形ABCD是是四边形四边形ABCD是是四边形四边形ABCD是是四边形四边形ABCD是是ABCDABCDABCDABcD百炼成金百炼成金o应用与拓展应用与拓展 1、如图，四个全等三角形拼成一个大的三角形，、如图，四个全等三角形拼成一个大的三角形，图中所有的平行四边形，并且
21、说明理由。图中所有的平行四边形，并且说明理由。A1A2A3A4A5A6A1A2A5A3解：解：因为这因为这3个四边形的两组对边分别是全等三角形的对应个四边形的两组对边分别是全等三角形的对应边，它们分别彼此相等。边，它们分别彼此相等。A2A4A5A3A2A5A6想一想想一想 1一组对边平行，另一组对边相等的四边形一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形吗？一定是平行四边形吗？2有两条边相等，并且另外的两条边也相有两条边相等，并且另外的两条边也相等的四边形一定是平行四边形吗？等的四边形一定是平行四边形吗？不一定不一定例如例如等腰梯形等腰梯形解：解：解：解：不一定不一定例如例如如下图的两
22、个不同等腰三角形叠放起来如下图的两个不同等腰三角形叠放起来尺规画平行四边形尺规画平行四边形作作 ABCD(1)使使AB=1，BC=2，这样的平行四边形唯一吗？，这样的平行四边形唯一吗？2AB=1，BC=2，ABC=60这样的平行四边形这样的平行四边形唯一吗？唯一吗？答：不唯一答：不唯一 ，因为因为ABC的大小不确定，可画无数多个的大小不确定，可画无数多个答：唯一答：唯一众说纷纭众说纷纭先自主探索，再先自主探索，再4人一组合作交流人一组合作交流 如图，如图，AB=CD,并且并且DCA=BAC ,仔细想一仔细想一想，四边形想，四边形ABCD是平行四边形吗？如果是，你有几种是平行四边形吗？如果是，你
23、有几种判别方法？你能否给出证明？如果不是，请说明理由或判别方法？你能否给出证明？如果不是，请说明理由或举出反例。举出反例。ABCD例：如图，点例：如图，点D、E分别是分别是ABC的边的边AB、AC的中点的中点AEDCBBCDE21求证求证:DEBC,且且 新定义：连接三角形两边中点的线段叫做新定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形的中位线。学海拾贝学海拾贝证明：延长证明：延长DE到到F，使，使EF=DE，AE=EC,FAEDCB CFBD,且且CF=BD,DFBC,且且DF=BC又又DFDE21 DFBC,且且BCDE21连接连接FC、DC、AF三角形的中位线三角形的中位线平
24、行于平行于三角形的第三边，且等于第三角形的第三边，且等于第三边的三边的一半一半。四边形四边形ADCF是平行四边形是平行四边形，CFDA,且且CF=DA四边形四边形DBCF是平行四边形是平行四边形学海拾贝学海拾贝收获与困惑收获与困惑1、探索了几种判别平行四边形的新方法、探索了几种判别平行四边形的新方法2、学会了用尺规画平行四边形的方法、学会了用尺规画平行四边形的方法3、进一步理解了几何证明的三步曲、进一步理解了几何证明的三步曲要证要证只需证只需证只要证只要证逆推法逆推法课外练兵，温故知新课外练兵，温故知新ABCDEF：ABCD中，点中，点E、F分别在分别在AB、CD上，并上，并且且BE=DF.求证：四边形求证：四边形DEBF是平行四边形是平行四边形学习了本节课你有学习了本节课你有哪些哪些 收获？收获？
