1、 1 河源市 2015-2016学年第二学期期末质量检测 高二理科数学试卷 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分 .在每小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题卡上。 1. 已知 ,ab?R ， i 是虚数单位，若 ia? 与 2ib? 互为共轭复数，则 2( i)ab? A 34i? B 34i? C 54i? D 54i? 2命题“ ,x R x x? ? ? ”的否定是（ ） A.“ ,x R x x? ? ? ” B.“ ,x R x x? ? ? ” C.“ ,x R x x? ? ? ” D.“ ,x R x x? ? ? ” 3 若 |a|
2、1， |b| 2，且 a (a b)，则向量 a， b的夹角为 ( ) A 45 B 60 C 120 D 135 4实数 m 是 ? ?0,6 上的随机数，则关于 x 的 方程 2 40x mx? ? ? 有实根的概率为（ ） 14 13 12 23 5、 如图，网格纸上 小正方形 的边长为 1，粗线画出的是某多面体的 三视图，则该多面体的体积为 （ ） A 8 B 12 C 16 D 20 6已知正项数列 na 中， 11?a ， 22?a ， 2 222 12 ? ? nnn aaa 则 ?6a （ ） A 16 B 4 C. 2 2 D 45 7 执行如图所示的程序框图，则输出的 S
3、值是 （ ） A -1 B 23 C 32 D 4 8已知 f(x) =Asin( x? )(A0， ? 0， 00且 0)21( ?g 则不等式 f (x) g (x)0的解集是 =_ _ 三、解答题：本大题共 6道小题，共 70分，解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17（本小题 满分 10分） 3 已知等比数列 ?na 的前 n项为和 nS ，且 .7,02 323 ? Saa (1)求数列 ?na 的通项公式； (2)求数列?nan 的前 n项和 nT . 18（本小题满分 12分） 在ABC?中，内角 A、 B、C对应的边长分别为a、b、c，已知221c os 2c a B b
4、 a b? ? ? （ 1）求角 ； （ 2）求sin sinBC?的取值范围 . 19（本小题满分 12分） 2016年 1月 1日 起全国统一实施全面两孩政策。为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取 70 后和 80后作为调查对象，随机调查了 100位，得到数据如下表： 生二胎 不生二胎 合计 70后 30 15 45 80后 45 10 55 合 计 75 25 100 （ 1） 以这 100 个人的样本数据估计该市的总体数据 ,且以频率估计概率，若从该市 70后公民 中 随机抽取 3位 ,记其中生二胎的人数为 X ，求随机变量 X 的分布列和数学期望。 （ 2）根据调查数据，
5、是否有 90% 以上的把握认为 “ 生二胎与年龄有关 ” ，并说明理由； 参考数据： 2()PK k? 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 （参考公式： 22 ()( ) ( ) ( ) ( )n a d b cK a b c d a c b d? ? ? ? ?，其中 n a b c d? ? ? ? ） 20（本小题满分 12分） 如图，已知长方形 ABCD 中， ADAB 2? ， M 为 DC 的中点将 ADM? 沿 AM 折起，使得平面 ADM? 平面 ABCM 4 （ 1）求证
6、： AD BM? ； （ 2） 若 E 是线段 DB 上的 中 点， 求 AE 与平面 BDM 所成角的正弦值 . 21（本小题满分 12分） 椭圆 22 1( 0)xy abab? ? ? ?的左右焦点分别为 1F ， 2F ,且离心率为 12 ,点 P 为椭圆上一动点， 12FPF? 面积的最大值为 3 . (1) 求椭圆的方程 ; (2) 设椭圆的左顶点为 1A ,过右焦点 2F 的直线 l 与椭圆相交于 A ,B 两点，连结 1AA, 1AB并延长分别交直线 4x? 于 P ， Q 两点，问 22PF QF? 是否为定值？若是，求出此定值；若不是 ,请说明理由 . 22（本小题满分 1
7、2分） 已知函数 2( ) 2 1? ? ? ?xf x xe ax x在 1?x 处取得极值 . （ 1）求函数 ()fx的单调区间； （ 2）若函数 ( ) 1? ? ?y f x m 在 2,2? 上恰有两个不同的零点，求实数 m 的取值范围 . 5 河源市 2015-2016学年第二学期期末质量检测 高二理科数学参考 答案 一、选择题： 本大题共 12小题，每小题 5分，满分 60分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C A B D B D A C A A D 二、填空题： 本大题共 4小题，每 小题 5分，满分 20分 13. 2 14 2 2 1
8、5. 144 16. )21,0()21,( ? 三、解答题：本大题共 6个小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（本小题满分 10分） 解：（ 1） 设 ?na 的 公比为 q ， 依 题意 ， 得 21121 1 12 0, 7,a q a qa a q a q? ? ? ? ? 2分 解 得 1 1,2,aq? 4分 所以 12nna ? 5分 （ 2）由（ 1）得，12nnnna ?， 所以21231 2 2 2n nnT ? ? ? ? ?， 6分 所以211 1 2 12 2 2 2 2n nnnnT ? ? ? ? ?， 7分 得，211 1 1 112
9、2 2 2 2n nnnT ? ? ? ? ? ? 8分 1121 21 2nnn?22 2nn? 9分 所以124 2n nnT ? 10分 18（本小题满分 12分） 解：（ 1）221c os 2c a B b a b? ? ?，由余弦定理得 6 ? ?0,A ?，3A ? ? 6分 （ 2）? ?si n si n si n si n si n si n c os c os si nB C B A B B A B A B? ? ? ? ? ? ? ? 7分 33si n c os 3 si n2 2 6B B B ? ? ?； ?9分 20, 3B ?，5,6 6 6B ? ? ?，1
10、si n ,162B ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?11分 sin sinBC?的取值范围为（ 23 ， 3 ? 12 分 19（本小题满分 12分） 解： （ 1） 由已知得 70 后 “生二胎”的概率为 ?4530 23 ，并且 X 2(3, )3B ，? 2分 所以 33 21( ) ( ) ( )33k k kP X k C ? ( 0,1,2,3)k? 3分 其分布列如下 X 0 1 2 3 P 127 29 49 827 （每算对一个结果给 1 分） 所以， 2323EX ? ? ? ? 8 分 （ 2） 222 ( ) 1 0 0 ( 3 0 1 0 4 5 1 5
11、)( ) ( ) ( ) ( ) 7 5 2 5 4 5 5 5n a d b cK a b c d a c b d? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?100 3.030 2.70633? ? ? ? 11分 所以有 90% 以上的把握认为“生二胎与年龄有关”。? 12分 20（本小题满分 12分） 解： 7 （ 2） 建立如图坐标系， ? ? ? ? 2 2 2 2 22 , 0 , 0 , 0 , 2 , 0 , , 0 , , , , .2 2 4 2 4A B D E? ? ? ? ? ? ? ? ? ?8分 )0,2,0(),2 2,0,2 2(),4 2,2 2,4 23(
12、? MB MD AE? 9分 设平面 BMD 的法向量为 ? ?,x y z?n 0 , 0 , 2 , 0 , 1 ,M B M D x y z? ? ? ? ? ? ? ?nn ? ? 72 , 0 , 1 , c o s .2AE? ? ? ?nn所以 AE 与平面 BDM 所成角的正弦值为 7.2? 12 分 21（本小题满分 12分） 解： (1) 已知椭圆的离心率为 12 ，不妨设 ct? ， 2at? ，即 3bt? ，其中 0t? ， 又 12FPF 面积取最大值 3 时，即点 P 为短轴端点， 因此 1 2 3 32 tt? ? ? ，解得 1t? ，则椭圆的方程为 2214
13、3xy?. ? 4分 (2) 设 直线 AB 的方程为 1x ty?， 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y 联立 221143x tyxy? ?可得 22(3 4) 6 9 0t y ty? ? ? ?，则 43 6221 ? t tyy ， 43 9221 ? tyy ?6分 直线 1AA 的方程为 11 ( ( 2)( 2)yyxx? ? ? ， EDCBAxMyz8 直线 1BA 的方程为 22 ( ( 2)( 2)yyxx? ? ? ， 则116(4, )2yP x ? ， 226(4, )2yQ x ? ， ? 9分 则 12 16(3, )2yFP x? ?， 22
14、 26(3, )2yFQ x? ?， 则 1 2 1 222 21 2 1 2 1 26 6 3 69 ( ) ( ) 9 02 2 3 ( ) 9y y y yF P F Q x x t y y t y y? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 即 22FPFQ? 为定值 0. ? 12分 22（本小题满分 12分） 解：（ 1） ( ) 2 2? ? ? ?xxf x e xe ax， ()fx在 1?x 处取得极值， ? ( 1) 0?f ，解得 1?a .经检验 1?a 适合 . ? 2 分? 2( ) 2 1? ? ? ?xf x xe x x， ( ) ( 1)( 2)? ? ?
15、xf x e 又 02?xe Rx? 当 ( , 1)?x 时， ( ) 0?fx ， ? ()fx在 ( , 1)? 递减； 当 ( 1 )? ?x 时， ( ) 0?fx ， ? ()fx在 ( 1, )? ? 递增 . ?5分 （ 2）函数 ( ) 1? ? ?y f x m 在 2,2? 上恰有两个不同的零点， 等价于 2 20? ? ? ?xxe x x m在 2,2? 上恰有两个不同的实根， 等价于 2 2? ? ?xxe x x m在 2,2? 上恰有两个不同的实根 . ?7分 令 2( ) 2? ? ?xg x xe x x， ? ( ) ( 1)( 2)? ? ?xg x x e， 由 （ 1）知 ()gx在 ( , 1)? 递减； 在 ( 1, )? ? 递增 . ? 9分 ? ()gx在 2,2? 上的极小值也是最小值； m in 1( ) ( 1) 1? ? ? ? ?g x g e. ? 10 分 又22( 2) ,? ?g e2(2) 8 2 ( 2)? ? ?
