1、l第一节 拉格朗日中值定理与函数单调性判定法l第二节 函数的极值及判定l第三节 函数的最大值和最小值l第四节 曲线的凸凹性与拐点l第五节 函数图形的描绘l第六节 洛必达法则l第七节 导数在经济问题中的应用一、拉格朗日值定理(),(,)()(),(,),().yf xa ba bf bf aa bfb a设函数在闭区间上连续 在开区间内可导则在开区间内至少存在一点使成立 定理()(),(),(),()()().f bf ab aABfABff bf afb a 定理的结论正确性可以通过图15-1直观地反映出来.正是曲线两端点所成的弦的斜率而曲线弧上至少存在一点过该点的切线平行即斜率相等而该点切线
2、斜率为所以有15 1图 拉格朗日中值定理示意图abx()fBA()yf xyO上式有几种不同的写法.()()()(),()()()(),01f bf afbaa bf bf afababa 位 于之 间或 ()(),()0,()f af bABxa,bff 等于的情形可作为拉格朗日中值定理的一个特例这时弦平行 轴即斜率为零 定理的结论应为:至少存在一点(),使即过点,处有一条水平切线(见图15-2).15 2()()f af b图 拉氏定理时示意图ab()fAB()yf xyOx5lnsin,6 6()0.yxf验证函数在区间上拉格朗日定理特例的正确性,并找出使的 点 例1 验证5coslns
3、in,;cot6 6sin5155,ln,6 662626 6()0.xyxyxxfff 函数在区间上连续是显然的在存在 且则存在一点使成立22arctanarctan,(0).11b ab abaabab证明例3 证arctan,yxa b函数在上满足拉格朗日定理条件,21arctanarctan(),(,)1babaa b所以 22222211,.1111b-ab-ab-ababa1因为所以1+1+22arctanarctan,(0).1b-ab-abaabba即1+()0(,)()a,bf xa bf x论 如果在区间上明则在上为一常数.推1(),121212212112,(),()()
4、()(),(,)a,bx xxxx xf xf xfxxx x证 在区间内任取两点在上应用拉格朗日定理,有()12()0,()0,()().f xff xf x由已知条件所以(),().f xc c任意两点函数值相等的函数必为常数,即为常数()(),()(),().a,bf xg xf xg xc c论若在内有则为常数推2()()()(),()()()0h xf xg xh xf xg x证 令则(),()().h xcf xg xc所以所以二、函数单调性的判定性()(,),()0,(,)()(,);()0,(,)()(,)yf xa bf xxa bf xa bf xxa bf xa b设函
5、数在内可导若则在上为增函数 若则在上为减函数.(一阶导数符号和函数单调性是否为充要条件?)定理 121212212112(,),()()()(),a bx xxxx xf xf xfxxxx对于内任意两点设在区间上应用拉格朗日定理,有 证2112()0,()0,()()0,()(),()(,).,()0,()(,).f xff xf xf xf xf xa bf xf xa b 若则所以即所以在上为增函数同理 若则在上为减函数:(1)(,)()0,()0()0,()(,)().a bfxfxfxf xa b 注如果在上某些孤立点使而其余点恒有则函数在上仍是单调增 单调减(2)(),()0()0
6、,(),yf xa ba,bf xf xf xa b 若函数在上连续 在()内可导,并且则在上为增函数(减函数).1.xyex讨论函数的单调性例5 解1,xye因为0,0,1xxyy ex 所以当函数在(-,0)上为单调减;0,0,1xxyy ex 当函数在(0,+)上为增函数.15 3010,0,xxy exyy 注意到中是函数的单调减,单调增区.的分界点,而在该点处即过点该点有条水平切线且在该点处函数取得极小值.,()0()()f xf xf x 判断函数增减时先把一些特殊点找到即使或不存在的点,然后以此作分点,将定义域分成几部分,使在各个分部区间上保持固定符号,从而可确定每个部分区间上函
7、数的单调性.15 3图 例5示意图1xyex12112xy13229123.yxxx确定函数的单调区间例6 解261812 6(1)(2),0,1,2,yxxxxyxx因为令得1,0;12,0;2,0,xyxyxy 所以当时当时当时所以函数在(-,1),(2,+)上单调增,在(1,2)上为单调减.15 4,(1,2),(2,1).函数的图形如图所示 在点处有水平切线15 4图 例6示意图xy3229123yxxx12312332.yx确定函数的单调区间例7 解132 13yx 因为 0,;xy所以当时为无穷大不存大320,0(,0)xyyx当时区间上函数为单调减;320,0,(0,),15 5
8、xyyx当时区间上函数为单调增函数的图形如所示15 5图 例7示意图xy22yxO思考题 1.罗尔定理的三个条件是充要条件吗？能否去掉某个条件？答案2.拉格朗日定理的结论有哪些形式？(举例至少写三种形式)答案 3.请思考并写出罗尔定理与拉格朗日定理有何关系？答案课堂练习题5,.61.验证罗尔定理对lnsin 在上的正确性6y=x答案22.23确定函数的单减区间.y=xx答案定义000000()()(),();()()().xx xxf xf xf xf xf xf x 如果对 附近的任意都有成立 则为极大值 若成立,则为极小值0,x 函数的极大 极小值统称极值 使函数取得极值的点极值点.函数的
9、极值是局部性的,它只限于 的某一邻域内,通过函数相比较才能显示出来.在一个区间上,函数可能有几个极大,极小值,可能会有极大值于极小值.极值点和导数的关系如何？由图15-6可知：()a 极大值情形xyO0 x()b 极小值情形xyO0 x图15-6 极大值与极小值示意00(),()0().0 xf xf xf x若 是函数的极值点 则或不存在定理1 证0().f x以为极大值为例000000000()(),()()()(),0;,0.xxxf xf xf xf xf xf xx xx xx xx x设 为 某一邻域内异于 的任一点,则于是当时当时00000000000(),()()()(0)li
10、m0()()()(0)lim0 xxxxf xxf xf xf xf xx xf xf xf xf xx x若函数在 处可导则有 0(),f xx所以这时必有 若函数在 处不可导便是定理结论.123157 yxyx图 与在(0,0)点极值情况xy3yx3()a yxO13()b yxxyO13yx000()0(),fxfxx特别注意,定理1的逆定理是不成立的.即使有或不存在 函数在 点也不一定必是极值点.如320,3,0,xyxyxy但(0,0)点不是函数的极值点.1323011,03xyxyyx 不存在,但(0,0)点不是极值点()见图15-7()0().f xyf x 凡是使的点叫作函数的
11、驻点对可导数函数而言,极值必是驻点驻点不一定是极值点.00(),yf xxx设函数在点 处连续,在点 的某一空心邻域内可导 如果 定理2 0000(1),()0;()0,()();x xf xx xf xf xxf x当时当时则函数在点 处取得极大值0000(2),()0;()0,()();x xf xx xf xf xxf x当时当时则函数在点 处取得极小值00(3),()()xxf xf xx当 从 时的左侧变化到右侧时不变号,则在 处无极值.2xyx e求函数的极值.例1 解2,2(2),00,2.xxxyxex exexyxx因为令得驻点0,0;02,0,20.xyxyxy 当时当时当
12、时200;24.xyxye所以函数在处取得极小值在取得极大值,当函数在驻点处二阶导数存大时有以下判定定理.00()(),()0,yf xxfxf x设函数在点 处具有二阶导数且则有定理3 00()0,;fxx(1)当时 函数在处取得极大值00(2)()0,;fxx当时 函数在处取得极小值0(3)()0,fx 当时失效000000()()()()limlim0,xxxxfxfxfxfxxxxx证(1)000000()0,(),()0;,2,();f xxf xx xx xx xf xx xf x所以在 的足够小的邻域内必有说明与异号即当时当由定理 知为极大值(2)同理可证44300(3)0,0,
13、00,0,(3),xxyxxyxxyxxyy看例:在处有极小值在处有极大值在处无极值以上三题中都有所以说情形失效失效时必须用定理2来判定驻点是否为极值点.23()(1)1.f xx求函数的极值例2 解221,()6()()0,1,0,1f xx xf xxxx令因为得驻点2222216 2(1)211()6()6()(5).xxxfxxxx所以(0)6 0,()0(0)0.ff xxf 又因为所以函数在处取得极小值为(1)0(1),31()0,10()0,()1.1()fxfxf xxf xf xxx 因为定理 失效.下面利用定理2.当时当时所以函数在处无极值同理函数在处无极值 见图15-81
14、5 8图 例2示意图1112323(1)1yxyOx23()1(2).f xx 求 函 数的 极 值例 3 解1321().3(2)f xx 2,()0,;2,().xf xxf x当时函数无驻点当时不存在000,(),()yf xxxf xx对于这种情况 若在点 处连续但不可导且 两侧均可导函数在 处取得极值时必满足:0000,()0;()0,()().x xf xx xf xf xxf x当时当时则函数在点 处取得极大值0000,()0;()0,()().x xf xx xf xf xxf x当时当时则函数在点 处取得极小值00,()()xxf xyf xx当 从 时的左侧变化到右侧时不变
15、号,此时函数在 处无极值.2()0,2,()0.2(2)1xf xxf xxf故有当时当时所以函数在处有极大值思考题1.极值点与驻点的关系是什么?答案2.说明极值与最值的区别.答案3.极值存在的必要条件是什么?答案课堂练习题223.y=xx1.求的极值答案422.21.yxx 求出的全部驻点答案 在工农业生产和科学实验中，常要遇到在一定条件下，怎样用料最省、效率最高或性能最好等问题，这些问题归纳到数学上，即为函数最大值或最小值问题.(),(),(),()0()(),yf xa bf af bf xf xa ba b 假定函数在闭区间上连续 则必存在最大值,最小值其确定方法为:计算出端点处的函数
16、值和区间内使及不存在的所有点的函数值 即有可能为极值点的函数值 相比较 其中最大的就是函数在闭区间上的最大值,最小的就是函数在上的是最小值.21233()(1)2,2.f xxx求函数在区间上的最大值和最小值例1 解242331212223333(1)2112()2,333(1)(1)xxfxxxxxx因为242330,1,().()0,(1),xxf xf xxx所以在处不存大令即11,0,1,2.22xx 得为驻点所以最值点只可能出现在处333()1(0)1,(1)1,4,(2)432f xffff又因为为偶函数,所以只需考虑下列函数值 3331:()2,24,2(2)43.f xff 比
17、较得 函数在区间上最大值为最小值a将边长为 的正方形四角截去四个相等的小正方形,然后折成一个无盖的盒,问小正方形边长为多少时,能使盒的容积最大?例2 解2,(2),0,2xavax x x设所截小正方形的边长为 则折成的盒子的体积为 222(2)(2)(2)(2)(6)vaxxaxax ax所以0,0,2.6avax令在区间内只有一个驻点32(6)6(2)248.406,.6vaxaxxaavaaxva2所以当时 有最大值为2715 10图 例2示意图ax000,()().xf xf x 在实际问题中往往根据问题的性质就可以断定函数确有最大值或最小值而且一定在定义域内部取得,这时如果定义域只有
18、一个驻点就不必讨论是不是极值,就可断定是最大或最小值20,100,?(15 11)AkmBBkmBCDACAD设工厂 到铁路线距离为垂足为铁路线上距离离处有一原料供应站现从间某处 向工厂 修一条公路 使从 运货到 运费最省问 应选在何处 见图 例3 解22,5(100)203BD xkmaayx axa设铁路每公里运费为 则5公路每千米运费为于是总运费为3 225,0,32015(0,100).xyaayxx 所以令得为惟一的驻点15,DBkm依题意,必存在极小值,所以当 距处时使运费最低.15 11图 例3示意图CxADB,?ErRR一稳压电源回路电动势为 内阻为 负载电阻为 问如何选择才能
19、使输出功率最大 例5,解222,()EIIR rEP I R ER r由电学知识知为电路中的电流则输出功率为 23,0,.()RRr RPEPRrR r所以令所以为惟一的驻点0,0;,0.RRR rPR rP当时时2,4RrER所以当时 即外阻等于内阻时,输出功率最大,最大功率为思考题1.?在闭区间上求函数的最大值和最小值的一般步骤是什么答案02.?xf x0如果一个函数在其定义域只有一个驻点 就可判定是最值吗答案3.?最值就是极值吗答案课堂练习题321.23,1,4.yxxx 求函数的最大值和最小值答案22.21,.yxxxy设在 取何值时的值最小答案15 16图 曲线为凸Oxxy()yf
20、x15 17图 曲线为凹()yf xxxOy为了准确地描绘函数的图形,仅了解函数的单调节器性和极值是不够的,还应了解它的弯曲方向以及不同弯曲方向的分界点.这一节将利用二阶导数来研究曲线的凸凹性及拐点.从图15-16中看出,曲线上各点的切线都位于曲线的上方,从图15-17看出,曲线上各点的切线都位于曲线的下方,看到的这种现象我们称这为曲线的凸凹性,下面给出曲线凸凹性的定义及判别法.(,)()(,);()(,).a byf xa byf xa b义 若在区间内曲线在各点的切线都位于曲线的上方,则称此曲线在内为凸的 若曲线的各点切线都有位于曲线的下方,则称此曲线在内为凹 定()(,)f xa b设函
21、数在区间上具有二阶导数.定理(1)()0,(2)()0,fxfx当时则曲线为凸当时则曲线为凹lnyx判 断 曲 线的 凸 凹 性.例 1 解211.00,yyxyxx 因为所以在定义域上曲线为凸(见图15-18)0,0(0),yyy 如果在区间上个别点有其点恒有则曲线仍为凸(凹)15 18图 例1示意图1Oxylnyx233yxx求 曲 线的 凸 凹 区 间.例 2 解2 63,6 66(1),yxx yxx 因为1,0,(,1)xy所以当时所以函数在上为凹.1,0,(1,)1(1)0.xyxy当时函数在上为凸(见图15-20),是凸凹区间的一个分界点,点(1,2)曲线上凸凹性的分界点,称为拐
22、点,这时有15 20图 例2示意图Oxy233yxx4212000(),()f xxxx f x义 若函数在点处连续并且在其左右邻域上凸凹性相反,则点叫作曲线弧的拐点.定拐点和二阶导数关系如何?000130,()(),()0(),:(0,0)(0),.x f xyf xfxfxyxf 若点为曲线的一个拐点 则必有或不存在 如点为曲线的拐点,则不存在 反之一定成立00()0()fxfx 或不存在是拐点存在的必要条件但不充分000000:()0(),(),()(),.xfxfxfxxxf xyf x 拐点确定 函数在点处连续且或不存在若二阶导函数在点左右两侧变号,则点为曲线的拐点 否则不是拐点43
23、341yxx求函数的凸凹区间及拐点.例3 解32 1212,yxx因为22 362436().3yxxx x2 0,0,.032,0,0,3yxxyyy令得所以在区间(-,0)内,曲线为凹;2在区间 0,内曲线为凸;在区间内曲线为32 11凹,所以点(0,1)和(,),为该曲线的拐点.3 27122(4)yx 求函数的凸凹区间及拐点.例4 解253312(4),(4),4,394.4,0,(,4)4,0,yxyxxy yxxyxy 因为当时都不存在 但函数在处连续当时所以区间曲线为凹;当时所以区间(4,+)曲线为凸(4,2).所以点为曲线的拐点思考题1.曲线的凹凸性是由什么来判断的?答案22.
24、函数4-在整个实数轴 上都是凸的吗?为什么?y=x xR答案课堂练习题12ln7.41.求的拐点y=xx 答案 借助一阶导数的符号,可以确定函数的单调性与极值,借助二阶导数的符号可以确定曲线的凸凹性与拐点,知道了这些条件后,可以较准确地做出函数的图形.描绘图形的一般步骤如下.(1),(),().f x fx确定函数的定义域如果有对称性也需考虑并求出一二阶导数(2)()0,()0f xfx解出方程的全部实根,及一,二阶导数不存在所有点及间断点,并以此作分点,从小到大依次将定义域分成几个部分区间.(),(),fxfx(3)确定每个部分区间的符号并由此确定函数的升降和凸凹,极值点和拐点.()0,()
25、0,()f xfxyf x(4)计算方程的根所对应的函数值 及一 二阶导数不存在的点的函数值,定出图形上的相应点,有时还要补充一些其他适当的点;如果有渐近线和其他变化趋势也必须考虑进去,最后用平滑曲线连接,画出函数图形.321.yxxx画出函数的图形例1 解2(1)(),()321(31)(1),()62 2(31).f xf xxxxxfxxx 所给函数的定义域为(-).11(2)()0,1;()0,.33f xxxfxx令令11 1,33 31,1,1,3 把以上的根由小到大排列,依次将定义域分成-四个部分.1,()0,()0,3f xfx(3)在-,内所以曲线上升且为凸;1 1,()0,
26、()0,3 3f xfx在-,内所以曲线下降且为凸;1,()0,()0,3f xfx在,1内所以曲线下降且为凹;,()0,()0,f xfx在 1,+内所以曲线上升且为凹;11,133.xxx 所以函数在处有极大值 在处有极小值,在处有拐点132116(4),(1)0,3273275(1)0,(0)1,(1.5),8,;,(3),321(15 23).ffffffxyxyyxxx 计算出从而定出曲线上三个点,适当补充一些点再考虑到变化趋势,当时时结合中的分析最后将这些点用平滑曲线联结可画出函数的图形 见图15 23图 例1示意图x11O1 32(,)3 271 32(,)3 27y23(1).
27、yxx 描 绘 曲 线例 3解21331312332433(1),252()(1)3315(52)1023()39xfxxxxxxxxxfxxx所 给 函 数 的 定 义 域 为(-+)21(2)()0,()0,0,(),()55112,0,0,5552,.5f xxfxxxf x fx 令令当时均不存在,把以上各点按从小到大排列,依次将定义域分成-四个部分区间1(3),()0,()0,5f xfx 在-内所以曲线上升且为凸;1,0,()0,()0,5f xfx在内所以曲线上升且为凹;20,()0,()0,5f xfx在内所以曲线下降且为凹;2,()0,()0,5f xfx在内所以曲线上升且为
28、凹;120,55xxx 所以函数在处有拐点,在处有极大值 在处极小值.22332316123 20.41,(0)0,0.32555555 5(1)2,(1)0,(3),(1)(15 25)fffffxyxyyxx(4)计算出再适当补充一些点定出图形中相应的点再考虑到变化趋势当时当最后根据中的讨论 用平滑曲线连接以上各点可画出函数的图形 见图.15 25图 例外示意图115O2523(1)yxxxy思考题1.思考描绘函数图像的一般步骤.答案课堂练习题421687.51.描绘函数的图像y=xxx答案0,0,.中值定理的另一个重要就是继续建立未定式极限的方法 这就是洛必达法则0,0 xa先考虑当时未
29、定式的情形.()()(),()0,()()lim()0,lim()0,lim,lim()()()()limlim.()()xaxaxaxaxaxaf xg xx ax ag xf xf xf xg xg xg xf xf xg xg x设函数与在点附近处可微 且若极限存在则极限也存在,并且有成立 定理 321332lim.1xxxxxx求例 1 解32322111323363limlimlim62 21321xxxxxxxxxxxxx 16:lim,62xxx注意 上式中的已不是未定式就不能应用洛必达法则了,这点应引起注意.3sin3lim.12cosxxx求例 2 解33cos(1)13.2
30、 sin3sin3limlim12 cosxxxxxx 02lim.sinxxxeexxx求例3 解00002.22limlimlimlimcos1 cossinsinxxxxxxxxxxxxeexeeeeeexxxxx0,0,xxax 对于时的未定式以及对于或时的未定式也有相应的洛必达法则这里不一一叙述,现举如下.arctan2lim.1xxx求例4 解22221arctan12limlimlim1111xxxxxxxxxlim;lim,().lnxnxxnexnxx求(1)(2)为正整数例5 解1;(1)limlimlim()!xxxxxnnxeeennxnx使用 次洛必达法则1(2)li
31、mlimlim1lnnnnxxxxn xn xxx ,(1),(0);log(1),(15 26).xaanxy aayxayx a 该例中的 为正数时极限也是通过该例题说明一个重要事实当时指数函数趋于正无穷的速度远远高于幂函数的速度而幂函数趋于正无穷的速度又远远高于对数函数反映到图形上 见图00,0,00,0,0,0,.特别强调指出洛必达法只适应于形未定式极限,其他一些形式的未定式,如等 可以通过适当的变化 化成或然后再用洛必达法则15 26图 三个函数图形对比11xyaayxlogxyayOx011lim.1xxxe求例 6 解000011111limlimlimlim21(1)1xxxx
32、xxxxxxxxxxexeexex eexeeexe 21lim(1)tan.2xxx求例 7 解22111124lim(1)tanlimlim21cot222sin2xxxxxxxxxs in0lim.xxx求例 8 解sinln,lnsinln,1(sin)xxyxyxxx令21200001lnsinlimlnlimlimlim0.cos(sin)(sin)cosxxxxxxyxxxxxx则sin0ln0(0),1,lim1xxyxyx即所以2limarctan.xxx 求例 9 解lnlnarctan222arctan,lnlnarctan,1xxyxyxxx令2211lnlnarcta
33、narctan212limlnlimlim11xxxxxxyxx则2222ln(),limarctan.xxyxyexe即所以 洛必达法则是求未定式极限的一种有效方法，但最好能与其他求极限的方法结合使用.例如能化简，可以应用等价无穷小代替或重要极限时尽可能应用，这样可以使计算简捷.20tanlim.sinxxxxx求例10 解,()如果直接用洛必达法则那么分母的导数 尤其是连求多次较繁,如果作一个等价无穷小替代,那运算就方便多.223320000(cos)1tantantanlimlimlimlimsinsin3xxxxxx xx xxx xxxxxxx=33002(cos)(sin)1sin
34、1limlim633cosxxxxxxxx=(),:lim()()lim()xaxxaxf xg xf xg x作为本节结束讨论这样一个问题 若不存在,是否能断言一定不存在?sinlim,.xxxx看例这是的形式 若用洛必达法则计算sinlimlim(1 cos),sin1limlim 1sin1xxxxxxxxxxxxx 这个极限是显然不存在的因此这时洛必达法则失效.但原极限是存在的,这是因为 20()():limlim()()()lim()1sin),limsinxaxaxxxaxxf xf xg xg xf xg xxxx结论 若不存在,未必能够说明不存大.因些应用洛必达法则时必须注意前
35、提条件,存在 包括如极限不能运用洛必达法则来确定.思考题1.直接能利用罗必达法则的未定型有哪几种?答案2.使用罗必达法则时应注意些什么以防出错?答案000021lnlim2 ln2lim2lim2lim0,?113.是否正确xxxxxxxxxxx答案课堂练习题21201.lim.计算xxx e答案tan.012.lim计算xxx答案一、边际分析1.边际的概念边际函数,(),.yxxyxyyxyxyx 在经济分析中常用 平均 和 边际 来描述变量 关于变量的变化情况 平均 表示 取值在某一范围内 的变化情况 而 边际 表示 的某个值 或称边缘上 对 的变化情况 显然前者是 关于 平均变化率 后者
36、是 关于 的瞬时变化率 即后者就是 关于的导数 于是便有了边际概念(),()().yf xfxf x义 设函数可导 称导数为的边际函数定1 00()().f xx xyf xxx 表示边际函数在处的边际函数值,它反映了函数在点 处关于 的变化速度001001100,1,()()0,()().x xxx xx xxdxxxxyyydyfxf xxxxf xfx 在点 处 改变了一个单位即相应地改变了如果单位很小则有这说明函数在处当 有一个单位改变时,函数近似改变了2,2,10(10)20,10,20yx yxxfxxy如函数在处边际函数值为它表示了当时 若 改变了一个单位函数 近似地要改变个单位
37、2.边际成本 总成本：某产品的总成本是指生产一定产量所需全部经济资源投入费用的总额，它由固定成本和可变成本组成.平均成本：是指生产一定产量的产品时，平均每个单位产品的成本.边际成本：是总成本的变化率.（总成本与边际成本的关系）12,.CCCCCQ 显然产品的总成本 平均成本和边际成本都产量的函数可以用 表示成本表示固定成本表示可变成本表示平均成本表示边际表示产量成本212100,4,;10,.QCCQQQ已知某商品的固定成本为单位可变成本为为产量 求成本函数 求当时的成本 平均成本 边际成本当为多少时平均成本最小 例1 解212()100,4100(),(),().42QC QCCQQC QC
38、 QQ总成本函数为平均成本函数为成本函数除以产量 边际成本函数10,(10)125,(10)12.5,(10)5.QCCC所以当时总本为平均成本边际成本为100 1(),()0,20.4C QC QQQ因为令3200(),()0,20,.C QC QQQ即当时有极小值即平均成本最小3.边际收益总收益：是生产者出售一定量的产品而得到的全部收入.平均收益：是生间者出售一定量的产品，平均每出售单位产品所得到的收入，即单位商品的售价.边际收益：是总收益的变化率.总收益、平均收益、边际收益均为产量的函数.,PQRRR 设 为商品价格为商品量(需求量),为总收益 为平均收益为边际收益则价格函数与收益函数之
39、间关系为();();()()RR QP Q RP Q RP QQP QQ10,530.QP设某产品的价格与销售量的关系为求销售量为 时的总收益平均收益及边际收益 例2:解2()()100,(30)120;5QR QQP QQR因则()()10,(30)4;5QR QP QR则2()10,(30)2.5R QQR则4.最大利润,()()(),()()(),()()0,()()().()()0,()()().LL QR QC QL QR QC Q L QL QR QC QL QL QR QC Q 设总利润 则即利润为收益减去成本 所取得极大值的必要条件为即边际收益等边际成本 而取得极值的充分条件为
40、即边际收益的变化率小于边际成本的变化率10,550 20,?QPCQL已知某产品的价格函数需求函数 为成本函数为求产量为多少时总利润 最大 例3()解2()()10,5QR QQP QQ因2()()()850,5QL QR QC QQ则2()8,()0,20.5L QQL QQ 令则2()0,20,5L QQ 又即当时总利润最大.二、弹性分析1.函数的相对变化率与弹性函数 在边际分析中所谈到的函数改变理与函数的变化率是绝对改变量与绝对变化率,在经济问题中仅用绝对改变量与绝对变化率还不能足以深入地分析问题.如甲产品单位价格10元,提价1元;乙产品单位价格200元,提价1元;两种产品绝对改变量都是
41、1元,但各与其原价相比,两者涨价的幅度差异很大,甲提价10%,乙提价0.5%,因此,非常有必要研究函数的相对改变量与相对变化率.2,1012,100144,22,44.20104444,1001012,20,44().yxxyxxyy%xy%yxx%y%函数当 由 变化到 时 由变化这时自变量的绝对改变量函数 的绝对改变用表示自变量的相对改变量,那么函数相对改变量为这表明了当 由 改变到 时 增加了而 增加了相对改变量也可为负,表示由大变到小244%2.2(10,12),10,20%1,1012,.:yyxxxxx%y%xyx 用 函 数 的 相 对 改 变 量 与 自 变 量 的 相 对 改
42、 变 量 之 比表 示 在 区 间内 从起 当 改 变时平 均 改 变 了 2.2将 此 称 为 从到时 函 数的 平 均 相 对 变 化 率 一 般 有(),()0,().yf xxyyyf xxxxxxxxyyf xxyEyEx 义设函数在 处可导 函数的相对改变量与自变量的相对改变量之比称为函数从 到两点间的弹性,令极限值叫作函数在点 处的弹,记作 定2 性0000lim0,1%,%,xxxxyEyxyyxxxyExxEyyxxxxxExEyyEx 即其仍是 的一个函数,称其为弹数函数 在的弹性 记作它表示在处 当 产生的改变时近似地改变在应用问题中解释弹性具体意义时,我们常略去近似二字
43、.性函.3 2,3.yxx 求函数在处的弹性例4(1)解322,2;3,9;3xEyEyxyxyExyEx因则时故23(2)100.xEyxyeEx求函数的弹性函数及解3332 300,6100 xxxxEyEyxxyeyeExyExe因则=300所以()(),(),()Ef xxf xxExyf xf xx 函数在点 处的弹性反映了随着 的变化 函数的变化幅度大小 也就是对 的变化反应的强烈度和灵敏度.2.弹性在经济学中的应用1()(?),().()().QPQf PQPfQQf PQf P 在日常生活中需求和价格有依赖关系.一般来讲,商品价格低,需求量在;价格需求则小,因此一般地来讲需求
44、是价格 的单调减函数需示为什么用符号 表示其反函数也是单调减函数需求函数的边际函数称为边际需求2,12,(0,),4.8,(8)4,8,2()1,()4.PQPPQPQP 如已知需求函数为减函数 则边际需求为若取则它表示当价格时 价格上涨下跌 个单位时 需求量减少 增加个单位下面介绍需求、供给对价格的弹性.(),(),QQQf PPQPPPf PQ 需求弹性是刻画当商品价格变动时,需求变支的强弱,由于需求函数为减函数,所以异号,于是及皆为负数为了用正数表示需求弹性 这里采用需求函数相对变化率的反号来定义需求弹性.()0lim0,().QQQf PPPPPQQdQ PPPPPQdPPPEQEQP
45、Pf PEPEPQ 义设需求函数在 点处可导,称-为在 到两点间的需求弹性,令极限值为 点处的需求弹性 记作即 定3 1200,:(1)3020;(2)30.QPPPP已知某商品的需求函数求从到两点间需求弹性求处需求弹性 例5 解(1)(20)(30)60 40 20,Q QQ因20401.51030QQPP则 :30301,;PP%表明当商品价格 从降到20时,从每降低需求量从40平均增加1.5223012001200,1.12001PEQPPQQEPQPPPEQEP (2)因则所以 301,1,1,.P%表明,在处价格上涨需求减少而价格下跌需求增1,PkQP 实际上 该题不论 取任何正数,
46、弹性总是1,是不变的.经济上称这个需求函数为不变弹性函数 即反比例函数需求弹性不变.(),:QPPQ 由于供给函数为单调增所以同号比值为正因此有供给弹性定义(),lim0,QQQPPPPPQQdQPPPPQdPPPEQPEPEQPPEPQ 义设供给函数在 处可导 称比值为 到上两点间的供给弹性 极限值为该函数在点 处的供给弹性记作即 =()定4 2 3,3QPP 设某商品的供给函数为求供给弹性函数及时的供给弹性.例6 解39 3,3,.2 311PEQEQPPQQEPQPEP 因则所以下面研究一下需求弹性与总收益.如果某商品为了适应市场需要机时降价时，会不会降低总收益呢？由常识可知，降价必会使
47、单位商品收益减少，但降价又会促进销量增大，反而可能会使收益增加，于价格的调整是有科学性的.怎样会受益呢？下面将作深一步的研究.1,;1,;1,.EQEPEQEQEPEP义 若商品的需求弹性则称该商品对价格富有弹性若则称该商品具有单位弹性 若则称该商品的需求价格为缺乏弹性 定5下面进一步说明这三类商品的经济意义1,10,10,10,1,1,()1,EQ%EP%EQ%EPEQEPEQEP 富有弹性:如果将价格提高则需求量下降必超过因此总收益反而会减少,反之,若将价格下降10则需求量必超过因而总收益会增加.由此可见,对于富有生产厂家应该价格下调反而能使总收益增加.对于单位弹性这时价格上升 下降 的百
48、分数与需求下降(上升)的百分数相同,即提价或降价不会影响总收益.对于缺乏弹性则厂方应该提价,会使总收益增加.具体提价或降价的多少,可利用极值问题,得到满意的答复.12,(1);(2)62;(3)6,PQPP%P设某商品的需求函数求需求弹性求时的需求弹性在时若价格上涨1总收益变化情况;(4)为何值时,总收益最大,最大总收益是多少?例7 解1(1);224122EQdQ PPPPEPQPdP 61(2);3PEQEP1(3)1,36,6,EQ%EP PPRP 因属于缺乏弹性商品,故如价格上涨1时总收益会增加,增加多少?下面求收益的变化百分数,即求当时总收益 对价格 的弹性.212,22(12)(1
49、2)224122236PR PQPPERdR PPPEPRPdPPPEREP P因为总益所以收益弹性函数为 所以 (4)12,0,12,10.12,(12)72RPRPRPR 因令则 即 当时 总 收 益 最 大 最 在 值思考题1.总成本与边际成本的关系是什么?答案2.取得最大利润的必要条件是什么?答案3.写出需求对价格的弹性公式.答案课堂练习题0;.1.某产品的市场需求函数为为正数 求市场价格为 时的需求价格弹性Q=a-bP a,bP答案2.204某产品的价格与销售量的函数关系为求销售量为100时的总收益,边际收益.QP 答案1.,;.罗尔定理的三个条件都是充分条件 但不是必要条件不能去掉
50、任何一个条件返回 ,;2.(1)f bf afa bba ,;(2)f bf afbaa b ,;(3)+在 与+之间 f xxf xfxxxx ,(4)01.f bf aba faba返回 .3.写出罗尔定理与拉格朗日中值定理之间的关系:罗尔定理经推广可得拉格朗日定理;而拉格朗日定理中令就是罗尔定理fafb返回1.证明：55(1),sin0,lnsin,.66 在区间上在连续66xyx5(2),cot.6 在内可导且6yyx 55(3)ln2.,66 在上满足罗尔定理.66yyy 5,0,.62所以存在使易得6y返回2.2-2,当1时0即区间-,1 是函数的单减区间y=xxy 返回,1.在可
