1、一、点与圆的位置关系A AB BC CO Od dr rd dr rd=rd=rd dr r要点梳理要点梳理二、直线和圆的位置关系ldrd dr r0 0d=rd=r切线d dr r割线2 2d dr rd=rd=r1 1三、切线的判定与性质1.切线的判定一般有三种方法：a.定义法：和圆有唯一的一个公共点b.距离法：d=rc.判定定理：过半径的外端且垂直于半径切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.切线长：从圆外一点引圆的切线，这个点与切点间的线段的长称为切线长.2.切线长及切线长定理四、三角形的内切圆及内心1.与三角形各边都相切的圆
2、叫做三角形的内切圆.2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.3.这个三角形叫做圆的外切三角形.4.三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点.ACIDEF三角形的内心到三角形的三边的距离相等.重 要 结 论2Sra b c；五、圆内接正多边形OCDABM半径R圆心角弦心距r弦a圆心中心角ABCDEFO半径R边心距r中心类比学习圆内接正多边形外接圆的圆心正多边形的中心外接圆的半径正多边形的半径每 一 条 边 所对 的 圆 心 角正多边形的中心角边心距正多边形的边心距1.概念正多边形的内角和=中心角=(2)180nn3 6 0n圆内接正多边形的有关概念及性质2.计算公式考点一 点或直线与圆的位
3、置关系例1 如图所示，已知NON=30，P是ON上的一点，OP=5，若以P点为圆心，r为半径画圆，使射线OM与P只有一个公共点，求r的值或取值范围.解：当射线OM与 P相切时，射线OM与 P只有一个公共点.过点P作PAOM于A，如图1所示.在RtAOP中，r=PA=OPsinPOA=2.5（）.考点讲练考点讲练 当射线OM与 P相交且点O在 P内时，射线OM与 P只有一个公共点.如图2所示.射线OM与 P相交，则r2.5 又点O在 P内，则rOP，即r5 综合、可得r5.综上所述，当射线OM与 P只有一个公共点时，r=2.5或r5.图2 本题之类的题目中，常因混淆了“直线与圆只有一个交点”和“
4、线段与圆只有一个交点”或“射线与圆只有一个交点”的区别.实际上，当直线与圆只有一个交点时，直线与圆一定相切，而线段与圆只有一个交点或射线与圆只有一个交点时，它们与圆的位置关系可能相切，也可能是相交.方法总结1.如图，直线l：y=x+1与坐标轴交于A，B两点，点M（m，0）是x轴上一动点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作 M，当 M与直线l相切时，则m的值为_ 针对训练2 5 2例2 如图，以ABC的边AB为直径的 O交边AC于点D，且过点D的切线DE平分边BC.问：BC与 O是否相切？解：BC与 O相切理由：连接OD，BD，DE切 O于D，AB为直径，EDOADB90.又DE平分CB，DE
5、BCBE.EDBEBD.又ODBOBD，ODBEDB90，OBDDBE90，即ABC90.BC与 O相切考点二 切线的性质与判定12 2.已知：如图，PA，PB是 O的切线，A、B为切点，过 上的一点C作 O的切线，交PA于D，交PB于E.(1)若P70，求DOE的度数；(2)若PA4 cm，求PDE的周长AB针对训练(1)若P70，求DOE的度数；解：(1)连接OA、OB、OC，O分别切PA、PB、DE于点A、B、C，OAPA，OBPB，OCDE，ADCD，BECE，OD平分AOC，OE平分BOC.DOE AOB.PAOB180，P70，DOE55.12 (2)O分别切PA、PB、DE于A、
6、B、C，ADCD，BECE.PDE的周长PDPEDE PDADBEPE2PA8(cm)(2)若PA4 cm，求PDE的周长考点三 圆内接正多边形例3 如图所示，在正方形ABCD内有一条折线段，其中AEEF，EFFC，已知AE=6，EF=8，FC=10，求图中阴影部分的面积.【解析】观察图形看出，因为四边形ABCD是正方形，所以AC是圆的直径.由于AE，CF都与EF垂直，所以AE与CF平行，所以可以把CF平移到直线AE上，如果点E，F重合时，点C到达点CC的位置，则构造出一个直角三角形ACC，在这个直角三角形中利用勾股定理，即可求得正方形ABCD的外接圆的半径，进而求得阴影部分的面积.解：将线段
7、FC平移到直线AE上，此时点F与点E重合，点C到达点C的位置.连接AC，如图所示.根据平移的方法可知，四边形EFCC是矩形.AC=AE+EC=AE+FC=16，CC=EF=8.在RtACC中，得2222AC=AC+CC=16+8=8 5正方形ABCD外接圆的半径为4 5正方形ABCD的边长为ACAB=4 10222=4 54 10=80160S阴影（）（）当图中出现圆的直径时，一般方法是作出直径所对的圆周角，从而利用“直径所对的圆周角等于90”构造出直角三角形，为进一步利用勾股定理或锐角三角函数提供了条件.方法总结4.如图，正六边形ABCDEF内接于半径为5的 O，四边形EFGH是正方形求正方
8、形EFGH的面积；连接OF、OG，求OGF的度数针对训练解：正六边形的边长与其半径相 EF=OF=5.四边形EFGH是正方形，FG=EF=5，正方形EFGH的面积是25.连接OF、OG，求OGF的度数正六边形的边长与其半径相等，OFE=600.正方形的内角是900，OFG=OFE+EFG=600+900=1500.由得OF=FG，OGF=（1800-OFG）=（1800-1500）=150.1212考点四 有关圆的综合性题目 例4 如图，在平面直角坐标系中，P经过x轴上一点C，与y轴分别相交于A，B两点，连接AP并延长分别交 P，x轴于点D，E，连接DC并延长交y轴于点F，若点F的坐标为（0，
9、1），点D的坐标为（6，1）.（1）求证：CD=CF；（2）判断 P与x轴的位置关系，并说明理由；（3）求直线AD的函数表达式.解：（1）证明：过点D作DHx轴于H，则CHD=COF=90，如图所示.点F（0，1），点D（6，-1），DH=OF=1.FCO=DCH，FOCDHC，CD=CF.（2）P与x轴相切.理由如下：连接CP，如图所示.AP=PD，CD=CF，CPAF.PCE=AOC=90.P与x轴相切.（3）由（2）可知CP是ADF的中位线.AF=2CP.AD=2CP，AD=AF.连接BD，如图所示.AD为 P的直径，ABD=90.BD=OH=6，OB=DH=OF=1.设AD=x，则AB
10、=AFBF=ADBF=AD(OB+OF）=x2.在RtABD中，由勾股定理，得AD2=AB2+BD2，即x2=（x2）2+62，解得 x=10.OA=AB+OB=8+1=9.点A（0，9）.设直线AD的函数表达式为y=kx+b，把点A（0，9），D（6，1）代入，得 解得 直线AD的函数表达式为 .961bkb ，439.kb ，493yx 圆与圆有关的位置关系与圆有关的计算点与圆的位置关系点在圆环内：r d R直线与圆的位置的关系添加辅助线证切线有公共点，连半径，证垂直；无公共点，作垂直，证半径；见切点，连半径，得垂直.正多边形和圆转化直角三角形课堂小结课堂小结 见学练优河北中考热点专练课后
11、作业课后作业直线与圆的位置关系有下面的性质:如果 O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么(1)dr 直线l与 O相交 (2)d=r 直线l与 O相切 (3)d r 直线l与 O相离请按照下述步骤作图:如图,在 O上任取一点A,连结OA,过点A作直线lOA,OA思考以下问题:(1)圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么关系?(2)直线l和 O的位置有什么关系?根据什么?(3)由此你发现了什么?相等d=r相切特征一：直线L经过半径OA 的外端点A特征二：直线L垂直于半径OA一般地,有以下直线与圆相切的判定定理:经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线OAlOA是 O 的半径,lOA于Al
12、是 O的切线OAOAAO 经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。判断下图中的l 是否为 O的切线半径外端垂直证明一条直线为圆的切线时，必须两个条件缺一不可：过半径外端垂直于这条半径。例1.已知:如图A是 O外一点,AO的延长线交 O于点C,点B在圆上,且AB=BC,A=30.求证:直线AB是 O的切线ABCO证明：连结OBOB=OC，AB=BC，A=30OBC=C=A=30AOB=C+OBC=60ABO=180-（AOB+A）=180-（60+30）=90ABOBAB为 O的切线做一做：如图是 的直径，请分别过，作 的切线OB一般情况下，要证明一条直线为圆的切线，它过半径外端（即一点
13、已在圆上）是已知给出时，只需证明直线垂直于这条半径。巩固练习 1、如图，已知点B在 O上。根据下列条件，能否判定直线AB和 O相切？OB=7,AO=12,AB=6O=68.5,A=2130BAO2、如图，AB是 O的直径，AT=AB，ABT=45。求证：AT是 O的切线BOTA巩固练习例2.如图,台风P(100,200)沿北偏东30方向移动,受台风影响区域的半径为200km,那么下列城市A(200,380),B(600,480),C(550,300),D(370,540)中,哪些受到这次台风的影响,哪些不受到台风的影响?0100400 500600 700300200X(km)y(km)600
14、50040030020010030PABCDOPSTQ2.如图,OP是O的半径,POT=60,OT交O于S点.(1)过点P作O的切线.(2)过点P的切线交OT于Q,判断S是不是OQ的中点,并说明理由.请任意画一个圆,并在这个圆所在的平面内任意取一点P.(1)过点P是否都能作这个圆的切线?(2)点P在什么位置时,能作并且只能作一条切线?(3)点P在什么位置时,能作两条切线?这两条切线有什么特性?(4)能作多于2条的切线吗?点在圆内不能作切线点在圆上点在圆外相等不能补充例3、如图已知直线AB过 O上的点C，并且OAOB，CACB 求证：直线是 O的切线BAC证明：连接OCOA=OB，CA=CBOC
15、是等腰三角形OAB底边AB上的中线ABOC直线经过半径的外端C，并且垂直于半径OC，所以AB是 O的切线已知已知ABCABC内接于内接于O,O,直线直线EFEF过点过点A A（1）如图）如图1，AB为直径，要使得为直径，要使得EF是是OO的的切线，还需添加的条件是切线，还需添加的条件是 或或 。（2）如图）如图2，AB为非直径弦，且为非直径弦，且CAE=B,求证：求证：EF为为OO的切线。的切线。FECBAOCBEFAO一般情况下，要证明一条直线为圆的切线，它过半径外端（即一点已在圆上）是已知给出时，只需证明直线垂直于这条半径。例5、如图：点O为ABC平分线上一点，ODAB于D，以O为圆心，O
16、D为半径作圆。求证：BC是 O 的切线。CABDE证明：作OEBC于E点O为ABC平分线上一点ODAB于DOEOD又OD为 O半径圆心到直线BC的距离等于半径，所以BC与 O相切证明直线与圆相切，但无切点时，往往过圆心作切线的垂线，再证明d=r即可切线的判定方法有：、切线的判定定理。、直线到圆心的距离等于圆的半径。、直线与圆有唯一个公共点。切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。、经过半径外端的直线是圆的切线。、垂直于半径的直线是圆的切线。、过直径的外端并且垂直于这条直径的 直线是圆的切线。、和圆只有一个公共点的直线是圆的切 线。、以等腰三角形的顶点为圆心，底边上 的高
17、为半径的圆与底边相切。是非题：判断下列命题是否正确。（）（）（）（）（）、填空：在三角形OAB中,若OA=4,OB=4,圆O的半径是2,则当AOB=_时,直线AB与圆O相切。、选择：下列直线能判定为圆的切线是（）A、与圆有公共点的直线B、垂直于圆的半径的直线C、过圆的半径外端的直线D、到圆心的距离等于该圆半径的直线如图,已知AB是 O的直径,O过BC的中点D,且DEAC.(1)求证:DE是 O的切线.(2)若C=30,CD=10cm,求 的半径O.证明题：4、如图，AB是O的直径，弦AD平分BAC，过A作ACDC，求证：DC是O的切线。BDCAO巩固练习5 如图，已知四边形ABCD是直角梯形，
18、ADBC，ABBC，CDADBC。求证：以CD为直径的 O与AB相切OBDACE证明：过点O作OEAB,垂足为E。ADBC,ABBC,ADAB而OEAB ADOEBC巩固练习经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线切线的判定定理:这个定理不仅可以用来判定圆的切线,还可以依据它来画切线.在判定切线的时候,如果已知点在圆上,则连半径是常用的辅助线作OEBC于E当已知条件中没有明确直线与圆是否有公共点时辅助线：是过圆心作这条直线的垂线段。再证明这条垂线段的长等于半径。连结OC当已知条件中直线与圆已有一个公共点时辅助线：是连结圆心和这个公共点。再证明这条半径与直线垂直。例3、如图已知直线AB过
19、O上的点C，并且OAOB，CACB求证：直线是 O的切线BAC例5、如图：点O为ABC平分线上一点，ODAB于D，以O为圆心，OD为半径作圆。求证：BC与作 O相切。CABDE作OEBC于E当已知条件中没有明确直线与圆是否有公共点时辅助线：是过圆心作这条直线的垂线段。再证明这条垂线段的长等于半径。连结OC当已知条件中直线与圆已有一个公共点时辅助线：是连结圆心和这个公共点。再证明这条半径与直线垂直。例3、如图已知直线AB过 O上的点C，并且OAOB，CACB求证：直线是 O的切线BAC例5、如图：点O为ABC平分线上一点，ODAB于D，以O为圆心，OD为半径作圆。求证：BC与作 O相切。CABDE
