1、 - 1 - 山东省济南市 2017-2018 学年高二数学下学期期末考试试题 理 一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.设复数 z 满足 (1 ) 3i z i? ? ? ，则 z? （ ） A 2 B 2 C 22 D 5 2.某工厂生产的零件外直径（单位： cm ）服从正态分布 (10,0.04)N ，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为 9.75cm 和 9.35cm ，则可认为（ ） A上午生产情况异常，下午生产情况正常 B上午生产情 况正常，下午生产情况异常 C上、下
2、午生产情况均正常 D上、下午生产情况均异常 3.将一枚质地均匀的硬币抛掷四次，设 X 为正面向上的次数，则 (0 3)PX?等于（ ） A 18 B 38 C 58 D 78 4.为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在春节、元宵节、清明节、端午节、中秋节五个中国传统节日中，随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节恰有一个被选中的概率是（ ） A 310 B 25 C 35 D 710 5.设 ABC? 的三边长分别为 a ， b ， c ，面积为 S ，内切圆半径为 r ，则 2Sr abc? ? .类比这个结论可知：四面 体 S ABC? 的四个面的面积分别为 1S ， 2S ，
3、 3S ， 4S ，体积为 V ，内切球半径为 R ，则 R? （ ） A1 2 3 4VS S S S? ? ? B1 2 3 42VS S S S? ? ? C1 2 3 43VS S S S? ? ? D1 2 3 44VS S S S? ? ? 6.由直线 2yx? 与曲线 2yx? 围成的封闭图形的面积是（ ） A 4 B 92 C 5 D 112 7.函数 2( ) co sxf x e x x x? ? ? ?，则 ()fx在点 (0, (0)f 处的切线方程为（ ） - 2 - A 2 2 0xy? B 2 2 0xy? ? ? C 2 2 0xy? ? ? D 2 2 0xy
4、? ? ? 8.在二项式 3()nx x? 的展开式中，各项系数之和为 A ，二项式系数之和为 B ，若 72AB? ，则 n? （ ） A 3 B 4 C 5 D 6 9.一个盒 子里装有大小、形状、质地相同的 12 个球，其中黄球 5 个，蓝球 4 个，绿球 3 个 .现从盒子中随机取出两个球，记事件 A 为“取出的两个球颜色不同”，事件 B 为“取出一个黄球，一个绿球”，则 ( | )PB A ? （ ） A 1247 B 211 C 2047 D 1547 10.已知 ()fx是定义在 R 上的可导函数， ( )fxye? 的图象如图所示，则 ()y f x? 的单调减区间是（ ） A
5、 ( , 1)? B ( ,2)? C (0,1) D (1,2) 11.甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某种技术竞赛，决出了第一名到第五名的五个名次，甲、乙去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说：“你当然不会是最差的” .从组织者的回答分析，这五个人的名次排列的不同情形种数共有（ ） A 30 B 36 C 48 D 54 12.已知定义在 R 上的函数 ()y f x? 的导函数为 ()fx，满足 ( ) ( )f x f x? ，且 (0) 2f ? ，则不等式 ( ) 2 xf x e? 的解集为（ ） A ( ,0)? B (0, )? C ( ,2)? D
6、(2, )? 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13.随机变量 1 (10, )2XB ，变量 20 4YX? ，是 ()EY? 14.二项式 3 2 1041()xx ?展开式中含 3x 项的系数是 - 3 - 15.已知函数 ()fx的导函数为 ()fx，且满足 ( ) 2 ( ) lnf x xf e x?，则 ()fe? 16.设 01P?，若随机变量 ? 的分布列是： ? 0 1 2 P 2P 12 12P? 则当 P 变化时， ()D? 的极大值是 三、解答题：共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .第 17 21 题为必考题，每个
7、试题考生都必须作答 .第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答 . （一）必考题：共 60 分 . 17.已知数列 na 满足 1 2a? ， 1 3( 1)nnna n a? ?， *()nn ab n Nn?. （ 1）求 1b ， 2b ， 3b ； （ 2）判断数列 nb 是否为等比数列，并说明理由 . 18.已知函数 32( ) 2f x ax bx x? ? ?，且当 1x? 时，函数 ()fx取得极值为 56? . （ 1）求 ()fx的解析式； （ 2）若关于 x 的方程 ( ) 6f x x m? ? 在 2,0? 上有两个不同的实数解，求实数 m 的取值范围 . 19
8、.对某种书籍每册的成本费 y （元）与印刷册数 x （千册）的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值 . x y ? 6 21 ()ii xx? ?6 221 6ii ? ?61 ( )( )iii x x y y? ?61 6iii yy? ?4.83 4.22 0.3775 60.17 0.60 -39.38 4.8 - 4 - 表中 1i ix?， 6116 ii? ?. 为了预 测印刷 20 千册时每册的成本费，建立了两个回归模型： y a bx? ， dycx? . （ 1）根据散点图，你认为选择哪个模型预测更可靠？（只选出模型即可） （ 2）根据所给数据和（ 1）中选择
9、的模型，求 y 关于 x 的回归方程，并预测印刷 20 千册时每册的成本费 . 附：对于一组数据 11( , )uv ， 22( , )uv ，?， ( , )nnuv ，其回归方程 vu? 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 1221niiiniiu v nuvu nu? ?， vu? . 20.某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在某学院大一年级 100 名学生中进行了抽样调查，发现喜欢甜品的占 70% .这 100 名学生中南方学生共 80 人，南方学生中有 20 人不喜欢甜品 . （ 1）完成下列 22? 列联表： 喜欢甜品 不喜欢甜品 合计 南方学生 北方学生 合计 （ 2）根
10、据表中数据，问是否有 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”； （ 3）已知在被调查的南方学生中有 6 名数学系的学生，其中 2 名不喜欢甜品；有 5 名物理系的学生，其中 1 名不喜欢甜品 .现从这两个系的学生中，各随机抽取 2 人，记抽出的 4 人中不喜欢甜品的人数为 X ，求 X 的分布列和数学期望 . 附： ? ? ? ? ? ? ? ? ?22 n a d b cKa b c d a c b d? ? ? ? ?. 2 0()P K k? 0.15 0.100 0.050 0.025 0.010 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.
11、635 - 5 - 21.已知函数 ( ) 2 lnmf x x xx? ? ? ?， mR? . （ 1）讨论 ()fx的单调性； （ 2）若 ()fx有两个极值点 1x ， 2x ，且 12xx? ，证明： 22( ) 1f x x? . （二）选考题：共 10 分 .请考生在 22、 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.选修 4-4：坐 标系与参数方程 在直角坐标系中， l 是过点 ( 1,0)P? 且倾斜角为 4? 的直线 .以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 4cos? . （ 1）求直线 l 的参数方
12、程与曲线 C 的直角坐标方程； （ 2）若直线 l 与曲线 C 交于两点 A ， B ，求 PA PB? . 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ( ) 2 1f x x a x? ? ? ?. （ 1）当 1a? 时，解不等式 ( ) 2fx? ； （ 2）当 0a? 时，不等式 2( ) 7f x t t? ? ? 对任意 xR? 恒成立，求实数 t 的取值范围 . - 6 - 高二教学质量抽测考试 理科数学参考答案 一、选择题 1-5: DBCCC 6-10: BAADB 11、 12： DA 二、填空题 13. 40 14. 210 15. -1 16. 12 三、解答题 17.
13、解：（ 1）由条件可得：1 3( 1)nnnaan? ?， 将 1n? 代入，得 216aa? ，而 1 2a? ， 2 12a? ， 将 2n? 代入，得3292aa?， 3 54a? ， 11 21ab ?，2 12 62b ?， 33 183ab ?. （ 2） nb 是首项为 2，公比为 3 的等比数列 . 由条件可得： 1 31nnaa? ? ，即 1 3nnbb? ? ， 又 1 2b? ， nb 是首项为 2，公比为 3 的等比数列 . 18.解：（ 1） 2( ) 3 2 2f x ax bx? ? ?， 由题意得， (1) 05(1) 6ff? ?，即 3 2 2 052 6
14、abab? ? ? ? ? ?， 解得1332ab? ? ?， 3213( ) 232f x x x x? ? ? ?. （ 2）由 ( ) 6 ( 2 0 )f x x m x? ? ? ? ? ?有两个不同的实数解， 得 3213 4032x x x m? ? ? ?在 2,0? 上有两个不同的实数解， 设 3213( ) 432g x x x x m? ? ? ?， - 7 - 由 2( ) 3 4g x x x? ? ?， 由 ( ) 0gx? ，得 4x? 或 1x? ， 当 ( 2, 1)x? ? 时， ( ) 0gx? ，则 ()gx在 2, 1?上递增， 当 ( 1,0)x?
15、时， ( ) 0gx? ，则 ()gx在 1,0? 上递减， 由题意得 ( 2) 0( 1) 0(0) 0ggg?，即231360mmm? ? ?， 解得 130 6m? ， 19.解：（ 1）由散点图可以判断，模型 dycx? 更可靠 . （ 2）令 1x? ，则 y d c?， 则616 2216 4 .880 .6 06iiiiiyyd? ? ?. 4 .2 2 0 .3 7 7 5 8 1 .2c y d ? ? ? ? ? ?， y 关于 ? 的线性回归方程为 1.2 8y ?. 因此， y 关于 x 的回归方程为 81.2y x?. 20.解：（ 1） 喜欢甜品 不喜欢甜品 合计
16、南方学生 60 20 80 北方学生 10 10 20 合计 70 30 100 （ 2）由题意， 22 1 0 0 (6 0 1 0 2 0 1 0 ) 4 .7 6 2 3 .8 4 17 0 3 0 8 0 2 0K ? ? ? ? ? ? ? ?， - 8 - 有 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选甜品的饮食习惯方面有差异” . （ 3） X 的所有可能取值为 0， 1， 2， 3， 22442265 6( 0) 25CCPX CC? ? ?， 2 1 1 1 24 4 4 2 42265 12( 1 ) 25C C C C CPX CC? ? ?， 1 1 1 2 24 2 4 2 42265 19( 2 ) 75C C C C CPX CC ? ? ?， 21242265 2( 3) 75CCPX CC? ? ?， 则 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 625 1225 1975 225 所以 X 的数学期望 1 2 3 8 6 1 6( ) 0 2 5 7 5 7 5 1 5EX ? ? ? ? ?. 21.解：（ 1）由 ( ) 2 lnmf x x xx? ? ? ?，得 22222( ) 1 m x x mfx x x x? ? ? ? ? ? ?222x x mx?， (0, )x? ? . 设 2( ) 2g x x x
