1、 1 2016-2017 学 年下学期 高 二年级 期末 考试数学 (理科 ) 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已 知集合 0 2,A y y y N= ? ?， 2 4 5 0 ,B x x x x N= - - ， 则 AB= ( ) A 1 B 0,1 C )0,2 D 2.已 知复数 3412iz i-= -， 则复数 z 在 复平面内对应的点位于 ( ) A 第 一象限 B 第 二象限 C 第三 象限 D 第 四象限 3.已 知随机变量 ( )21,XNs ，若 (
2、 )0 3 0.5Px ； 若 ,ab是 实数，则 ab 是 22ab 的 充分不必要条件； “ 0xR$?， 20023xx+ ” 的 否定是 “ xR“?， 2 23xx+? ” ； 其中 真命题的个数是 ( ) A 1 B 2 C.3 D 4 7.已 知双曲线 ( )22 1 0 , 0xy abab- = 的 一个焦点为 ( )2,0F ， 且双曲线的渐近线与圆 ( )2 223xy- + = 相 切，则双曲线的方程为 ( ) A 2219 13xy-=B 22113 9xy-=C. 2 2 13x y-=D 22 13yx -=8.为 了得到函数 2 s in c o s66y x
3、xpp骣骣琪琪= + +桫桫的 图象，只需把函数 cos2yx= 的 图象上所有的点 ( ) 2 A 向 右平行移动12p个 单位长度 B 向左 平行移动12p个 单位长度 C.向左 平行移动6p个 单位长度 D 向右 平行移动6p个 单位长度 9.某 三棱锥的三视图如图所示，则其 体积 为 ( ) A 4 B 8 C.43D 8310.已 知点 M 是 边长为 2的 正方形 ABCD 的 内 切 圆内 (含边界 )一动点， MAMB 的 取值范围是 ( ) A 1,0- B 1,2- C. 1,3- D 1,4- 11.已 知三 棱 柱 1 1 1ABC ABC- 的 六个顶点都在球 O 的
4、 球面上 ，且侧棱 1AA 平面 ABC ， 若 3AB AC=，23BAC p= ， 1 8AA= ， 则球的表面积为 ( ) A 36p B 64p C.100p D 104p 12.在 锐角 ABC 中 ，角 ,ABC 的 对边分别为 ,abc， 若 c o s c o s 2 3 s in3 s inB C Ab c C+=， cos 3 sin 2BB+=， 则ac+ 的 取值范围是 ( ) A 3,32纟 棼B 3,32纟 棼C. 3,32轾犏犏臌D 3,32轾犏犏臌第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上） 13.抛物线 22yx= 的 焦
5、点坐标为 14.( )( )521xx-的 展开式中 2x 项 的系数为 15.某 校高三年级 要 从 5名 男生和 2名 女生中任选 3名 代表参加数学竞赛，则男生甲和女生乙至少有一个被选中的方法数为 (用数字作答 ) 3 16.不 等式组 0 31xxyyx +?表示 的平面区域为 W， 直线 1y kx=-与 区域 W有 公共点，则实数 k 的 取值范围为 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17.已 知函数 ( ) 3f x x x= + - . (1)解关于 x 的 不等式 ( ) 5f x x-? ； (2)设 ( ) ,m
6、 n y y f x? ， 试比较 4mn+ 与 ( )2mn+ 的 大小 . 18.将 圆 2cos2sinxy qq = =(q 为 参 数 )上 的 每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 12倍 ，得到曲线 C . (1)求出 C 的 普通方程； (2)设 ,AB是 曲线 C 上 的任意两点，且 OA OB ， 求2211OA OB+的 值 . 19.国 庆期间，某商场决定从 2 种 服装 、 3种 家电、 4种 日用品中，选出 3种 商品进行促销活动 . (1)试求选出 3种 商品中至少有一种是家电的概率； (2)商场对选出的某商品采用 抽 奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将
7、价格提高 60 元 ，规定购买该商品的顾客有 3次 抽奖的机会 ： 若中一次奖，则获得数额为 n 元 的 奖金；若中两次奖，则获得数额为 3n 元的奖金；若中三次奖，则共获得数额为 6n 元 的奖金 .假设顾客每次抽奖中奖的概率都是 14， 请问：商场将奖金数额 n 最高 定为多少元，才能使促销方案对商场有利？ 20.如图 ，在四棱锥 P ABCD- 中 ， PC 底面 ABCD ， ABCD 是 直角梯形， AB AD ， AB CD ， 且2 2 2AB AD CD= = =， E 是 PB 的中点 . (1)求证：平面 EAC 平面 PBC ； (2)若 二面角 P AC E-的 余弦值
8、为 33， 求直线 PA 与 平面 EAC 所 成角的正弦值 . 4 21.已 知中心在 原点 O ，焦点 在 x 轴 上的椭圆，离心率 12e=， 且椭圆过点 31,2骣琪琪桫. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆 左、 右焦点分别为 12,FF， 过 2F 的 直线 l 与 椭圆交于不同的两点 ,AB， 则 1FAB 的 内切圆的面积是否存在最大值？若 存在 ， 求 出这个最大值及此时的直线方程 ； 若 不存在，请说明理由 . 22.已 知函数 ( ) 32 lnf x x x ax= + -. (1)当 5a= 时， 求 ()fx的 单调区间； (2)设 ( )11,Ax y ， ( )
9、22,Bx y 是 曲线 ( )y f x= 图 象上的两个相异的点，若直线 AB 的 斜率 1k 恒 成立，求实数a 的 取值范围； (3)设函数 ()fx有 两个极值点 12,xx， 12xx ， 若 ( ) ( )12f x f x m-恒 成立，求实数 m 的 取值范围 . 5 怀 仁一中两校区 2016-2017学年下学期高二年级 期末考试数学（理）答案 一 1-5 BADBD 6 10 BDACC 11 12 CB 二 13 )81,0( 14 25 15 25 16 ? ?,317 解： (1) ? ?3 2 , 03 3 , 0 32 3 , 3xxf x x x xxx? ?
10、 ? ? ? ?得03 2 5x xx? ? ? ?或0335xx? ?或32 3 5xxx? ? ? ?，解得23x?或x?或8?， 所以不等式的解集为? ?2, 8,3? ? ? ? （ 2）由（ 1）易知? ? 3fx?，所以3, 3mn?由于? ? ? ? ? ? ? ?2 4 2 2 4 2 2m n m n m m n n m n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且3, 3，所以2 0, 2 0? ? ? ?，即? ? ?2 2 0? ?， 所以? ?24m n mn? ?. 18 解 ： (1)设),( 11 yx为圆上的任意一点，在已知的变换下变为C上的点),( yx，
11、则有 ? ?1121 yy xx为参数）为参数） ? (sincos2(sin2 cos211 ? ? ? yxyx?14 22 ?yx（ 2） 以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系， 在极坐标系中， 曲线 C化为极坐标方程得： 1s in4c o s 2222 ? ? ，设 A（ ?,1 ）， B（ 2,2 ? ?）， 则 |OA|= 1? ， |OB|= 2? 。则22 11 OBOA ?=2221 11 ? ?= )2(s i n4 )2(c o ss i n4c o s 2222 ? ? =4519，解： 设 选出的3种商品中至少有一种是家电为事件 A， 从 种服
12、装、3种家电、 种日用品中，选出3种商品，一共有39C种不同的选法， 6 选出的3种商品中，没有 家电 的选法有36C种， 所以， 选出的 种商品中至少有一种是家电的概率为211621511)( 3936 ?CCAP设 顾客三次抽奖所获得的 奖金总额为随机变量?，其所有可能的取值为 0，n，3，n6.（单元：元）， 0?表示顾客在三次抽奖都没有获奖，所以6427)411()41()0( 3003 ? CP ?， 同理6427)411()4()( 2113 ? CnP ?; 649)411()4()3 223 ? Cn;641()6 033 ?n;顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是 16
13、1564166493642764270 nnnnE ?， 由601615 ?n，解得64?n， 所以 最高定为64元，才能使促销方案对商场有利 . 20.解： （ 1）PC?平面,ABCD AC?平面,AB CD AC PC?, 2 , 1 , 2AB AD C D AC BC? ? ? ? ? ?， 2 2 2 ,AC BC AB AC BC? ? ? ? ?， AC 又,BC PC C AC? ?平面PBC， ?平面,EAC?平面?平面PBC (2)如图，以C为原点，(MM为AB中点） 、,CDCP分别为x轴、y轴、 z 轴正向，建立空间直角坐标系， 则? ? ? ? ? ?0 , 0 ,
14、 0 , 1 ,1 , 0 , 1 , 1 , 0C A B ? 设? ? ?0,0, 0P a a ?，则? ? ? ?1 1 1 1, , , 1 , 1 , 0 , 0 , 0 , , , ,2 2 2 2 2 2aaE C A C P a C E? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 取? ?1 , 1 , 0 , 0 ,m C B m C A m C P m? ? ? ? ?为面PAC的法向量 设? ?,n x y z?为面EAC的法向量，则0n CA n E?， 7 即0 0xyx y az? ? ? ?取xa?，则,2y a z? ?，则? ?, , 2n a?
15、 ?， 依题意，23c os ,32m n amnmn a? ? ? ? ?，则1a? 于是? ? ? ?1 , 1 , 2 , 1 ,1 , 2n PA? ? ? ? ? 设 直线PA与平面EAC所成角为?， 则2si n c os , 3PA n? ? ? ? ?. 21，解：（）由题意可设椭圆方程为? ?22 10xy abab? ? ? ? 则222 2 2121914caaba b c? ? ? ?， 解得：224, 3,? ? ?椭圆方程为143?， （）设? ? ? ?1 1 2 2, , ,A x y B x y，不妨120, 0yy?，设1FAB?的内切圆的半径R， 则1FA
16、B?的周 长为? ?1 1114 8 , R 4 R2F A Ba S AB F A F B? ? ? ? ?因此1FABS?最大， 就最大， 由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为1x my?， 由1x my?得? ?223 4 6 9 0y m y? ? ? ?， 得1 2 1 22269,3 4 3 4my y y ymm? ? ? ?. 则? ?1 21 2 1 2 21 12 12 3 4F A B mS F F y y m? ? ? ? ?， 令2 1mt?，可知1t?，则122 212 121, 1313F A Btm t St t t? ? ? ? ? ?221?， 令
17、? ? 13f t t t?，则? ? 213ft t?，当1t?时，? ?0?，?在? ?1,?上单调递增， 8 有? ? ? ? 11 4 , 3F A Bf t f S ? ? ?， 即当1, 0tm?时，11 m a x33 , 4 R , R 4F A B F A BSS? ? ? ?，这时所求内 切 圆面积的最大值为916? 故直线1: 1,l x F AB?内切圆面积的最大值为916?. 22. 解：（ 1）? ? ? ? ? ? ? ?2 2 1 22 2 5 2 2 5 0xxxxf x x xx x x? ? ? ? ? ?， 令? ? 0, 2f x x? ? ?或10 2x?， ? ?fx?的单调增区间为? ?10 2,2?；单调减区间为1,22. （ 2）? ? ?21211x f xxx? ?即? ? ? ?2 1 2 1210f x f x x xxx? ? ? ?，所以? ? ? ?2 2 1 1210f x x f x xxx? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 令? ? ? ? ? ?,g x f x x g x? ?在? ?0,?上单调递增， ? ? ? ? 222 '
