1、 1 2018 年 上 学期 衡阳县 期末质量检测试题 高二 文科 数学 考生注意： 1、本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量 120分钟，满分 150分； 2、答题前，请考生先将自己的学校、班次、姓名、考号在答题卷上填写清楚； 3、请将选择题答案填在答卷上指定的答题框内，填空题和解答题答案请按题号用黑色墨水签字笔填在指定的位置上。交卷只交答题卷。 一、 选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的） 1、已知集合 A=1,2,3,4,B=2,4,6,8,则 AB 中元素的个数为 ( B ) A.1 B.2 C.3 D.
2、4 2、 设复数 z 满足 z+i=3-i,则 = ( C ) A.-1+2i B.1-2i C.3+2i D.3-2i 3、 设 p:实数 x,y满足 x1且 y1,q:实数 x,y满足 x+y2,则 p是 q的 ( A ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充 分也不必要条件 4、执行如图所示的程序框图 ,输出 S的值为 ( D ) A. 32? B. 32 C. 12? D.125、若 x,y满足 3 2xxyyx?则 x+2y的最大值为 ( D ) A.1 B.3 C.5 D.9 6、 函数 y x ln(1 x)?的定义域为（ B ） A.(0,1) B.
3、0,1) C.(0,1 D.0,1 7、 甲、乙两人下棋 ,两人下成和棋的概率是 21 ， 甲获胜的概率是 31 ， 则甲不输的概率为 ( A ) 2 A.56 B.25 C.16 D. 13 8、 抛物线 214yx= 的准线方程是（ A ） A. 1?y B. 1?y C. 1?x D. 1?x 9、 设 nS 是等差数列 an的前 n项和 ,若 3531 ? aaa ， 则 ?5S ( A ) A.5 B.7 C.9 D.11 10、 已知椭圆 )0(125222 ? mmyx 的左焦点为 F1 (-4,0),则 m= ( C ) A.9 B.4 C.3 D.2 11、 在 ABC 中，
4、 a=3， b=5， sinA=3， 则 sinB=( B ) A.5B.59C.53D.1 12、 函数 xxf ln)( ? 的图像与函数 44)( 2 ? xxxg 的图像的交点个数为（ C ） A.0 B.1 C.2 D.3二、 填空题（本大题共 5 小题，每小题 4分，共 20 分。把答案填在答题卡中对应题号的横线上） 13、一个几何体的三视图如图所示（单位： m ），则该几何体的体积为 203? 3m . 244242俯视图侧视图正视图14、若直线 xa +yb =1(a0,b0)过点 (1,2),则 2a+b的最小值为 8 . 15、若曲线 y x 1?（ R ）在点（ 1， 2
5、）处的切线经过坐标原点，则 = 2 16、已知点 P 在圆 x2+y2=1 上 ,点 A 的坐标为 (-2,0),O 为原点 ,则 AO AP 的最大值为 6 . 3 三、 解答题 (本大题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17、 (本题满分 10分 ) 已知向量 Rxxxbxa ? ),2c o s,s in3(),21,( c o s , 设函数 baxf ?)( . () 求 f (x)的最小正周期 . () 求 f (x) 在 0,2?上的最大值和最小值 . 【解析】 () baxf ?)( = )62s i n (2c o s212s i n2 32
6、c o s21s i n3c o s ? xxxxxx 。 最小正周期 ? ? 22T 。所以 ),62sin()( ? xxf 最小正周期为 ? 。 -5分 () 上的图像知，在，由标准函数时，当 65,6-s i n65,6-)62(2,0 ? xyxx ? . 1f ( x ) s i n ( 2 x ) s i n ( ) , ( ) , 1 6 6 2 2- sin? ? ? ? ? ? ?. 所以， f (x) 在 0,2?上的最大值和最小值分别为21,1? .-10 分 18、 (本题满分 12分 ) 已知 an是等差数列 ,bn是等比数列 ,且 b2=3,b3=9,a1=b1,
7、a14=b4. (1)求 an的通项公式 . (2)设 cn=an+bn,求数列 cn的前 n项和 . 【解析】 (1)bn的公比 q= 32bb 93? =3,首项 b1= 2bq 33? =1,所以 bn的通项 bn=3n-1. 所以 an的首项 a1=1,a14=b4=34-1=27, 由 a14=1+13d=27得 ,公差 d=2,所以 an的通项 an=1+(n-1)2=2n -1.-6分 (2)由 (1)得 cn=(2n-1)+3n-1.所以数列 cn的前 n项和 Sn为 Sn=(a1+b1)+(a2+b2)+(a n+bn) 4 =(a1+a2+a n)+(b1+b2+b n)=
8、 n(n 1)n22?+ n1313? =n2+ n312? .-12 分 19、 (本题满分 12分 ) 如图 ,在三棱锥 V-ABC中 ,平面 VAB 平面 ABC,VAB 为等边三角形 ,ACBC 且 AC=BC= ,O,M分别为 AB,VA的中点 . (1)求证 :平面 MOC 平面 VAB. (2)求三棱锥 V-ABC的体 积 . 【解析】 (1)因为 AC=BC,O为 AB 中点 ,所以 OCAB. 因为平面 VAB 平面 ABC,交线 AB,OC?平面 ABC,所以 OC 平面 VAB. 因为 OC?平面 MOC,所以平面 MOC 平面 VAB.-6分 (2)由 (1)知 OC为
9、三棱锥 C-VAB的高 , 因为 ACBC 且 AC=BC= ,所以 OC=1,AB=2. 因为 VAB 为等边三角形 ,所以 SVAB =12 2 3 = 3 . 133133V A B C C V A BVV? ? ? ? ? 。-12分 20、（本小题 12分） 某超市计划按月订购一种酸奶 ,每天进货量相同 ,进货成本每瓶 4元 ,售价每瓶 6元 ,未售出的酸奶降价处理 ,以每瓶 2 元的价格当天全部处理完 .根据往年销售经验 ,每天需求量与当天最高气温 (单位 :) 有关 .如果最高气温不低于 25,需求量为 500 瓶 ;如果最高气温位于区间 20,25),需求 量为 300瓶 ;如
10、果最高气温低于 20,需求量为 200瓶 .为了确定六月份的订购计划 ,统计了前三年六月份各天的最高气温数据 ,得下面的频数分布表 : 最高气温 10, 15) 15,20) 20,25) 25,30) 30,35) 35,40) 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率 . (1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300瓶的概率 . (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位 :元 ),当六月份这种酸奶一天的进货量为A B C O M V 5 450瓶时 ,写出 Y的所有 可能值 ,并估计 Y大于零的概率 . 【解析】 (1)需求量不
11、超过 300 瓶 ,即最高气温不高于 25, 从表中可知有 54天 ,所以所求概率为 P=5490 =35 .-5分 (2)Y的可能值列表如下 : 最高气温 10,15) 15,20) 20,25) 25,30) 30,35) 35,40) Y -100 -100 300 900 900 900 低于 20:Y=2006+2502 -4504= -100; 20,25):Y=3006+1502 -4504=300; 不低于 25:y=450(6 -4)=900, 所以 Y大于 0的概率为 P=3690 +2590 +790 +490 =45 .-12 分 21、 (本题满分 12分 ) 如图，
12、椭圆 :E 221xyab?（ 0?ba ）的离心率是 22 ，点 (0,1)P 在短轴 CD 上，且 1PC PD? ? （ 1）求椭圆 E 的方程 ; （ 2）设 O 为坐标原点，过点 P 的动直线与椭圆交于 ,AB两点。是否存在常数 ? ，使得 OA OB PA PB? ? ?为定值？若存在，求 ? 的值；若不存在，请说明理由。 【解析】 （ 1） 由 1PC PD? ? 知 ( 1) ( 1) 1bb? ? ? ?，解得 2b? ，再由离心率是 22 得到2, 2ac? ；因此椭圆方程为 22142xy? -4分 （ 2 ） 取 过 点 P 的 直 线 为 0x? ，此时 ( 0 ,
13、2 ) , ( 0 , 2 ) , ( 0 , 1 )A B P? ; 2O A O B P A P B? ? ? ? ? ?; b) 取 过 点 P 的 直 线 为 2y? ， 此 时 ( 2 ,1), ( 2 ,1), (0 ,1)A B P? ；12O A O B P A P B? ? ? ? ? ?; C A D B P 6 令 2 1 2? ? ? ? 解得 1? .-6分 现设直线为 1y kx?，验证当 1? 是否使得 OA OB PA PB? ? ? 为定值 . 联立直线与椭圆得到 22(1 2 ) 4 4 0k x kx? ? ? ? ， 224 4 0k? ? ? ?； 设
14、 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ， 由 韦 达 定 理 知 ：1 2 1 22242;1 2 1 2kx x x xkk? ? ? ? ?1 2 1 2 22( ) 2 ;12y y k x x k? ? ? ? ? ?21 2 1 2 214( 1 ) ( 1 ) 12 ky y k x k x k? ? ? ? ?。 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 236( 1 ) 312 kO A O B P A P B x x y y x x y y y y k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。 所以，存在常数 1? ，使得 OA OB PA
15、 PB? ? ?为定值 3? -12分 22、 选修 4 4:坐标系与参数方程 (10分 ) 已知曲线 C1的参数方程为 4 5cos ,5 5sin ,xtyt? ?（ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 ? sin2? . （ ）把 C1的参数方程化为极坐标方程； （ ）求 C1与 C2交点的极坐标（ 0,0 2）。 【解析】 将? ? ? ty tx sin55 cos54消去参数 t ，化为普 通方程 25)5()4( 22 ? yx , 即 1C ： 01610822 ? yxyx . 将? ? ? ?sincosyx代入 0
16、1610822 ? yxyx 得 016s in10c o s82 ? ? .-5分 （ ） 2C 的普通方程为 0222 ? yyx . 由?020161082222yyxyxyx ，解得?11yx或? ?20yx. 所以 1C 与 2C 交点的极坐标分别为 )4,2( ? ， )2,2( ? -10分 23、 选修 4 5:不等式选讲 (10分 ) 7 已知函数 |2|1|)( ? xxxf (1)求不等式 1)( ?xf 的解集 . (2)若不等式 mxxxf ? 2)( 的解集非空，求 m 的取值范围 . 【解析】 (1)当 x -1 时 ,f(x)=-(x+1)+(x-2)=-31,
17、所以 x 2. 综上所述 ,f(x) 1的解集为 1,+ ).-5分 (2)原式等价于存在 x R,使 f(x)-x2+x m成立 ,即 f(x)-x2+xmax m, 设 g(x)=f(x)-x2+x,由 (1)知 g(x)=2223, 13 1, 1 23, 2xxxxxxxxx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?当 x -1时 ,g(x)=-x2+x-3,其开口向下 ,对称轴为 x=12 -1,所以 g(x) g(-1)=-5; 当 -1x2时 g(x)=-x2+3x-1,其开口向下 ,对称轴为 x=32 ,所以 g(x) g 32?=54 , 当 x 2时 g(x)=-x2+x+3,其开口向下 ,对称轴为 x=12 ,所以 g(x) g(2)=1, 综上 :g(x)max=54 ,即 m 的取值范围为 4,5? ?.-10分
