1、 - 1 - 宿迁市 20162017 学年度第二学期期末考试 高二数学试卷 （考试时间 120分钟，试卷满分 160分 ) 参考公式 ： 343VR?球;1()niiiE X x p?， 其中 0, 1, 2, ,ip i n? ，1 1nii p? ? 一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分 不需写出解题过程，请把答案直接填写在 答题卡相应位置上 1 已知复数 z 满足 2iz?（ i 是虚数单位），则 |z 的值为 2已知点 A的极坐标为 (2, )6? ，则点 A的直角坐标为 3若直线 l 的参 数方程为 4,12xtyt? ? ?（ t 为参数），则直线
2、l 在 y 轴上的截距是 4已知向量 ? ? ? ?2 , 3 , 2 , 4 , , 3x? ? ? ?ab，若 ?ab，则实数 x 的值是 5甲、乙、丙三人独立地翻译一密码，若每人译出此密码的概率均为 34 ，则该密码被译 出的概率为 6设矩阵 02 1a?M的一个特征值为 2，则实数 a 的值为 7若 3 名学生报名参加数学、物理、化学、计算机四科兴趣小组，每人选报一科，则 不同的报名方法有 种 8 设 4 2 3 40 1 2 3 4( 3 1 )x a a x a x a x a x? ? ? ? ? ?，则 0 1 3 4a a a a a? ? ? ?的值为 9在极坐标系下，点
3、P是曲线 1C ： 4cos? 上的动点，点 Q是直线 2 : sin 3C ? 上 的动点，则线段 PQ长的最小值是 10已知 6()axx?展开式中的常数项为 60，则正实数 a 的值为 11在四面体 OABC 中，已知点 ,MN分别在棱 ,OABC 上， 且 11,32O M O A B N B C?， M N x O A y O B z O C? ? ?， 则 x y z? 的值为 12两位同学参加一项比赛，通过综合分析，两人获得一等奖的概率分别为 1, (0 1)3 pp?， O A B C （第 11 题） N M - 2 - 且他们是否获得一等奖相互独立若这两位同学中恰有一位获得
4、一等奖的概率为 712 ， 则 p 的值为 13已知函数 1()1 xfx x? ? ，数列 na 满足1 12a?，对于任意 *N?n 都满足 2 ()nna f a? ? ， 且 0na? 若 10 8aa? ，则 2016 2017+aa的值为 14祖暅原理：两个等髙的几何体，若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几 何体的体积相等利用祖暅原理可以求旋转体的体积如：设半圆方程为? ?2 2 2 0 , 0x y r y r? ? ? ，半圆与 x 轴正半轴交于点 A ，作直线 xr? ， yr? 交于点 P ，连接 OP（ O 为原点），利用祖暅原理可得：半圆绕 y轴旋转所得半球的
5、体积与 OAP 绕y 轴旋转一周形成的几何体的体积相等类比这个方法，可得半椭圆221yxab?( 0, 0)a b y? 绕 y 轴旋转一周形成的几何体的体积是 二、 解答题：本大题共 6小题，共计 90分请在 答题卡指定区域内作答 ，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤 15（本小题满分 14分） 已知复数 1 i ( )z a a? ? ?R， 2 1 2iz ? ，其中 i 是虚数单位，且21zz 为纯虚数 （ 1）求复数 1z ； （ 2）若复数 21( 2)zb? (b R)在复平面内对应的点在第四象限 ,求 b的取值范围 16（本小题满分 14分） 已知矩阵 M 的逆矩阵 1
6、 1 0201? ?M （ 1）求矩阵 M ； （ 2）已知曲线 22:1C x y?，在矩阵 M 对应的变换作用下得到曲线 1C ，求曲线 1C 的方程 - 3 - 17（本小题满分 14分） 在四棱锥 P ABCD? 中， PA? 平面 ABCD ，底面 ABCD 为直角梯形， BA DA? ， BC AD 且 1 , 3P A A B B C A D? ? ? ?，点 E 为 PD 的中点 （ 1）求 CE 与 AB 所成角的余弦值； （ 2）求二面角 C PD A?的余弦值 18（本小题满分 16分） 某商场为刺激消费，让消费达到一定数额的消费者参加抽奖活动抽奖方案是：顾客从一个装有
7、2个红球， 3个黑球， 5个白球的袋子里一次取出 3只球，且规定抽到一个红球得 3 分，抽到一个黑球得 2 分，抽到一个白球得 1 分，按照抽奖得分总和设置不同的奖项记某位顾客抽奖一次得分总和为 X （ 1）求该顾客获得最高分的概率； （ 2）求 X的分布 列和数学期望 P A B C D E (第 17 题 ) - 4 - 19（本小题满分 16分） 已知函数 12( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )inf x a x a x a x a x? ? ? ? ? ? ?，其中 1 in ， *,in?N （ 1）若 1, 10ian?，求 ()fx展开式中含 3x 项的系数；
8、 （ 2）若 ,8ia i n?；求 ()fx展开式中含 2x 项的系数； （ 3）当 i为奇数时， 1ia? ，当 i为偶数时， 1ia? ， n为正偶数 求证：当 42x? 时， 2 2( ) (1 )nf x x? 为正整数 20（本小题满分 16分） 如图，由若干个数组成的 n行三角形数阵，第一行有 1个数，第二行有 2 个数，依此类推，第 i行有 i个数除最后一行外，各行中每个数都等于它下方两个数之和，如：32 42 43a a a?记第 i行的第 j个数为 aij（ 1 j i n ， *,i j n?N ） （ 1）若 n=4，当 最后一行从左向右组成首项为 1，公差为 2的等差
9、数列时，求 a11； （ 2）若第 n行从左向右组成首项为 1，公比为 2的等比数列，求 a11（用含有 n的式 子表示）； - 5 - （ 3）是否存在等差数列 xn，使得 2 2 2 2 2 42 1 3 2 4 2 1 1 3n n n n n nx C x C x C x C x C C? ? ? ? ? ? ? ? ? ?？ 若存在，则求出该等差数列的通项公式；若不存在，则说明理由 数学参考答案及评分细则 一、 填空题：本大题共 14小题，每小题 5分，共计 70分 不需写出解题过程，请把答案直接填写在 答题卡相应位置上 1 5 ； 2 ( 3,1) ； 3 7； 4 23? ； 5
10、 6364 ； 6 2； 7 64或34 ； 8 16； 9 1； 10 2 ； 11 23 ； 12 34 ； 13 12 2? ； 14 223ab? . 二、解答题：本大题共 6小题，共计 90分请在 答题卡指定区域内作答 ，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15 (1) 12i ( i ) ( 1 2 i ) ( 2 ) ( 2 1 ) i1 2 i ( 1 2 i ) ( 1 2 i ) 5z a a a az ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 3分 因为21zz 为纯虚数， 所以2 0,52 1 0,aa? ? ?所以 2a? . 7分 (2) 221( 2) (
11、i)z b+ b? ? ?2 1 2 ibb? ? ? ， 9分 a43 a44 a33 a41 a42 a31 a32 a21 a22 a11 第 1 行 第 2 行 第 4 行 第 3 行 第 n 行 an1 an2 an(n-1) ann an3 （第 20 题） - 6 - 由已知 2 1020b b? ? ， 11分 解得 1b? ， 所以 b的取值范围为 (1, )? . 14分 16 （ 1）设矩阵abcd?M， 则1 10020101abcd? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 即102012a bc d?， 2分 故120021abcd? ? ? ?，解得2, 0, 0,
12、 1a b c d? ? ? ?， 4分 所以矩阵2001?M. 6分 （ 2）设? ?,Px y 是曲线 C上任一点，在矩阵 M对应的变换下，在曲线1C上的对应的点为? , x y ， 则 2 0 201x x xy y y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 10分 即 2 ,xxyy? ?1 ? ?， 12分 代入曲线 C得2 2 14x y?， 所以曲线1的方程为2 2 1y. 14分 17.解：（ 1）以 A 为原点，建立空间直角坐标系 A xyz? ，如图所示， 则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1
13、 , 1 , 0 , 0 , 3 , 0 , 0 , 0 , 1A B C D P， 2分 则 ? ? ? ?0 , 3 , 1 , 1 , 0 , 0P D A B? ? ?， P A B C D E (第 17 题 ) z x y x - 7 - 设 ? ?,E x y z ，则 ? ?, , 1PE x y z?， 由 12PE PD? 得 310, ,22E?， 4分 所以 111, ,22CE ?，则 62CE? ， 又因为 1AB? ， 1AB CE? ? ， 6分 所以 6c o s ,3A B C EA B C E A B C E? ? ?， 故 CE 与 AB 所成角的余弦值
14、为 63 . 8分 (2) ? ?1,2,0CD ? ，设平面 PCD 的一个法向量为 ? ?,n x y z? , 由 00n PDn CD? ?得 3020yzxy? ? ?， 令 1y? 得 2, 3xz?，所以 ? ?2,1,3n? , 10 分 由条件知 AB? 平面 PAD ，所以平面 PAD 的一个法向量为 ? ?1,0,0AB? ， 则 1, 1 4 , 2A B n A B n? ? ? ?， 12 分 所以 14c o s ,7A B nA B n A B n?， 所以二面角 C PD A?的余弦值为 147 . 14 分 18解：（ 1）该 顾客抽奖一次，当抽到 2个红球
15、 1个黑球时，得分总和最高为 8 分， 2分 得分为 8分的概率为 2123310( 8) CCPX C? 31120 40?， 4分 （ 2）由题意知 ,袋子中共有 10个球 , ( 3)PX? 3531010120CC ? ， - 8 - ( 4)PX? 123531030120CCC ? ， ( 5)PX? 1 2 2 12 5 3 53310 1035120C C C CCC?， ( 6)PX? 1 1 1 32 3 5 33310 1031120C C C CCC?， ( 7)PX? 2 1 1 22 5 2 33310 1011120C C C CCC?， 2123310( 8)
16、CCPX C? 3120? 13 分 （ X=3， 4， 8时算对一种得 1分， X=5,6,7 时算对一种得 2分） 所以 X的数学期望 1 0 3 0 3 5 3 1 1 1 3( ) 3 4 5 6 7 81 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0EX ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 612 51 5.1120 10?. 15分 答：（ 1）该顾客获得高分的概率是 14；（ 2） X的数学期望为 5.1. 16分 19解： (1) 若 1, 10ian?， 10( ) (1 )f x x? 展开式的第 r+1项为 1 10rrrT C x? ? ， 3x 系数为 310 1 0 9 8 1203 2 1C ?；
