1、 - 1 - 江苏省宿迁市 2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题 理 一、填空题：本大题共 14小题，每小题 5分，共计 70分 .不需写出解题过程，请把答案直接填写在 答题卡相应位置上 . 1.已知复数 ( 1) ( 2)z m m i? ? ? ?是纯虚数（ i 为虚数单位），则实数 m 的值为 2.已知点 (1,4,1)A ， ( 2,0,1)B? ，则 AB? 3.若 3828 28xxCC? ，则 x 的值为 4.已知随机变量 X 服从二项分布 1(6, )3XB ，那么方差 ()VX的值为 5.三个同学猜同一个谜语，如果每人猜对的概率都是 14 ，并且各人猜对与否相互独
2、立，那么他们同时猜对的概率为 6.已知矩阵 2103A ?，则矩阵 A 的逆矩阵为 7.若从 4名男生和 3名女生中任选 2人参加演讲比赛，则至少选出 1名女生的概率为 （结果用分数表示） 8.在极坐标系中，已知 ( 2,0)A 到直线 l ： sin( )4 m?， ( 0)m? 的距离为 2，则实数 m的值为 9.设向量 (2, 2 3, 2)a m n? ? ?， (4, 2 1, 3 2 )b m n? ? ?，且 /ab，则 ab? 的值为 10.圆 1C ： 221xy?在矩阵 2001M ?对应的变换作用下得到了曲线 2C ，曲线 2C 的矩阵0110N ?对应的变换作用下得到了
3、曲线 3C ，则曲线 3C 的方程为 11.若 ? ?12nx? 的二项展开式中的第 3项的二项式系数为 15，则 ? ?12nx? 的展开式中含 3x 项的系数为 12.将 4 个不同的小球放入编号为 1， 2， 3， 4的 4个盒子中，恰有 2个空盒的方法共有 种（用数字作答） 13.对于自然数方幂和 ( ) 1 2k k kkS n n? ? ? ?*( , )n N k N?，1 ( 1)() 2nnSn ?，2 2 22 ( ) 1 2S n n? ? ? ?，求和方法如下： - 2 - 332 1 3 3 1? ? ? ?， 3 3 23 2 3 2 3 2 1? ? ? ? ?
4、?， 3 3 2( 1) 3 3 1n n n n? ? ? ? ?， 将上面各式左右两边分别相加，就会有 33 21( 1 ) 1 3 ( ) 3 ( )n S n S n n? ? ? ? ?，解得2 1( ) ( 1)( 2 1)6S n n n n? ? ?，类比以上过程可以求得5 4 3 24 ()S n A n B n C n D n E n F? ? ? ? ? ?， , , , , ,A B C D E F R?且与 n 无关，则 AF? 的值为 14.化简 0 2 2 4 3 62 0 1 8 2 0 1 8 2 0 1 8 2 0 1 820181 ( 3 3 32 C C
5、 C C? ? ?1 0 0 8 2 0 1 6 1 0 0 9 2 0 1 82 0 1 8 2 0 1 83 3 )CC? ? ? ? 二、解答题：本大题共 6小题， 15-17题每题 14分， 18-20题每题 16分，共计 90分 .请在 答 题卡指定区域内作答 ，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 15.已知复数 ? ?31 1z i i?， i 为虚数单位 . （ 1）求 1z ； （ 2）若复数 z 满足 2z? ，求 1zz? 的最大值 . 16.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点 O 重合，极轴与 x 轴的正半轴重合，若直线 l 的参数方程为：123 12xtyt?
6、 ? ?（ t 为参数），曲线 C 的极坐标方程为： 2 2 sin 3 0? ? ? ? ?. （ 1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （ 2）求直线 l 被曲线 C 截得线段的长 . 17.已知矩阵 1221A ?，向量 93? ?. （ 1）求 A 的特征值 1? 、 2? 和特征向量 1? 、 2? ； （ 2）求 5A? 的值 . 18.如图，在正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D? 中， 1AB? ， 1AA t? ，建立如图所示的空间直角坐- 3 - 标系 O xyz? . （ 1）若 1t? ，求异面直线 1AC 与 1AB所成角的大小； （ 2
7、）若 5t? ，求直线 1AC 与平面 1ABD 所成角的正弦值； （ 3）若二面角 1A BD C?的大小为 120? ，求实数 t 的值 . 19.假设某士兵远程射击一个易爆目标，射击一次击中目标的概率为 23 ，三次射中目标或连续两次射中目标，该目标操作，停止射击，否则就一直独立地射击至子弹用完 .现有 5发子弹，设耗用子弹数为随机变量 X . （ 1）若该士兵射击两次，求至少射中一次目标的概率； （ 2）求随机变量 X 的概率分布与数学期望 ()EX . 20.设 01( ) ( , ) ( , ) ( 1 )np x a n p a n p x? ? ? ?( , )( 1)rra
8、n p x? ? ( , )( 1)nna n p x? ?，其中pR? ， *nN? ， ( , )( 0 ,1, 2 , , )ra n p r n? ?与 x 无关 . （ 1）若 2(5, ) 10ap? ，求 p 的值； （ 2）试用关于 n 的代数式表示：0 ( 1) ( ,0)nii i a n? ?； （ 3）设0 ( , 1)nniiT a n n?， 1nnncT?，试比较12ln21n ii icc? ?与 ln(2 1)2nc ? 的大小 . - 4 - 宿迁市 2017 2018学年度第二学期高二年级期末调研测试 理 科 数 学 一、填空题 1. -1 2. 5 3.
9、 4 或 9 4. 43 5. 164 6. 11126103A?7. 57 8. 1 9. 168 10. 22 14yx ?11. 160 12. 84 13. 16 14. 12? 二、解答题 15 解：（ 1） ? ? ? ? ? ? ?21 1 1 2 1 2 2 .z i i i i i i i? ? ? ? ? ? ? ?（ 2）设 z x yi? ，因为 2z? ， 所以 ，422 ?yx 在复平面中，复数 1z 对应 点 ? ?2, 2A ? ， 复数 z 对应点的轨迹是以为 ? ?0,0O 圆心， 2为半径的圆； 因为 AO= 22 ,所以 1zz? 的最大值为 2 2 2
10、? 16 解：（ 1）直线 l 的普通方程为 31yx?， 曲线 C 的普通方程为 22( 1) 4xy? ? ? . （ 2）曲线 C 表示以 (0,1) 为圆心， 2为半径的圆， 圆心到直线 l 的距离 1d? ， 故直线 l 被曲线 C 截得的线段长为 222 2 1 2 3.? 17 解：（ 1）矩阵 A 的特征多项式为 212( ) 2 321f ? ? ? ? ? ?， 令 ( ) 0f ? ， 解得 1 3? ， 2 1? ， 当 1 3? 时，解得1 11? ?； - 5 - 当 2 1? 时，解得2 11? ?. (2)令 12mn? ? ?， 得 93mnmn? ?， 求得
11、 6, 3.mn?. 所以5 5 5 5 5 51 2 1 2 1 1 2 255( 6 3 ) 6 ( ) 3 ( ) 6 ( ) 3 ( )116 3 3 ( 1 )14551461A A A A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?18 解：（ 1）当 1t? 时， (0 0 0)A ， ， ， (1 0 0)B， ， ， 1(0 0 1)A ， ， ， 1(1 1 1)C ， ， ， 则 1 (1 1 1)AC ? ， ， ， 1 (1 0 1)AB?， ， ， 故111111c o s 0A C A BA C A B
12、 A C A B? ? ?， ， 所以异面直线 1AC 与 1AB 所成角为 ? （ 2）当 5t? 时， (0 0 0)A ， ， ， (1 0 0)B， ， ， (0 1 0)D ， ， ， 1(0 0 5)A ， ， ， 1(1 1 5)C ， ， ， 则 1 (1 0 5)AB?， ， ， 1 (0 1 5)AD?， ， ， 设平面 1ABD 的法向量 ( )a b c? ， ，n ， 则由 110 0ABAD? ? ?，nn 得， 5 0 5 0 acbc? ? ， 不妨取 1c? ，则 5ab?， 此时 (5 5 1)? ， ，n ， 设 1AC 与平面 1ABD 所成角 为 ?
13、， 因为 1 (1 1 5)AC ? ， ， ， 则 11 1 5 1 715s i n c o s 515 1 2 7ACAC AC? ? ? ? ? ?， nn n， 所以 1AC 与平面 1ABD 所成角 的正弦值为 5? （ 3）由 1(0 0 )At， ， 得， 1 (1 0 )AB t?， ， ， 1 (0 1 )AD t?， ， ， 设平面 1ABD 的法向量 ( )x y z? ， ，m ， - 6 - 则由 110 0ABAD? ? ?，mm 得， 0 0 x zty zt? ? ， 不妨取 1z? ，则 x y t?， 此时 ( t 1)t? ， ，m ， 又平面 CBD
14、的法向量 1 (0 0 )AA t? ， ， ， 故 11 21 1c o s 212AA tAA AA tt? ? ? ? ?， mm m，解得 62t? ， 由图形得二面角 1A BD C?大于 2? ，所以符合题意 所以二面角 1A BD C?的大小为 120? ， t 的值为 62 19 解： （ 1） 该士兵射击两次，至少射中一次目标的概率为 2181 ( )39P? ? ? . （ 2）耗用子弹数 X 的所有可能取值为 2， 3， 4， 5. 当 2X? 时，表示射击两次，且连续击中目标， 2 2 4( 2)3 3 9PX ? ? ? ?； 当 3X? 时，表示射击三次，第一次未击
15、中目标，且第二次和第三次连续击中目标， 2 2 2 4( 3 ) (1 )3 3 3 2 7PX ? ? ? ? ? ?； 当 4X? 时，表示射击四次，第二次未击中目标，且第三次和第四次连续击中目标， 2 2 2 4( 4 ) (1 )3 3 3 2 7PX ? ? ? ? ? ?； 当 5X? 时 ，表示射击五次，均未击中目标，或只击中一次目标，或击中两次目标前四次击中不连续两次或前四次击中一次且第五次击中，或击中三次第五次击中且前四次无连续击中。 5 1 4 2 3 2 252 2 2 2 2 2 2 2 7( 5 ) ( 1 ) ( 1 ) 7 ( ) ( 1 ) 3 ( ) ( 1
16、)3 3 3 3 3 3 3 3 2 7P X C? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?； 随机变量 X 的数学期望 4 4 4 7 2 9( ) 2 3 4 59 2 7 2 7 2 7 9EX ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 20.解：（ 1）由题意知 2325(5, ) ( 1) 1 0a p C p? ? ?，所以 0p? . （ 2）当 0p? 时， 01( , 0 ) ( , 0 ) ( 1 ) ( , 0 ) ( 1 ) ( , 0 ) ( 1 )n r nrnx a n a n x a n x a n x? ? ? ? ? ? ? ? ?， 两
17、边同乘以 1x? 得： 2 1 101( 1 ) ( , 0 ) ( 1 ) ( , 0 ) ( 1 ) ( , 0 ) ( 1 ) ( , 0 ) ( 1 )n r nrnx x a n x a n x a n x a n x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 等式两边对 x 求导，得： - 7 - 1 01( 1 ) ( , 0 ) 2 ( , 0 ) ( 1 ) ( 1 ) ( , 0 ) ( 1 ) ( 1 ) ( , 0 ) ( 1 )n n r nrnn x x x a n a n x r a n x n a n x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，
18、 令 2x? 得： 1 012 2 ( , 0 ) 2 ( , 0 ) ( 1 ) ( , 0 ) ( 1 ) ( , 0 )nn rnn a n a n r a n n a n? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 即 10 ( 1) ( , 0 ) ( 2 ) 2n nii i a n n ? ? ? ?. （ 3） ( 1)nnTn? ， 1nnnc T n? ? ? ， 猜测：12 ln (2 1)ln 2 1 2n ini iccc? ， 当 1n? 时，12ln ln 221n ii icc? ?， ln (2 1) ln 3 ln 322nc ? ?， ln2 ln 3? ， 此时不等式成立； 假设 nk? 时，不等式成立，即：12 ln (2 1)ln 2 1 2kiiki? ，则 1nk?时， 21 1211 12 2 2 l n ( 2 1 ) 2 ( 1 ) 1 ( 2 2 )l n l n l n l n l n ( 2 1 ) 2 1 2 1 2 1 2 2 ( 1 ) 1 2 ( 2 1 )kk i i kii i i kc c c k k kkc c c k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 221 4 8 4 1 4 8 3 1 ( 2 1 ) ( 2 3 ) 1l n ( ) l n ( ) l
