1、 1 凌源二高中 2017-2018 高二下期期末考试 数 学 试 题 卷（文科） 数学试题共 4 页 . 满分 150 分 . 考试时间 120 分钟 . 一 . 选择题 (每小题 5 分 , 共 60 分 ) 1. 已知集合 | 3 1A x x? ? ? ?, 2 | 2 0B x x x? ? ?, 则 AB? ( ) A |0 1xx? B |0 1xx? C | 1 1xx? ? ? D | 2 1xx? ? ? 2. 已知向量 (3,1)a? , (sin ,cos )b ? , 且 a b , 则 tan? ( ) A. 3 B. 3? C. 13 D. 13? 3.等差数列
2、na 的前 n 项和为 nS ，若 5 32S? ，则 3a? ( ) A 325 B 2 C 645 D 532 4. 已知 1 .12 0 .5lo g 3 , lo g , 0 .9x y z? ? ? ?, 则 ( ) A zyx ? B xyz ? C xzy ? D zxy ? 5. 已知 : 1 1px-?, 2: 2 3 0q x x- - ?, 则 p 是 q 的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.将函 数 ( ) 2sin2f x x? 的图像向右移动 ? (0 2? )个单位长度 , 所得的部分图像如 右 图所
3、示 , 则 ? 的值为 ( ) A.6? B. 3?C. 12? D. 23? 7. 直线 :8 6 3 0l x y? ? ?被圆 22: 2 0O x y x a? ? ? ?所截得 的 弦的长度为3 , 则实数 a 的值是 ( ) A 1? B 0 C 1 D 2? 8. 右图 的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法若输入 209m? , 121n? , 则输出的 m 的值为 ( ) A. 0 B. 11 C. 22 D. 88 9. 设抛物线 2 8yx? 的焦点为 F , 准线为 l , P 为抛物线上一点 , 且PA l? ,A 为垂足 , 如果直线 AF 的斜率为 1- ,
4、 则 PF 等于 ( ) A 2 B 4 C 8 D 12 2 10. 若变量 ,xy满足 1ln 0xy?, 则 y 关于 x 的函数图象大致是 ( ) A. B. C. D. 11. 已知 ABC? 的内角 ,ABC 对的边分别为 a ,b ,c , 且 sin 2 sin 2 sinA B C?,则cosC 的最小值等于 ( ) A. 624?B. 64 C. 624? D. 24 12. ( 原创 ) 已 知 定 义 在 R 上的 偶 函 数 ()gx 满足 ( ) (2 ) 0g x g x? ? ?, 函数2( ) 1f x x?的图像是 ()gx 的图像的一部 分 . 若关于 x
5、 的方程 22( ) ( 1)g x a x?有 3 个不同的实 数 根 , 则实数 a 的取值范围为 ( ) A. 1( , )8? B. 1 2 2( , )33 C. 2( , )4 ? D. (2 2,3) 二 . 填空题 (每小题 5 分 , 共 20 分 ) 13. 复数 z 满足 (1 2 ) 4 3z i i? ? ? , 则 z? _. 14. 若曲线 2 lny ax x?在点 (1, )a 处的切线平行于 x 轴 , 则 a? _. 15. 若 ,xy满足不等式?10303yyxyx, 则 3z x y?的最大值为 _. 16. (原创 ) 已知函数 3( ) 1 8 1
6、 7 sinf x x x x? ? ?, 若对任意的 R? , 不等式 ( s in 2 ) (1 2 c o s 2 ) 0f a f? ? ? ?恒成立 , 则 a 的取值范围 是 _. 三 . 解答题 ：解答应写出文字说明，证明过 程或演算步骤 17. (原创 ) (本小题满分 12 分 ) 已知二次函数 ),()( 2 Rcbcbxxxf ? , 若( 1) (2)ff? , 且函数 xxfy ? )( 的值域为 0, )? . (1) 求函数 )(xf 的解析式 ; (2) 若 函数 ( ) 2xg x k?, 当 1,2x? 时 , 记 )(),( xgxf 的值域分别为 BA,
7、 , 若A B A? , 求实数 k 的值 3 18. (本小题满分 12分 ) 随着电子商务的发展 , 人们的购物习惯正在改变 , 基本上所有的需求都可以通过网络购物解决 . 小韩是位网购达人 , 每次购买商品成功后都会对电商的商品和服务进行评价 . 现对其近年的 200 次成功交易进行评价统计 , 统计结果如下表所示 . 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 80 40 120 对商品不满意 70 10 80 合计 150 50 200 (1) 是否有 99.9% 的把握认为商品好评与服务好评有关 ? 请说明理由 ; (2) 若针对商品的好评率 , 采用分层抽样的方式从这 200次
8、交易中取出 5次交易 , 并从中选择两次交易进行观察 , 求只有一次好评的概率 . 2( ) 0 . 1 5 0 . 1 0 0 . 0 5 0 . 0 2 5 0 . 0 1 0 0 . 0 0 5 0 . 0 0 12 . 0 7 2 2 . 7 0 6 3 . 8 4 1 5 . 0 2 4 6 . 6 3 5 7 . 8 7 9 1 0 . 8 2 8P K kk （ 22 ()( )( )( )( )n a d b cK a b c d a c b d? ? ? ? ?,其中 n a b c d? ? ? ? ） 19. (本小题满分 12 分 ) 已知等差数列 na 满足 153,
9、 15aa?, 数列 nb 满足154, 31bb?, 设正项等比数列 ?nc 满足 n n nc b a?. (1) 求数列 na 和 ?nc 的通项公式 ; (2) 求数列 nb 的前 n 项和 . 20. (原创 ) (本小题满分 12 分 ) 已知函数 ( ) ( ) lnxxf x e ax b e x? ? ?. (1) 若函数 ()fx在 1x? 处取得极值 , 且 1b? ，求 a ; (2) 若 ba? , 且函数 ()fx在 1, )? 上单调递增 , 求 a 的取值范围 . 21. (原创 ) (本小题满分 12 分 ) 已知椭圆方程 22221xyab?( 0ab?)的
10、离心率为 63 , 短轴长为 2. (1) 求椭圆的标准方程 ; (2) 直线 :l y kx m?( 0k? )与 y 轴的交点为 A (点 A 不在椭圆外 ), 且与椭圆交于两个不同的点 ,PQ. 若线段 PQ 的中垂线恰好经过椭圆的下端点 B , 且与线段 PQ 交于点 C , 4 求 ABC? 面积的 最大值 . 5 请在 22、 23、题中任选一题作答 ,如果多做 ,则按所做的第一题计分 ,做答时请写清题号 . 22. (原创 ) （本小题满分 10 分） 选修 4 4：坐标系与参数方程 已知在直角坐标系 xOy 中 , 直线 l 的参数方程为是222 ()212xttyt? ? ?
11、为 参 数, 以 坐标 原点O 为极点 , x 轴正半轴 为极轴 建立极坐标系 , 曲线 C 的极坐标方程 为 4sin? . (1) 判断直线 l 与曲线 C 的位置关系 ; (2) 在 曲线 C 上 求一点 P ,使得它到直线 l 的距离最大 ,并求出最大距离 . 3. （本小题满分 10 分） 选修 4 5：不等式选讲 设不等式 2 1 2 0xx? ? ? ? ? ?的解集为 M , ,ab M? . (1)求集合 M ; (2) 比较 14ab? 与 2ab? 的大小 , 并说明理由 6 凌源二高中 2017-2018 高二下期期末考试 数 学 答 案（文科 一 . 选择题 1-5:
12、 B A A D A 6-10: A B B B B 11-12: A A 二 . 填空题 13. 2i? 14. 12 15. 11 16. 1,1? 三 . 解答题 17. 解 : (1) 因为 ，)2()1( ff ? 所以 1?b 因为函数 22( ) 2 ( 1 ) 1y f x x x x c x c? ? ? ? ? ? ? ? ?的值域为 ，),0 ? 所以故 1 0 1cc? ? ? ?所以 1)( 2 ? xxxf ； (2) 易得 1,3A? ， 2 ,4 B k k? ? ? ，由 A B A? ,有 BA? ，所以 21 143k kk? ? ?18. 解 : (1)
13、由上表可得 22 2 0 0 ( 8 0 1 0 4 0 7 0 ) 1 1 .1 1 1 1 0 .8 2 81 5 0 5 0 1 2 0 8 0K ? ? ? ? ? ? ? ?, 所以有 99.9% 的把握认为商 品好评与服务好评有关 (2) 由表格可知对商品的好评率为 35 ,若针对商品的好评率 , 采用分层抽样的方式从这 200次交易中取出 5次交易 , 则好评的交易次数为 3次 , 不满意的次数为 2次 , 令好评的交易为,ABC , 不 满 意 的 交 易 ,ab, 从 5 次 交 易 中 , 取出 2 次 的 所 有 取 法 为( , ), ( , ), ( , ), ( ,
14、 )A B A C A a A b,( , ), , ), ( , ),B C B a B b( , )Ca , ( , )Cb , (, )ab , 共计 10种情况 , 其中只有一次好评的情况是 ( , )Aa ,( , )Ab ,( , )Ba ,( , )Bb ,( , )Ca ,( , )Cb , 共计 6 种情况 . 因此 , 只有一次好评的概率为 63105? . 19. 解 : (1) 设等差数列 na 的公差为 d , 依题意得 51 4 3 4 1 5 3a a d d d? ? ? ? ? ? ?, 所以 3 3( 1) 3na n n? ? ? ?. 设等比数列 nc
15、的公比为 q , 依题意得 1 1 14 3 1c b a? ? ? ? ?, 5 5 5 3 1 1 5 1 6c b a? ? ? ? ?, 从而 4451 1 6 1 2c c q q q? ? ? ? ? ?, 所以 111 2 2nnnc ? ? ? . (2) 因 为 132 nn n n n n n nc b a b a c b n ? ? ? ? ? ? ? ?, 所以数列 nb 的前 n 项和为 1 2 1212( 3 1 ) ( 6 2 ) ( 9 2 ) ( 3 2 )( 3 6 9 3 ) (1 2 2 2 )( 3 3 ) 1 22 1 233212nnnnnSnnn
16、nnn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?7 20.解 : (1) 1( ) ( ln )xf x e a x b x a x? ? ? ? ?, 因为 ()fx在 1x? 处取得极值 , 所以 (1) 0f ? , 即 21ab?,又 1b? ,所以 0a? . (2) ( ) ( ln )xf x e ax a x? ? ?, 11( ) ( l n ) ( l n )xxf x e a x a x a e a x xxx? ? ? ? ? ? ? ? ()fx在 1, )? 上单调递增 ? ( ) 0fx? 在 1, )? 上恒成立 ? 1ln
17、0ax x x? ? ? 在 1, )? 上恒成立 法一：（分离参数法 ）则 2ln 1xa xx?在 1, )? 上恒成立 令2ln 1() xgx xx?, 下面求 ()gx在 1, )? 上的最大值 . 2 4 2 3 31 l n 1 1 1 l n 2 l n 2( ) 2xx x x x xxg x xx x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 令 ( ) ln 2h x x x x? ? ?, 则 1( ) 1 (1 ln ) lnh x x x xx? ? ? ? ? ? ?. 显然 , 当 1x? 时 , ( ) 0hx? , 即 ()hx 单调递减 ,
18、从而 () (1) 1hx h? ?. 所以 , 当 1x? 时 , 0( )gx? , 即 ()gx单调递减 , 从而 max( ) (1) 1g x g?. 因此 , 1a? . 法二 : ()fx在 1, )? 上单调递增 ? ( ) 0fx? 在 1, )? 上恒成立 即 1ln 0ax x x?在 1, )x? ? 上恒成立 . 令 1( ) lng x ax x x? ? ?, 2221 1 1( ) a x xg x a x x x? ? ? ?. 令 2( ) 1h x ax x? ? ? ( 1x? ), 当 0a? 时 , ( ) 1 0h x x? ? ?, 所以 ( )
19、 0gx? , 即 ()gx在 1, )? 上单调递减 . 而 (1) 1 1 0ga? ? ? ? ?, 与 ()0gx? 在 1, )x? ? 上恒成立相矛盾 . 当 0a? 时 , . 1 4 0a? ? ? , 即 14a? 时 , ( ) 0hx? ，即 ? ?( ) 0, 1,g x x? ? ? ?，所以 ()gx 在 1, )?上递增 ,所以 m in ( ) (1) 1 0g x g a? ? ? ?, 即 1a? . . 0? , 即 10 4a? 时 , 此时 (1) 1 0ga? ? ? , 不合题意 . 当 0a? 时 , 1, )x? ? 时 , ( ) 0hx? ,即 ( ) 0gx? , 1, )x? ? , 从而
