1、 1 2016-2017学年度下学期瓦房店市期末考试 高二 数学 试题（理 科） 考试时间： 120分钟 试卷满分： 150分 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. i是虚数单位，复数 1 3i1 i的共轭复数是 ( ) A 2 i B 2 i C 1 2i D 1 2i 2. 设全集 U R，已知集合 A x|x|? 1， B x|log2x? 1，则 (?UA) B ( ) A (0,1 B 1,1 C (1,2 D ( ， 1 1,2 3. 设等差数列 an的前 n项和为 Sn，若 a1 11， a3 a
2、7 6，则当 Sn取最小值时， n等于 ( ) A 9 B 8 C 7 D 6 4. 若 3sin( )45? ?，则 ? )2sin( ? ( ) A 725? B 725 C 15? D 15 5. “ x 0” 是 “ -11， x 2， x1 ，的值域是 _ 15. 在 ABC中，若 b 2， A 120 ，三角形的面积 S 3，则三角形 ABC 外接圆的半径为 _ 16. 若函数 f(x) 13x3 12x2 2ax在 ? ?23， 上存在单调递增区间，则 a的取值范围是 _ 3 三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。 17. （ 10分） 在平面直角坐标系
3、 xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 ， 直线 l 的极坐标方程是 cos( ) 2 24?， 圆 C 的极坐标方程是 4sin? （ 1）求 l 与 C 交点的极坐标 ； （ 2）设 P 为 C 的圆心 ， Q 为 l 与 C 交点连线的中点 ，已知直线 PQ 的参数方程是 33 12x t abyt? ? ?（ t 为参数），求 ,ab的值 18. （ 12分） 已知函数 ( ) 2 s in s in ( )6f x x x ?. （ 1） 求函数 ()fx的单调递增区间； （ 2） 当 0,2x ?时，求函数 ()fx的值域 . 19. （ 12分）
4、已知数列 na 满足 111, ( 1 )nna n a S n n? ? ? ? ?)( *Nn? ， nS 是数列 na 的前 n 项和 . (1)求数列 na 的通项公式 na ； (2)令 3nn nab?，求数列 nb 的前 n 项和 nT . 20. （ 12分） 为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对 100 名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在 55 名男性驾驶员中，平均车速超过 100km/h的有 40人，不超过 100km/h的有 15人在 45名女性驾驶员中，平均车速超过 100km/h的有 20人，不超过 100km/h的有
5、 25 人 （ 1）完成下面的列联表， 并判断是否有 99.5%的把握认为平均车速超过 100km/h 的人与性别有关 平均车速超过 100km/h人数 平均车速不超过 100km/h 人数 合计 男性驾驶员人数 4 女性驾驶员人数 合计 （ 2） 以 上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取 3辆，记这3 辆车中驾驶员为男性且车速超过 100km/h的车辆数为 X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求 X的分布列和数学期望 参考公式与数据： 22 ()( ) ( ) ( ) ( )n a d b ca b c d a c b d? ? ? ? ? ?，其中 dcban
6、 ? 2 0()Pk? ? 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 21. （ 12分） 在直三棱柱 ABC A B C? ? ? 中，底面 ABC 是边长为 2 的正三角形， D? 是棱 AC?的中点，且22AA? . （ 1） 试在棱 CC? 上确定一点 M ，使 AM? ? 平面 ABD? ； （ 2） 当点 M 在棱 CC? 中点时，求直线 AB? 与平面 ABM? 所成角的正弦值 . 22. （ 12分） 设 ( ) 2 1xf x e ax? ?
7、? （ 1） 讨论 函数 ()fx的 极值 ； （ 2）当 0x? 时， 2e1x ax x? ? ? ，求 a 的取值范围 A B C B? A? C?D? M 5 2016-2017学年度下学期瓦房店市高级中学期末考试 高二数学（理科）参考答案 一、选择题 二、填空题 13、 ? 14、 3， ) 15、 2 16、 ? ? 19， 三、解答题 17、 解： （ 1） 4sin? 代入 cos( ) 2 24?， 得 2sin cos cos? ? ? 所以 cos 0? 或 tan 1? ，取 2? ， 4? 再由 4sin? 得 4? ， 或 22? 所以 l 与 C 交点的极坐标是
8、(4, )2? ，或 (2 2, )4? ? 5分 （ 2） 参数方程 化为 普通方程得 ( ) 12by x a? ? ? 由（ 1）得 P ， Q 的直角坐标分别是 (0,2) ， (1,3) ，代入解得 1, 2ab? ? ? 10 分 18、 解：（ I） 3 1 1 c o s 2 1( ) 2 s i n ( s i n c o s ) 3 s i n 22 2 2 2xf x x x x x? ? ? ? ?2 分 3sin (2 )32x ? ? ?. ?4 分 函数 ()fx的最小正周期为 T=? . ?6 分 因为 2 2 2 ,2 3 2k x k? ? ? ? ? ?
9、? ? 解 得51 2 1 2k x k? ? ? ? ? ? ? ?， Z?k ， 所以 函数 ()fx的单调递增区间是 5 , ,1 2 1 2k k k? ? ? ? ? ? ? Z. ?8 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C D A B C B C A D A C 6 23( ) 0 , , 2II , , s i n ( 2 ) , 12 3 3 3 3 2x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ?10 分 3( ) 0,1 2fx ?. ?12 分 19、 解： （ 1） )1(1 ? n
10、nSna nn? . 2?n 时， nnSan nn )1()1( 1 ? ? ? . -得 nnana nn 21 ? ， 从而 )2(21 ? naa nn ? ? 3分 又 1?n 时， 212 ?aa ? 4分 因此，数列 na 是以 1? 为首项， 2为公差的等差数列 . 322)1(1 ? nna n ? 6分 （ 2）nn nb 3 32 ?nnn nnT 31)32(3 1)52(313311311 132 ? ? . 1432 3 1)32(31)52(31331131131 ? nnn nnT ? -得132 3 1)32()313131(23132 ? nnn nT ?
11、9分 整理得 nn nT 3? 12分 20、 解： （ 1） 平均车速超过 100km/h人数 平均车速不超过 100km/h人数 合计 男性驾驶员人数 40 15 55 女性驾驶员人数 20 25 45 合 计 60 40 100 7 因为 22 1 0 0 ( 4 0 2 5 1 5 2 0 ) 8 . 2 4 9 7 . 8 7 96 0 4 0 5 5 4 5? ? ? ? ? ? ? ? ?，所 以 有 99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关 ? （ 6分） （ 2）根据样本估计总体的思想， 从 高速公路上行驶的 大量 家用轿车中随机抽取 1辆，驾驶员为男性且车速
12、超过 100km/h的车辆的概率为 40 2=100 5 X 可取值是 0,1,2,3， 2 (3, )5XB ，有： 0 0 33 2 3 2 7( 0 ) ( ) ( )5 5 1 2 5P X C? ? ?， 1 1 23 2 3 5 4( 1 ) ( ) ( )5 5 1 2 5P X C? ? ?， 2 2 13 2 3 3 6( 2 ) ( ) ( )5 5 1 2 5P X C? ? ?， 3 3 03 2 3 8( 3 ) ( ) ( )5 3 1 2 5P X C? ? ?， 分布列为 X 0 1 2 3 P 27125 54125 36125 827 2 7 5 4 3 6
13、 8 6( ) 0 1 2 31 2 5 1 2 5 1 2 5 1 2 5 5EX ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 12分） 21、解：（ 1)取 AC 边中点为 O 底面 ABC是边长为 2 的正三角形， ACOB? 连接 DO? ， D? 是边 CA? 的中点 ACDO ? ， OBDO ? 所以可以建立以 O 为坐标原点， OB 为 x 轴， OC 为 y 轴， DO? 为 z 轴如图所示的坐标系 ? 2分 则有 )0,0,0(O ， )0,1,0( ?A ， )0,0,3(B ， )0,1,0(C ， )22,0,3(B? ， )22,1,0( ?A ， )22,0,
14、0(D? ， )22,1,0(C? 设 ),1,0( tM ，则 (0 , 2, 2 2 )? ?A M t ， (0,1, 2 2)?AD ， D? A B C B? A? C?M O z 8 ( 3,1, 2 2 )?AB ? 4分 若 D? BAMA 平面 ，则有 D? AMA ， B? AMA 0 2 ( 2 2 ) 2 2 00 2 ( 2 2 ) 2 2 0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?A M A D tA M A B t可得 223?t即当223?CM时， D? BAMA 平面 . ? 6分 （ 2) 当点 M 在棱 C? 中点时 ： )2,1,0(M )
15、2,1,3(?BM ， )2,2,0( ?MA ， 设平面 BMA? 的一个法向量 ),( zyxn? 3 2 00 2 2 0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?B M n x y zA M n y z令 2?z ，得 1?y ， 3?x )2,1,3(?n? ? 9分 设直线 BA? 与平面 BMA? 所成角为 ? ，则 sin | co s , |? ? ? ?n A B322? 12分 22、 解： （ 1） ( ) 2xf x e a? ?， 若 0a? ， 则 ( ) 0fx? ? ， ()fx在 R 上单调递增 ， 没有极值 ? ? （ 2分） 若 0a? ，令 ( )
16、 0fx? ? ， ln2xa? ， 列表 x ( ,ln2 )a? ln2a (ln2 , )a? ()fx? ? 0 ? ()fx (2)fa 所以当 ln2xa? 时 ， ()fx有极小值 ( 2 ) 2 2 ln 2 1f a a a a? ? ?， 没有极大值 ? （ 6 分） （ 2）方法 1 设 2( ) 1xg x e a x x? ? ? ?，则 ( ) 2 1 ( )xg x e a x f x? ? ? ? 从而当 21a? ， 即 12a? 时 ， ( ) 0fx? ? ( 0)x? ， ( ) (0) 0g x g?， ()gx在 0, )? 单调 递9 增， 于是
17、当 0x? 时， ( ) (0) 0g x g? ? （ 8 分） 当 12a? 时 ，若 (0,ln2 )xa? ，则 ( ) 0fx? ? ， ( ) (0) 0g x g?， ()gx在 (0,ln2 )a 单调 递减，于是当 (0,ln2 )xa? 时 ， ( ) (0) 0g x g? 综合得 a 的取值 范围为 1( , 2? ? （ 12分） （ 2）方法 2 由（ 1）当 12a? 时 ， ( ) (2) 0f x f?， 得 1xex? （ 2）设 2( ) 1xg x e ax x? ? ? ?，则 ( ) 2 1xg x e ax? ? ?( 2 )xa? 从而当 21a
18、? ， 即 12a?时 ， ( ) 0gx? ( 0)x? ，而 (0) 0g ? ， 于是 当 0x? 时， ( ) 0gx? ? （ 8分） 由 1xex? ( 0)x? 可得 ， 1xex? ? ， 即 1 xxe? ( 0)x? ， 从而 当 12a? 时 ，( ) 2 ( 1 ) 1 ( 1 ) ( 2 )x x x x xg x e a e e e e a? ? ? ? ? ? ?故 当 (0,ln2 )xa? 时 ， ( ) 0gx? ，而 (0) 0g ? ，于是 当 (0,ln2 )xa? 时 ， ( ) (0) 0g x g? 综合得 a 的取值范围为 1( , 2? ? （ 12分）
