1、 - 1 - 阿左旗高级中学 2017-2018年度第二学期期末试卷 高二理数 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，满分 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1 下列随机试验的结果 ， 不能用离散型随机变量表示的是 ( ) A 将一枚均匀正方体骰子掷两次 ， 所得点数之和 B 某篮球运动员 6次罚球中投进的球数 C 电视机的使用寿命 D 从含有 3件 次品的 50件产品中 ， 任取 2件 ， 其中抽到次品的件数 2. 对变量 x， y有观测数据 (xi， yi)(i 1， 2，?， 10)， 得散点图 ； 对变量 u， v有观测数据 (ui， vi)(i
2、 1， 2，?， 10)， 得散点图 . 由这两个散点图可以判断 ( ) 图 图 A 变量 x与 y正相关 ， u与 v正相关 B 变量 x与 y正相关 ， u与 v 负相关 C 变量 x与 y负相关 ， u与 v正相关 D 变量 x与 y负相关 ， u与 v 负相关 3已知 A(2， 5, 1)， B(2， 4， 2)， C(1， 4, 1)，则 AB 与 AC 的夹角为 （ ） A 30 B 60 C 45 D 90 4 已知回归直线的斜率的估计值为 1.23， 样本点的中心为 (4， 5)， 则回归直线方程为( ) A.y 1.23x 4 B.y 1.23x 5 C.y 1.23x 0.
3、08 D.y 0.08x 1.23 5若 A3m 6C4m，则 m等于 ( ) A 9 B 8 C 7 D 6 6已知随机变量 服从正态分布 N(0， 2)，若 P( 2) 0.023，则 P( 2 2) 等于 ( ) A 0.477 B 0.628 C 0.954 D 0.977 7已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车的准时到站的概率为 35，则他在 3 天乘车中，- 2 - 此班次公共汽车至少有 2天准时到站的概率为 ( ) A.36125 B.54125 C.81125 D.27125 8用 0,1， ? ， 9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 ( ) A 243 B 25
4、2 C 261 D 279 9设随机变量 服从二项分布 B(n， p)，且 E( ) 1.6， D( ) 1.28，则 ( ) A n 8， p 0.2 B n 4， p 0.4 C n 5， p 0.32 D n 7， p 0.45 10 从 5位男数学教师和 4位女数学教师中选出 3位教师派到 3个班担任班主任 (每班 1位班主任 ),要求这 3位班主任中男女教师都有 ,则不同的选派方案共有 ( ) A.210 B.420 C.630 D.840 11如果?3x 13x2n的展开式中各项系数之和为 128，则展开式中 1x3的系数是 ( ) A 7 B 7 C 21 D 21 12.在直角
5、坐标系 xOy中，一个质点从 A(a1， a2)出发沿图 2中路线依次经过 B(a3， a4)， C(a5，a6)， D(a7， a8)， ? ，按此规律一直运动下去，则 a2 015 a2 016 a2 017 ( ) 图 2 A 1 006 B 1 007 C 1 008 D 1 009 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，满分 20分 . 13曲线 2ln( 1)yx?在 点 (0,0) 处的切线方程为 _ _ 14若复数 z 满足 |z i| 2 (i 为虚数单位 )， 则 z 在复平面内所对应的图形的面积为_ _ 15.已知 (1+x)(1+x)5的展开式中 x2的系数为 5
6、,则 =_ - 3 - 16某家公司有三台机器 A1， A2， A3 生产同一种产品，生产量分别占总产量的 12， 13， 16，且其产品的不良率分别各占其产量的 2.0%,1.2%， 1.0%，任取此公司的一件产品为不良品的概率为 _，若已知此产品为不良品，则此产品由 A1所生产出的概率为 _ 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 (本小题满分 10 分 )有 3 名男生、 4 名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数 (1)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾； (2)全体站成一排，女生必须站在一起； (3)全体站成一排，男生互不相邻 1
7、8 (本小题满分 12分 )如图，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，已知 AB 2， AA1 5， E、 F分别为 D1D、 B1B上的点，且 DE B1F 1. (1)求证： BE 平面 ACF； (2)求点 E到平面 ACF的距离 19 (本小题满分 12 分 )为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加现有来自甲协会的运动员 3 名，其中种子选手 2名；乙协会的运动员 5 名，其中种子选手 3名从这 8名运动员中随机选择 4 人参加比赛 (1)设 A 为事件 “ 选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会 ” ，求事件 A发生的
8、概率； (2)设 X为选出的 4人中种子选手的人数，求随机变量 X的分布列和均值 20 (本小题满分 12 分 )有甲乙两 个班级进行数学考试，按照大于等于 85 分为优秀， 85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表 . 优秀 非优秀 总计 甲班 10 乙班 30 总计 105 - 4 - 已知在全部 105人中随机抽取 1人为优秀的概率为 27. (1)请完成上面的列联表； (2)根据列联表的数据，若按 95%的可靠性要求，能否认为 “ 成绩与班级有关系 ” ？ 参考公式： K2 n ad bc2a b c d a c b d P(K2 k0) 0.10 0.05 0.025 0.01
9、0 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 21.(本小题满分 12分 )设函数 f(x) |2x 1| |x 4|. (1)解不等式 f(x) 2； (2)求函数 y f(x)的最小值 22 (本小题满分 12 分 ) 已知函数 2( ) exf x ax? （ 1）若 1a? ，证明：当 0x? 时， ( ) 1fx? ； （ 2）若 ()fx在 (0, )? 只有一个零点，求 a - 5 - 一选择题 C C B C C C C B A B C D 二 . 填空题 (每小题 5分，共 20分 ) 13 2yx? 14 2 15 .-1 16. 473 000 3047 17
10、(1甲为特殊元素先排甲，有 5种方法，其余 6人有 A66种方法，故共有 5A 66 3 600种方法 (2)(捆绑法 )将女生看成一个整体，与 3名男生在一起进行全排列，有 A44种方法，再将 4名女生进行全排列，有 A44种方法，故共有 A44A 44 576种方法 (3)(插空 法 )男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有 A44种方法，再在女生之间及首尾空出的 5个空位中任选 3个空位排男生，有 A35种方法，故共有 A44A 35 1 440 种方法 18解析 (1)证明：以 D 为原点， DA、 DC、 DD1所在直线分别为 x、 y、 z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则
11、 D(0,0,0)、 A(2,0,0)、 B(2,2,0)、 C(0,2,0)、 D1(0,0,5)、 E(0,0,1)、F(2,2,4) AC ( 2,2,0)、 AF (0,2,4)、 BE ( 2， 2,1)、 AE ( 2， 0,1) BE AC 0， BE AF 0， BE AC， BE AF，且 AC AF A. BE 平面 ACF. (2)由 (1)知， BE 为平面 ACF的一个法向量， 点 E到平面 ACF 的距离 d |AE BE |BE | 53. 故点 E到平面 ACF 的距离为 53. 19解： (1)由已知，有 P(A) C22C23 C23C23C48 635.
12、所以事件 A发生的概率为 635. - 6 - (2)随机变量 X的所有可能取值为 1,2,3,4. P(X k) Ck5C4 k3C48 (k 1,2,3,4) 所以，随机变量 X 的分布列为 X 1 2 3 4 P 114 37 37 114 随机变量 X的均值 E(X) 1 114 2 37 3 37 4 114 52. 21解： (1)令 y |2x 1| |x 4|， 则 y? x 5， x 12，3x 3， 12 x 4，x 5， x 4.作出函数 y |2x 1| |x 4|的图象 ， 它与直线 y 2的交点为 ( 7， 2)和 ? ?53， 2 . 所以 |2x 1| |x 4
13、| 2的解集为 ( ， 7) ? ?53， . (2)由函数 y |2x 1| |x 4|的图象可知 ， 当 x 12时 ， y |2x 1| |x 4|取得最小值 92. 20解： (1) 优秀 非优秀 总计 甲班 10 45 55 乙班 20 30 50 总计 30 75 105 (2)根据列联表中的数据，得到 - 7 - K2 30255503075 6.1093.841 ， 因此有 95%的把握认为 “ 成绩与班级有关系 ” 22 解： （ 1）当 1a? 时， ( ) 1fx? 等价于 2( 1)e 1 0xx ? ? ? 设函数 2( ) ( 1)e 1xg x x ? ? ?，则
14、 22( ) ( 2 1 ) e ( 1 ) exxg x x x x? ? ? ? ? ? ? 当 1x? 时， ( ) 0g x ? ，所以 ()gx在 (0, )? 单调递减 而 (0) 0g ? ，故当 0x? 时， ( ) 0gx? ，即 ( ) 1fx? （ 2）设函数 2( ) 1 e xh x ax ? ()fx在 (0, )? 只有一个零点当且仅当 ()hx 在 (0, )? 只有一个零点 （ i）当 0a? 时， ( ) 0hx? ， ()hx 没有零点； （ ii）当 0a? 时， ( ) ( 2)e xh x ax x ? 当 (0,2)x? 时， ( ) 0h x ?
15、 ；当 (2, )x? ? 时， ( ) 0h x ? 所以 ()hx 在 (0,2) 单调递减，在 (2, )? 单调递增 故24(2) 1 eah ?是 ()hx 在 0, )? 的最小值 若 (2) 0h ? ，即 2e4a?， ()hx 在 (0, )? 没有零点； 若 (2) 0h ? ，即 2e4a?， ()hx 在 (0, )? 只有一个零 点； 若 (2) 0h ? ，即 2e4a?，由于 (0) 1h ? ，所以 ()hx 在 (0,2) 有一个零点， 由（ 1 ） 知 ， 当 0x? 时， 2exx? ， 所 以3 3 34 2 2 41 6 1 6 1 6 1( 4 ) 1 1 1 1 0e ( e ) ( 2 )aaa a aha aa? ? ? ? ? ? ? ? ? 故 ()hx 在 (2,4)a 有一个零点，因此 ()hx 在 (0, )? 有两个零点 - 8 - 综上， ()fx在 (0, )? 只有一个零点时， 2e4a?
