1、 - 1 - 2016-2017 学年下学期高二年级期末考试数学（文 ) 时间： 120分钟 满分： 150 分 一 、选择题（本题共 12个小题，每小题只有一个正确答案，每小题 5分 ，共 60分 1.设集合 I= Zxxx ?,3(2 +i)在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第三象限 3.命 题 “ 存在 Rx?0 ， 020?x ” 的否定是 A.不存在 Rx?0 ， 02x 0 B.存在 Rx?0 , 02x 0 C.对任意的 Rx? , x2 0 D.对任 意 的 Rx? , x2 (12222 ayax ? 的离心率为 3 ，则该双曲线的渐近线方
2、程为 A. xy 2? B. xy 2? C. xy 21? D. xy 22? 10.一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则 该几何体的体积为 A.9 B.10 C.11 D. 223 11.在 ABC 中 ， 内角 A, B， C 的对边分别是 a， b, c， B= 4? , 2tan ?A ,则 a 的值是 A. 210 B. 10 C. 101 D. 2 12.已知抛物线 xy 82? 的焦点为 F,直线 )2( ? xky 与此抛物线相交于 M两点，则 | 1| 1 FQFP ? = 二、填空题（本大题共 4个小题，每小题 5分，共 20 分） 13.已知向
3、量 a ， b 满足 a +b =(2， -8), a -b =(-8， 16),则 a 与 b 夹角的余弦值为 ； 14.己知函数 1)( 3 ? xaxxf 的图像在点 (1， )1(f )处的切线过点 (2,7),则 a= ； 15.设函数 |1|)( axxxf ? ,如果 Rx? , 2)( ?xf ,则 a 的取值范围是 ； 16.设等差数列 an的前 n项和为 Sn，若 2a6 =6+ a1，则 S9的值为 . 三 、 解答题（本大题共 6个小题，共 70分） 17.(本 题 10 分 )已知函数 |)( axxf ? (I)若不等式 3)( ?xf 的解集为 |51| ? xx
4、 ， 求实数 a的值 ； ( )在 (I)的条件下，若 |)5()( mxfxf ? 对一切实数 x恒成立，求实数 m的取值范围 . 18.(本题 12 分）直角坐标系中，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 己知曲线 C的极坐标方程为 |cos2sin 2 ? a? (a0),过点 P(-2,-4)的直线 l 的参数方 程 - 3 - ?tytx224222(t为参数 )，直线 l 与曲线 C相交于 A, B两点 . (I)写出曲线 C的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； (II)若 2| ABPBPA ? ，求 a的值 . 19.(本题 12 分 )在刚刚结束的五市联考中
5、，某校对甲，乙两个文科班的数学成缋进行分析，规定 :大于或等于 120分为优秀， 120分以下为非优秀，成绩统计后，得到如下的 22 列联表，且已知在甲，乙两个文科班全部 110 人中随机抽取 1人为优秀的概率为 113 (1)请完成上面的列联表 ; (2)请问 ：是否有 75%的把握认为 “ 数学成绩与所在的班级有关系 ” ？ (3)用分层抽样的方法从甲，乙两个文科班的数学成绩优秀的学生中抽取 5名学生进行调 研，然后再从这 5 名学生屮随机抽取 2名学生进行谈话，求抽 到的 2名学生中至少有 1名乙班学生的概率。 参考公式：)()()( )(22dbcadcba bcadnK ? ? 参考
6、数据 : P(K2 K0) 0.25 0.15 0.10 0.05 K0 1.323 2.072 2.706 3.841 20. (本题 12分 )如图是某直三 棱柱 （侧棱与底面垂直的三棱柱 )被削去上底后的直观 图与三视图中的侧视图、俯视图，在直观图中， M是 BD的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示 。 (I)求出该几何体的体积 ； ( )若 N是 BC的中点 ， 求证 ： AN/平面 CME； 班级 优秀 非优秀 合计 甲班 18 乙班 43 合计 110 - 4 - 21.(本题 12 分）如图，设 P是圆 2522 ?yx 上的动点，点 0是 P在 x
7、轴上的投影， M为 PD上一点，且 |54| PDMD ? . (1)当 P在圆上运动时，求点 M的轨迹 C的方程； (2)求过点 (3,0)且斜率为 54 的直线被 C所截线段的长度 . 22.(本题 12 分）设函数 )()( 2 Raeaaxexf ? ，其屮 e是自然对数的底数， (1)若 )(xf 在 R上为单调函数 ,求实数 a的取值范围； (2)若 a0,求证： )(xf 有唯一零点的充要条件是 a=e . - 5 - 高二年级期末文科数学试题答案 一 、选择题（本题共 12个小题，每小题只有一个正确答案，每 小题 5分，共 60 分） 1.D 2.D 3.C 4.D 5.A 6
8、. B 7.A 8.D 9.B 10. C 11.C 12.A 二填空题（本大题共 4个小题，每小题 5分，共 20 分） 13. 6365? 14. 1 15. ? ? ? ? ,31, 16. 9 54S? 三 解答题（本大题共 6个小题，共 70分） 17.解 :() 由 3)( ?xf 得 3| ?ax ,解得 33 ? xxa . 又已知不等式 3)( ?xf 的解集为 ? ?51| ? xx ,所以? ? ? 53 13aa,解得 2?a .4 分 () 当 2a? 时 , |2|)( ? xxf ,设 )5()()( ? xfxfxg , 于是?.2,12,23,5,3,12|3
9、|2|)(xxxxxxxxg6 分所以当 3?x 时 , 5)( ?xg ; 当 23 ? x 时 , 5)( ?xg ; 当 2x? 时 , 5)( ?xg . 综上可得 , ()gx的最小值为 5.9 分 从而若 mxfxf ? )5()( ,即 mxg ?)( 对一切实数 x 恒成立 , 则 m 的取值范围为 (-,5.10 分 18.解 ：（ 1） 由 ? 2sin? 2 cosa ? （ a 0） 得 ： ? 2 2sin? 2? cosa ? 所以曲线 C的直角坐标方程为： y2=2ax（ a 0），由22,22 ,2xtyt? 4（ t为参数） 消去 t得： y+4=x+2，所以
10、直线 l 的普通方程为： y=x-2. ? 6分 - 6 - （ 2） 直线 l 的参数方程为22,22 ,2xtyt? 4（ t为参数）代入 y2=2ax（ a 0）得到 0)4(8)4(222 ? atat 设 A,B对应的参数分别为 21,tt ，则 21,tt 是方程的两个解，由韦达定理得： )4(2221 att ? ， )4(821 att ? 因为 2| | | | | |PA PB AB?，所以 ? ? 2121221221 4)( tttttttt ? 解得 a=1 ? 12分 19.解：（ 1） ? 3分 （ 2） 由题意得 22 1 1 0 (1 8 4 3 1 2 3
11、7 ) 1 .6 5 1 .3 2 35 5 5 5 3 0 8 0K ? ? ? ? ? ? ? ? 所以 75的把握认为 “ 数学成绩与所在的班级有关系 ”? 6分 （ 3） 因为甲，乙两个班数学成绩优秀的学生人数的比例为 18:12 3:2? ，所以从甲班成绩优秀的学生中抽取 3名，分别记为 A1， A2,A3，从乙班成绩优秀的学生中抽取 2名，分别记为 B1， B2，则从抽取的 5名学生中随机抽取 2 名学生的基本事件有 A1A2， A1A3， A1B1， A1B2， A2A3,A2B1， A2B2， A3B1， A3B2，B1B2，共 10个 设 “ 抽 到 2名学生中至少有 1名乙
12、班学生 ” 为事件 A，则事件 A包含的基本事件有 A1B1， A1B2， A2B1， A2B2， A3B1， A3B2， B1B2，共 7 个，所以 7()10PA? ，即抽到 2 名学生中至少有 1 名乙班学生的概率是 710 。 ? 12 分 20. 解： (1)由题意可知：四棱锥 中， 平面 平面 ， ? 2分 平面 平面 = 所以， 平面 ? 4分 班级 优秀 非优秀 合计 甲班 37 55 乙班 12 55 合计 30 80 - 7 - 又 ， 则四棱锥 的体积为： ? 6 分 （ 2） 连接 MN,则 MN/CD,AE/CD 又 12MN AE CD?,所 以四边形 ANME为平
13、心四边形， /AN EM? AN? 平面 CME， EM? 平面 CME, 所以， AN/平面 CME。? 12 分 21.解： (1)设 M的坐标为 (x， y)， P的坐标为 (xP， yP)， 由已知得? xP x，yP 54y， P 在圆上， x2 ? ?54y 2 25， 即 C 的方程为 x225y216 1. (2)过点 (3,0)且斜率为 45的直线方程为 y 45(x 3)， 设直线与 C的交点为 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 将直线方程 y 45(x 3)代入 C的方程，得 x225x 225 1，即 x2 3x 8 0. x1 3 412 ， x2 3 41
14、2 . 线段 AB的长度为 |AB| x1 x2 2 y1 y2 2 ? ?1 1625 x1 x2 2 412541 415. 22. 解：（ 1） aexf x ?)(/ 当 a0时，由 0)(/ ?xf 得 ax ln? 当 ax ln? 时， 0)(/ ?xf ， )(xf 为单调增函数； 当 ax ln? 时， 0)(/ ?xf ， )(xf 为单调减函数， - 8 - 所以 )(xf 在 R上不为单调函数 当 a? 0时 ，由 0)(/ ?xf ， )(xf 在 R不为单调递增函数， 所以实数 a得取值范围是 a? 0。 ? 4分 （ 2） 充分性：当 a=e时， exexf x
15、?)( ， eexf x ?)(/ 令 0)(/ ?xf 得 x=1 当 1?x 时， 0)(/ ?xf ， )(xf 为单调增函数，所以 0)1()( ? fxf 当 1?x 时， 0)(/ ?xf ， )(xf 为单调减函数，所以 0)1()( ? fxf 所以函数 )(xf 有唯一零点 x=1 必要性：设函数 )(xf 有唯一零点 x0，因为 0)1( ?f ，所以 x0=1， 因为 a0，由（ 1）知，当且仅当 ax ln? 时， )(xf 取得最小值 e-alna-a2)lna( ?f 记 e-alna-a2)a(g ? ，所以 lna-1)a(g/ ? 令 0)a(g/ ? 得 a=e 当 ea? 时， 0)a(g/ ? ， )a(g 为单调减函数， 0eg)a(g ? ）（ 即 0)lna( ?f 因为 alna1，且 0e-aa-e)a( 2a ?f ， 所以 )(xf 在（ lna， a）内有零点，与题意相矛盾。 当 0ae时，同理有 0)lna( ?f 因为 lna1，存在 - lnaae? ，有 0eae-aea-a-e)ea-( ea-ea- ? ）（f 所以 )(xf 在（ ea- ， lna）内有零点，与题意相矛盾。 故 a=e 综上， ()fx有唯一零点的充要条件是 a=e。 ? 12分
