1、第一讲全等三角形第二轮：综合题 本讲题型方法 全等三角形的判定 中 题型 :全等的依据 全等三角形的判定 中 题型 :添加条件使全等 全等三角形的判定 中 题型 :综合运用五种判定方法 全等三角形的判定 难 题型 :特殊的“” 全等三角形的判定 难 题型 :全等模型再回顾 全等三角形的判定 难 题型 :构造全等的条件 本讲练习 第二讲轴对称第二轮：将军饮马问题 本讲题型方法 轴对称的应用 中 题型 :将军饮马作图 轴对称的应用 难 题型 :将军饮马应用 轴对称的应用 中 题型 :构造轴对称图形 轴对称的应用 中 题型 :中垂线和角平分线的综合 最短路径问题 中 题型:垂线段最短 本讲练习 第三
2、讲等腰三角形第二轮 本讲题型方法 等腰三角形判定的应用 中 题型 :平行 角分线 等腰三角形判定的应用 难 题型 :两圆一线模型 等腰三角形判定的应用 难 题型 :分割出等腰三角形 等边三角形的综合应用 中 题型 :等边三角形的判定 等边三角形的综合应用 难 题型 :双山模型 等边三角形的综合应用 难 题型 :含 角的直角三角形 等边三角形的综合应用 难 题型 :构造等边三角形 本讲练习 第四 五讲全等的辅助线第二轮 本讲题型方法 倍长中线 中 题型 :已知中点倍长或延长相交 倍长中线 难 题型 :求证中点做平行线 倍长中线 难 题型 :婆罗摩笈多定理 倍长中线 难 题型 :求证中点做垂线 截
3、长补短 中 题型:截长或补短 角平分线的 种辅助线 中 题型:综合运用 第四讲练习 第五讲练习 第六讲因式分解第二轮 本讲题型方法 整式的乘法 中 题型 :降次式的应用 整式的乘法 中 题型 :凑平方和公式的应用 因式分解 中 题型 :复习三种基本解法 因式分解 中 题型 :整体思想的应用 因式分解 中 题型 :分组分解法(方法 ) 因式分解 中 题型 :换元法(方法 ) 因式分解 中 题型 :待定系数法(方法 ) 因式分解 中 题型 :配方法(方法 ) 因式分解 难 题型 :因式定理法(方法 ) 因式分解 难 题型 :双十字相乘法(方法 ) 本讲练习 第七讲前六讲知识点的第三轮学习 本讲题型
4、方法 几何复习 难 题型:几何复习 代数复习 难 题型:代数复习 本讲练习 第八讲分式第二轮（）：分式的运算和恒等变形 本讲题型方法 分式第一轮内容复习 中 题型:复习 分式的性质 中 题型 :分式为正或负 分式的性质 中 题型 :运用性质 分式的性质 中 题型 :见比设 分式的运算 中 题型 :简单计算 分式的运算 中 题型 :化简条件后求值 分式的运算 中 题型 :取倒数 分式的运算 中 题型 :分式的值为整数 分式的运算 中 题型 :分式运算的综合 本讲练习 第九讲分式第二轮（）：分式方程和应用题进阶 本讲题型方法 分式方程的解法 易 题型 :基本解法 分式方程的解法 中 题型 :分离变
5、量法 分式方程的解法 中 题型 :裂项法 分式方程的解法 中 题型 :分组通分 分式方程的解法 难 题型 :倒数型 分式方程的解法 难 题型 :增根问题 分式方程的应用题 中 题型 :工程问题 分式方程的应用题 中 题型 :行程问题 分式方程的应用题 中 题型 :利润问题 分式方程的应用题 中 题型 :工作量问题 本讲练习 第十讲二次根式第一轮（）：基础知识和运算 本讲基础知识 本讲题型方法 二次根式的定义 易 题型 :辨别二次根式 二次根式的定义 易 题型 :有意义的条件 二次根式的性质 易 题型 :双重非负性 二次根式的性质 中 题型 :别无选择 二次根式的性质 中 题型 :隐含条件 二次
6、根式的性质 中 题型 :利用性质化简 二次根式的运算 中 题型 :最简二次根式 二次根式的运算 中 题型 :同类二次根式 二次根式的运算 中 题型 :二次根式的乘除运算 二次根式的运算 中 题型 :二次根式的加减运算 本讲练习 第十一讲二次根式第一轮（）：高端题型和方法 本讲题型方法 二次根式的运算 中 题型 :二次根式的混合运算 二次根式的运算 难 题型 :把根号外面的式子放到根号里面 二次根式的运算 难 题型 :物以类聚 二次根式的运算 难 题型 :二次根式的裂项 二次根式的运算 难 题型 :复合二次根式的化简 二次根式的运算 难 题型 :两个乘法公式的灵活运用 二次根式的运算 难 题型
7、:二次根式的大小比较 本讲练习 第十二 十三讲勾股定理：常考题型和方法 本讲题型方法 勾股定理初步 易 题型 :求第三边 勾股定理初步 易 题型 :勾股树 勾股定理初步 易 题型 :勾股数 勾股定理初步 易 题型 :含特殊角的 的三边比例 勾股定理初步 中 题型 :等面积法求高 勾股定理初步 难 题型 :设而不求打酱油 勾股定理的证明 中 题型 :等面积法证明勾股定理 勾股定理的证明 中 题型 :赵爽弦图 勾股定理的应用 中 题型 :网格图中两点距离 勾股定理的应用 难 题型 :网格中构图法 勾股定理的应用 难 题型 :坐标系中两点距离 勾股定理的应用 难 题型 :立体图形路径最短 勾股定理的
8、应用 中 题型 :勾股定理中的方程思想 勾股定理的应用 中 题型 :一垂直两勾股 勾股逆定理 中 题型 :判断直角三角形 勾股逆定理 难 题型 :九字方针 勾股定理与实际 中 题型:实际问题 第十二讲练习 第十三讲练习 第十四讲 初二年级第一学期期末学业水平调研 第一讲全等三角形第二轮： 综合题 在我们的周围经常可以看到形状、大 小完全相同的图形这样的图形叫做全等 形. 研究全等形的性质和判定两个图形全 等的方法是几何学的重要内容. 本次课将 以三角形为例对这些问题进行研究. 同 时我们还要特别注重证明全等的严格的 步骤要求这是我们迈向规范化的一个重 要标志. 全等三角形的判定中题型 ：全等的
9、依据 题型特征填写判定全等的依据 题型方法全等三角形的五种判定方法“”、“”、“”、“”“”的深入理解与应用 例题认真听 【例 】如图把两根钢条的中点连在一起可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳)在图 中要测量工件内槽宽 只要测量 的长度即可该做法的依据是 . 【例 】工人师傅常用角尺平分一个任意角. 做法如下:如图 是一个任意角在边 上分别取 移动角尺使角尺两边相同 的刻度分别与点 重合过角尺顶点 作射线 . 由此作法便可得其依据是( ) . . . . 【例】如图是一个平分角的仪器其中 将点 放在角的顶点 和 沿着 角的两边放下沿 画一条射线这条射线就是角的平分线在这个操作过程中运用了三
10、 角形全等的判定方法是( ) . . . . 落实与巩固 【例 】在课堂上张老师布置了一道画图题: 画一个 使 它的两条边分别等于两条已知线段. 小刘和小赵同学先画出了 之后后续画图的主要过程分别如下图所示. 那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是( ) . . . . 【例 】如图红红书上的三角形被墨迹污染了一部分她根据所学的知识很快就画了一个与书 上完全一样的三角形那么红红画图的依据是( ) . . . . 【例 】如图要测量河两岸相对两点 、 间的距离先在过点 的 的垂线上取两点 、 使得 再在过点 的垂线上取点 使 、 三点在一条直线上可以证明 所以测得 的长就是 、 两点间的距
11、离这里判定 的理由是 ( ) . . . . 全等三角形的判定中题型 ：添加条件使全等 题型特征添加一个条件使两个三角形全等 题型方法熟知全等三角形的五种判定方法“”、“”、“”、“”“” 例题认真听 【例 】完成下列各题. ()如图 那么要得到可以添加的一个条件是 与 全等的理由是 . ()学了全等三角形的判定后小明编了这样一个题目:“已知:如图 求证:. ” 老师说他的已知条件给多了那么可以去掉的一个已知条件是: . 去掉上述条件后请你完成证明. 落实与巩固 【例 】如图在 中 是 边上的中点 请你添加一个 条件使 成立. ()你添加的条件是 ()在()的条件下不再添加辅助线和字母证明 .
12、 【例 】学了全等三角形的判定后小明编了这样一个题目:“已知:如图 求证:. ” 老师说他的已知条件给多了那么可以去掉的一个已知条件是: . 去掉上述条件后请你完成证明. 全等三角形的判定中题型 ：综合运用五种判定方法 题型特征判定两个三角形全等 题型方法灵活运用全等三角形的五种判定方法“”、“”、“”、“”“” 例题认真听 【例 】如图已知 的 条边和 个角则能判断和 全等的是( ) . 甲和乙. 乙和丙. 只有乙. 只有丙 【例 】如图有一张三角形纸片 已知 按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪 开可能得不到全等三角形纸片的是( ) 落实与巩固 【例 】如图若则点 应是图中的( ) . 点 .
13、点 . 点 . 点 【例 】几何原本是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作它建立了 一套从公理、定义出发论证命题得到定理的几何学论证方法形成了一个严密的逻辑体 系 几何学. 以下是几何原本第一卷中的命题 请完成它的证明过程. 命题 :如果一个三角形有两个角相等那么这两个角所对的边也相等. 已知: . 求证: . 证明:若 其中必有一个较大不妨设 在 上截取 连接 . . 又 与 既等于又大于显然是矛盾的. 假设不成立即 . 全等三角形的判定难题型 ：特殊的“” 题型特征两条边和非夹角分别相等若非夹角则可以通过作辅助线来证明全等 题型方法 若非夹角 则直接“”全等 若非夹角 则作垂
14、线通过多次全等最终证明出要证的全等 例题认真听 【例 】阅读下面材料: 学习了三角形全等的判定方法(即“”、“ ”、“ ”、“ ” )和直角三角形全等的 判定方法(即“” )后小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的 情形进行研究. 小聪将命题用符号语言表示为:在 和 中 . 小聪想:要想解决问题应该对 进行分类研究. 可分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究. ()当 是直角时如图 在 和 中 则 (依据: ) ()当 是锐角时如图 求证:. 落实与巩固 【例 】教材中有如下一段文字: 如图把一长一短的两根木棍的一端固定在一起摆出. 固定住长 木棍转动短木棍得到. 这个实
15、验说明了什么? 图中的 与 满足两边和其中一边的对角分别相等. 即 但 与 不全等. 这说明有两边和其中一边的对角分别 相等的两个三角形不一定全等. 小明通过对上述问题的再思考提出:两边分别相等且这两边中较大边所对的角相等的两个 三角形全等. 请你判断小明的说法 . (填“正确”或“不正确”) 【例 】先阅读材料再解决问题. 【阅读材料】 学习了三角形全等的判定方法“”“”“”“”和“”后某小组同学探究了 如下问题:“当 和 满足 时 和 是否 全等”. 如图这小组同学先画 再画 . 在画 的过程中先 过 作 于点 发现如下几种情况: 当 时又分为两种情况: 当 时 和 不一定全等. 当 时
16、和 一定全等. 【解决问题】 ()对于 连接 交于点 连接 . 下列结论: 平分 平分. 其中正确的个数为( ) . . . . 【例 】如图 于点 于点 则 的长是( ) . . . . 全等三角形的判定难题型 ：构造全等的条件 题型特征需要添加辅助线但是题目中并没有中点啊角平分线啊中垂线啊等明显的辅助线标识 题型方法牢记常见模型:一线三等角模型(三垂直模型)手拉手模型(双山模型)双高模型 例题认真听 【例 】 在 中点 、 分别在 、 上、 相交于点 且 . ()如图 若 则 与 的数量关系是 ()如图 若 与 是否仍然具有()中的数量关系并说明理由 如图有一池塘要测池塘两端 间的距离可先
17、在平地上取一个不经过池塘可以 直接到达点 和 的点 连接 并延长至 使 连接 并延长至 使 连接 . 若量出 米则 间的距离即可求. 依据是( ) . . . . 如图是两个全等三角形图中的字母表示三角形的边长则 的度数是( ) . . . . 、或 都可以 如图、 分别为 边 、 上的点 下面的结 论一定成立的是( ) . . . . 如图 中 于 平分且 于 与 相 交于点 于 交 于 . 下列结论: . 其中正确的个数是( ) . 个. 个. 个. 个 如图已知 中 是高 和 的交点 则线段 的长度 为( ) . . . . 第二讲轴对称第二轮： 将军饮马问题 我们生活在一个充满对称的世
18、界中: 许多建筑都设计成对称形艺术作品的创 作往往也从对称角度考虑自然界的许多 动植物也按对称形生长中国的方块字中 有些也具有对称性对称给我们带来多 少美的感受! 轴对称是一种重要的对称. 本章我们 将从生活中的对称出发学习几何图形的 轴对称并利用轴对称来研究等腰三角形 进而通过推理论证得到等腰三角形、等边 三角形的性质和判定方法由此可以体会 图形变化在几何研究中的作用. 让我们一起探索轴对称的奥秘吧! 轴对称的应用中题型 ：将军饮马作图 题型特征最短距离作图 题型方法通过轴对称把线段进行转移化折为直从而找到最小距离 例题认真听 【例 】已知:、 两点在直线 的同侧试分别画出符合条件的点 .
19、()如图在 上求作一点 使得 最小 ()如图在 上求作一点 使得 最大 ()如图在 上求作一点 使得 最小. 【例 】()如图点 、 在直线 的同侧在直线 上求作一点 使得四边形 的周长 最小 ()如图已知线段 点 、 在直线 的同侧在直线 上求作两点 、 (点 在点 的 左侧)且 四边形 的周长最小. 【例 】()已知:如图点 在锐角 的内部在 边上求作一点 在 边上求作一 点 使得 的周长最小 ()已知:如图点 在锐角 的内部在 边上求作一点 使得点 到点 的距离 与点 到 边的距离之和最小. 【例 】如图在等腰 中 是 上一点满足 在斜边 上求作 一点 使得 长度之和最小. 【例 】已知
20、 ()() 是 轴上两动点( 在 左边) 当 最小时直接在下图中画出 、 的位置. 【例 】如图 角内有点 在角的两边有两点 、(均不同于 点)求作 、使 得 的周长最小 【例 】如图矩形台球桌 上有两个球 、求作一击球路线使 球顺次撞击球桌四边 后再撞击 球(球撞击桌边的入射角等于反射角) 落实与巩固 【例】如图直线 表示一条河点 表示两个村庄想在直线 的某点 处修建一个向 供水的水站现有如图所示的四种铺设管道的方案(图中实线表示铺设的管道)则铺设管 道一定最短的是( ) 【例 】如图在四边形 中 若 为边 上的两动点且 当四边形 的周长最小时在图中画出点 的位置. 【例 】如图 角内有点
21、且 在角的两边有两点 、(均不同于 点) 则 的周长的最小值为 . 【例 】如图当点 与 、连续相撞时假设入射角等于反射角求作出点 向点 运动 时的最短路程 轴对称的应用难题型 ：将军饮马应用 题型特征最短距离的画法及求法 题型方法通过轴对称把线段进行转移化折为直从而找到最小距离并结合题意求出最小距离 例题认真听 【例 】已知:如图、 两点在直线 的同侧点 与 关于直线 对称连接 交 于 点若 . ()求 ()若点 是直线 上异于 点的任意一点求证: . 【例 】如图. 在 上分别找一点 当 周长 最小时求 的度数. 【例 】如图等腰 的底边 的长为 面积是 腰 的垂直平分线 交 于点 若 为
22、 边上的中点 为线段 上一动点求 的周长最小值. 【例 】如图在 中 是 的平分线. 若 点 分别是 和 上的动点求 的最小值. 落实与巩固 【例 】在等边三角形 中 分别是 的中点点 是线段 上的一个动点当 的周长最小时 点的位置在( ) . 的重心处. 的中点处 . 点处. 点处 【例 】如图 是 内一点 、 分别是 、 上的动点则 周长的最小值为 . 【例】如图等边 的边长为 是 边上的中线点 是 边上的中点. 如果点 是 上的动点那么 的最小值为 . 【例 】如图 平分 于点 若点 是射线 上的一个动点则 的最小值为 . 轴对称的应用中题型 ：构造轴对称图形 题型特征涂色构造轴对称图形
23、 题型方法根据对称轴进行分类讨论一般都有很多种情况务必找全 例题认真听 【例 】如图在正方形方格中阴影部分是涂黑 个小正方形所形成的图案再将方格内空白 的一个小正方形涂黑使得到的新图案(大正方形) 成为一个轴对称图形的涂法有 种. 【例 】如图在 的正方形网格中格线的交点称为格点以格点为顶点的三角形称为格 点三角形图中 是一个格点三角形在图中画出与 成轴对称的格点三角形这 样的格点三角形可以画多少个? 请在图 及备用图中一一画出来. 落实与巩固 【例 】如图所示的“钻石”型网格(由边长都为 个单位长度的等边三角形组成)其中已经 涂黑了 个小三角形(阴影部分表示)请你再只涂黑一个 小三角形使它与
24、阴影部分合起 来所构成的完整图形是一个轴对称图形. ()画出其中一种涂色方式并画出此时的对称轴 ()满足题意的涂色方式有 种. 【例 】如图是由 个边长为单位 的小正方形拼成请你在图上添加一个小正方形使添加 后的图形是一个轴对称图形要求画出三种. 轴对称的应用中题型 ：中垂线和角平分线的综合 题型特征题目中出现中垂线和角平分线 题型方法中垂线的性质必出现等腰三角形角平分线的判定定理要作垂线来应用 例题认真听 【例 】如图在 中 的平分线与 的垂直平分线 相交于点 过点 分别 作 于 于点 求证: . 落实与巩固 【例 】如图在 中 、 的垂直平分线交于点 两垂直平分线交 的边于点 、连接 、.
25、 ()求 的度数 ()求证: 平分. 【例】如图已知 是 的中点过点 作 的垂线交 的平分线于点 于 点 于点 . ()求证: ()若 求线段 的长. 最短路径问题中题型：垂线段最短 题型特征题目中出现动点及最小值等字样 题型方法找到动点所在直线然后做垂线 例题认真听 【例 】已知等腰 的面积为 为 上一动点求 的最小值. 【例 】如图边长为 的等边点 是对称轴 上的一个动点连接 将线段 绕 点 逆时针旋转 得到 连接 则在点 的运动过程中求 的最小值. 如图是一辆汽车车牌在水中的倒影则该车的牌照号码是( ) . . . . 如图在平面直角坐标系中点 ( )()在 轴上取一点 使点 到点 和
26、的距离之和最小则点 的坐标是( ) . ( ). () . (). () 如图 是等边 的中线 是直线 上一动点以 为边在直线 下方作等边连接 下列说法正确的是( ) . 的最小值是 . 的最小值是 . 有最大值. 没有最大值也没有最小值 如图在 正方形方网格中黑色部分的图形构成一个轴对称图形现任取一个白 色小正方形涂黑使新图形中黑色部分仍然组成一个轴对称图形则不同的画法有( ) . 个. 个. 个. 个 如图平行河岸两侧各有一城镇 根据发展规划要修建一条公路连接 两镇. 已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价为了尽量减少总造价应该选择方案( ) 如图等腰 的底边 长为面积是腰 的垂直平分线
27、分别交 边于 点. 若点 为 边的中点点 为线段 上一动点当 的周长最小时 长( ) . . . . 第三讲等腰三角形第二轮 我们生活在一个充满对称的世界中: 许多建筑都设计成对称形艺术作品的创 作往往也从对称角度考虑自然界的许多 动植物也按对称形生长中国的方块字中 有些也具有对称性对称给我们带来多 少美的感受! 轴对称是一种重要的对称. 本章我们 将从生活中的对称出发学习几何图形的 轴对称并利用轴对称来研究等腰三角形 进而通过推理论证得到等腰三角形、等边 三角形的性质和判定方法由此可以体会 图形变化在几何研究中的作用. 让我们一起探索轴对称的奥秘吧! 等腰三角形判定的应用中题型 ：平行 角分
28、线 题型特征题目中出现平行线 角平分线 题型方法牢记口诀:平行 角分线等腰必呈现. 通过两个角相等找到对应的等腰三角形 例题认真听 【例 】()已知:在 中 平分 平分过点 作 / / 分 别交 、 于 、 两点(如图 ). 图中共有 个等腰三角形分别是 与 、 之间的 关系是 . ()若将()中“ ”改为“若 为不等边三角形”其余条件不变(如图 )则图中共有 个等腰三角形分别是 与 之间的关系是 . ()已知:如图 在 外 且 平分 的外角过 点作 / / 分别交 、 于 、 两点则 与 、 之间有何关系? 写出你的结论并加以 证明. ()已知:如图 点 在 外 分别平分 的外角 和过点 作
29、 分别交 于 两点则 与 之间存在怎样的关系? 写出你的 结论并加以证明. 落实与巩固 【例 】如图 中 分别平分过点 作 / / 交 于点 当 的位置及大小变化时线段 和 的大小关系为( ) . . . . 【例 】如图已知 为等边三角形延长 到 延长 到 并且使 连接 . 求证: . 【例 】在等边三角形 中点 在 上点 在 的延长线上且 . ()当点 为 的中点时如图 求证: ()当点 不是 的中点时如图 过点 作 / / 求证: 是等边三角形 ()在第()小题的条件下 与 还相等吗? 请说明理由. 落实和巩固 【例 】如图 为等边三角形直线 为直线 上任一动点将一 角的顶点 置于点 处
30、它的一边始终经过点 另一边与直线 交于点 . ()若 恰好在 的中点上(如图 )求证: 是等边三角形 ()若 为直线 上任一点(如图 )其他条件不变上述()的结论是否成立? 若成立 请给予证明若不成立请说明理由. 【例 】如图一个六边形的六个内角都是 求该六边形的 周长. 【例 】数学课上 李老师出示了如下框中的题目. 在等边三角形 中点 在 上点 在 的延长线上且 如图试确定线段 与 的大小关系并说明理由. 小明与同桌小聪讨论后 进行了如下解答: () 特殊情况 探索结论: 当点 为 的中点时 如图 确定线段 与 的大小关系 请你直接写出结论: (填 “ ”“ 为 的角平分线在 边上取点 使
31、 且 . 若 则( ) . . . . 【例 】如图四边形 中 平分 求证: . 【例 】如图在 中 是角平分线垂足为 求证: . 【例 】如图 是 边的中点 平分. ()求证: 平分 ()若 求 的长. 【例 】如图 与 的平分线交于点 过点 的直线分别交 、 于 、. ()求 的度数 ()试说明 ()若两平行线间的距离为 线段 长度为 求 的值. 落实和巩固 【例 】如图 中 . 平分 交 于 于 探究 之间的数量关系. 【例 】如图 是 的中点 平分. ()如图 若 求证: 平分 ()如图 若 求证: . 【例 】已知 平分 平分. ()求 的度数 ()如图 过点 的直线交射线 于点 交
32、射线 于点 求证: ()如图 过点 的直线交射线 的反向延长线于点 交射线 于点 求 的面积. 【思考题 】阅读下面材料: 小明遇到这样一个问题:如图在四边形 中 是 的中点 是 的平分线 求证: . 小明发现以下两种方法: 方法 :如图 延长 、 交于点 方法 :如图 在 上取一点 使 连接 、. ()根据阅读材料任选一种方法证明: 用学过的知识或参考小明的方法解决下面的问题: ()如图 在四边形 中 是 的平分线 是 的中点 求证: . 【思考题 】如图在 中 点 是底边 的中点垂 足分别为点 、. ()试说明 与 的关系. ()请证明 与 的关系. 【思考题 】()如图 在四边形 中 、
33、 分别是边 、 上 的点若 . 求证: . ()如图 在四边形 中 、 分别是边 、 延长线 上的点且 试探究线段 、 之间的数量关系证明你的结论. 如图在四边形 中 平分交 于点 平分交 于点 则 长为( ) . . . . 如图在 中 为 角平分线的交点若 的面积为 则 的面积为( ) . . . . 如图 为 的平分线 为 上一点且 于点 给出下列结论: 四边形 的面 积是 面积的 倍其中结论正确的个数有( ) . 个. 个 . 个. 个 如图在 中 于点 则 等于( ) . . . . 如图 过边长为 的等边 的边 上一点 作 于 为 延长线上 一点 当 时 连 交 边于 则 的长为(
34、 ) . . . . 不能确定 如图在四边形 中 与 的平分线交于点 且点 在线段 上 则点 到边 的距离是( ) . . . . . 如图已知在四边形 中 平分 则 四边形 的面积是( ) . . . . 如图已知 中 平分且 . 若 则点 到 边的距离为( ) . . . . 如图 平分 为 上一点 分别在 上且满足 若 则 的度数是( ) . . . . 如图 平分 平分以下结论其中正确的是 ( ) 点 是 的中点 . . . . . 第六讲因式分解第二轮 为了扩大绿地面积要把街心花园的 一块长 宽 的长方形绿地向两边 分别加宽 和 你能用几种方法表 示扩大后的绿地面积? 不同的表示方法
35、之 间有什么关系? 如何从数学的角度认识不 同的表示方法之间的关系? 回答上面的问题要用到整式的乘法 与因式分解的知识. 本章我们将在七年级 学习整式的加减法的基础上继续学习整 式的乘法与因式分解它们是代数运算以 及解决许多数学问题的重要基础. 我们可 以类比数的运算以运算律为基础得到关 于整式的乘法运算与因式分解的启发. 整式的乘法中题型 ：降次式的应用 题型特征题目中出现高次式的求值问题 题型方法将已知变为降次式代入进行降次从而求得结果 例题认真听 【例 】已知 那么代数式 的值是 . 【例 】若实数 满足 则 . 落实与巩固 【例 】已知 求: 的值. 【例 】已知 则 . 整式的乘法中
36、题型 ：凑平方和公式的应用 题型特征题目中出现 题型方法将它变为三个式子平方和的形式 例题认真听 【例 】已知 求 的值. 落实与巩固 【例 】已知: 则 的值是( ) . . . . 因式分解中题型 ：复习三种基本解法 题型特征三种基本的因式分解方法 题型方法先看有无公因式再看能否套公式十字相乘试一试 例题认真听 【例 】下列各数能整除 的是( ) . . . . 【例 】多项式 与多项式 的公因式是( ) . . . . 【例 】下列因式分解正确的是( ) . ( ) . . ( ) . ( )( ) 【例 】()( ) ( )()( )( ) 【例 】() () 【例 】() () 落实
37、与巩固 【例 】如果 能被 整除则 的值可能是( ) . . . . 【例 】下列各式中 不能用完全平方公式分解的个数为( ) . . 个. 个. 个. 个 【例 】()( ) ( )() () () 因式分解中题型 ：整体思想的应用 题型特征题目中出现相同的式子 题型方法将相同的式子看做一个整体也可设为 来做题. 不要轻易拆开 例题认真听 【例 】因式分解: ()( )( ) ()( )( ) ( ) ()( )( ) 落实与巩固 【例 】若 则 . 【例 】( )( ) 【例 】( )( ) 【例 】先阅读下列材料再解答问题: 材料:因式分解:( )( ) . 解:将“ ”看成整体令 则
38、原式 ( ) 再将“”还原得:原式 ( ). 上述解题方法用到的是“整体思想”整体思想是数学解题中常用的一种思想方法请你解 答下列问题: ()因式分解: ( ) ( ) . ()因式分解:( )( ) . ()证明:若 为正整数则式子( )( )( ) 的值一定是某一个整数的 平方. 因式分解中题型 ：分组分解法（方法 ） 题型特征待分解的多项式 项 题型方法分组要么可提取公因式要么可应用公式继续分解 例题认真听 【例 】阅读下列文字与例题. 将一个多项式分组后可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法. 例如:() ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) () ( ) ( ) (
39、)( ) 试用上述方法分解因式 . 【例 】() () () 落实与巩固 【例 】() () () 因式分解中题型 ：换元法（方法 ） 题型特征题目中出现重复的相同的式子 题型方法设重复的相同的式子为 继续分解最后不要忘了要换回来 例题认真听 【例 】下面是某同学对多项式( )( ) 进行因式分解的过程: 解:设 原式 ( )( ) (第一步) (第二步) ( )(第三步) ( )(第四步) ()该同学第二步到第三步运用了因式分解的 (填序号). . 提取公因式. 平方差公式 . 两数和的完全平方公式. 两数差的完全平方公式 ()该同学在第四步将 用所设中的 的代数式代换得到因式分解的最后结果
40、. 这个结果 是否分解到最后? . (填“是”或“否” )如果否直接写出最后的结果 . ()请你模仿以上方法尝试对多项式()( ) 进行因式分解. 【例 】( )( ) 落实与巩固 【例 】( )( ) 因式分解中题型 ：待定系数法（方法 ） 题型特征已知待分解的多项式有一个因式求另一个因式 题型方法将另外一个因式设出来然后将括号乘开让系数对应相等即可求出 例题认真听 【例 】仔细阅读下面例题解答问题. 例题:已知二次三项式 有一个因式是( )求另一个因式以及 的值. 解:设另一个因式为( )得 ( )( ) 则 ( ) . 解得: . 另一个因式为( ) 的值为 . 仿照以上方法解答下面问题
41、: 已知二次三项式 有一个因式是( )求另一个因式以及 的值. 【例 】先阅读第()题的解答过程然后再解第()题. ()已知多项式 有一个因式是 求 的值. 解:设 ( )( ) 则: ( ) ( ) 比较系数得 解得 . ()已知 有因式( )和( )求 、 的值. 落实与巩固 【例 】仔细阅读下面例题解答问题. 例题:已知二次三项式 有一个因式是( )求另一个因式以及 的值. 解:设另一个因式为( )得 ( )( ). 则 ( ) 解得: . 另一个因式为( ) 的值为 . 仿照以上方法解答下面问题: 已知二次三项式 有一个因式是( )求另一个因式以及 的值. 因式分解中题型 ：配方法（方
42、法 ） 题型特征已知待分解的多项式有一个因式求另一个因式 题型方法将另外一个因式设出来然后将括号乘开让系数对应相等即可求出 例题认真听 【例 】阅读下面的问题然后回答. 分解因式: . 解:原式 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 上述因式分解的方法称为配方法. 请体会配方法的特点用配方法分解因式: () () () () . 【例 】若一个整数能表示成 (、 是正整数)的形式则称这个数为“丰利数”. 例如 是“丰利数”因为 再如 ( ) ( 是正整数)所 以 也是“丰利数”. ()请你写一个最小的三位“丰利数”是 并判断 “丰利数”. (填“是” 或“不是”) ()已知 (、 是整数 是常数)要使 为“丰利数”试求出符合条 件的一个 值( )并说明理由. 落实与巩固 【例 】阅读并解决问题. 对于形如 这样的二次三项式可以用公式法将它分解成( )的形式. 但对 于二次三项式 就不能直接运用公式了. 此时我们可以在二次三项式 中先加上一项 使它与 的和成为一个完全平方式再减去 整个式子的值 不变于是有: ( ) ( ) () ( )( ). 像这样先添加适当项使式中出现完全平方式再减去这个项使整个式子的值不变的方法 称为“配方法”. ()利用“配方法”分解因式: . ()若 求: 的值. ()已知 是实数试比较 与 的大
