1、数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 习题课 求通项公式 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 自主学习 新知突破 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1掌握an与Sn的关系 2利用递推公式求an. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 an与Sn的关系 an S1n1， SnSn1n2. 根据已给出的关系式
2、，令nn1(或nn1)，写出一个 an1(或an1)与Sn1(或Sn1)的关系式，然后将两式相减，消去 Sn，得到an与an1(或an与an1)的关系，从而确定数列an是等 差数列或等比数列或其他数列，然后求出其通项公式 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 利用数列的递推公式求数列的通项公式，一般有以下三种 方法： (1)累加法：如果已知数列an的相邻两项an1与an的差的 一个关系式，我们可依次写出前n项中所有相邻两项的差的关 系式，然后把这n1个式子相加，整理求出数列的通项公式 递推公式求an 数数 学学 必修必修5
3、 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (2)累积法：如果已知数列an的相邻两项an1与an的商的 一个关系式，我们可依次写出前n项中所有相邻两项的商的关 系式，然后把这n1个式子相乘，整理求出数列的通项公式 (3)构造法：根据所给数列的递推公式以及其他有关关系 式，进行变形整理，构造出一个新的等差或等比数列，利用等 差或等比数列的通项公式求解 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1数列1，8 5， 15 7 ，24 9 ，的一个通项公式是( ) Aan(1)n n3n 2
4、n1 Ban(1)nnn3 2n1 Can(1)nn1 21 2n1 Dan(1)nnn2 2n1 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 解析： 可将首项1写成 3 3 ，分母为2n1，分子为(n 1)21n(n2)，符号为(1)n. 答案： D 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 2设数列an的前n项和Snn2，则a8的值为( ) A15 B16 C49 D64 解析： a8S8S7827215. 答案： A 数数 学学 必修必修5 第二章第二章
5、数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 3已知数列an的通项an与前n项和Sn之间满足关系式Sn 23an，则an_. 解析： Sn23an， 当n2时，Sn123an1， 由得，an3an3an1，即an 3 4 an1.又当n1 时，a1S123a1，a1 1 2 ，an是首项为 1 2 ，公比为 3 4 的 等比数列，an1 2 3 4 n1. 答案： 1 2 3 4 n1 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 4已知数列an满足a133，an1an2n，求an. 解析： 在an1an
6、2n中，令n1，得a2a12；令n 2，得a3a24，anan12(n1) 把上面n1个式子相加，得ana12462(n1) 22n2n1 2 n2n，ann2n33. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 合作探究 课堂互动 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 累加法 在数列an中，a11，anan12n1(n2且 nN*)，求数列an的通项公式 思路点拨 根据递推公式，写出n1个等式anan1 2n1(n依次取n，n1，n2，2)，将这n1个等式
7、左右 两边分别相加即可 边听边记 由于anan12n1(n2)，令n分别取n，n 1，n2，3,2则可得anan 12n1，an1an22(n 1)1，a3a2231，a2a1221. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 把上面的n1个等式左右两边分别相加得 ana12 n1n2 2 (n1) (n1)(n2)(n1) n21. a11，ann2(n2) 又a11也适合上式， ann2(nN*) 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 已知形如an1a
8、nf(n)型的递推公式求通项 公式 (1)当f(n)d为常数时，此时数列为等差数列，则ana1 (n1)d； (2)当f(n)为n的函数(非常数)时，用累加法 方法如下：由an1anf(n)得 当n2时，anan1f(n1)， an1an2f(n2)， a3a2f(2)， a2a1f(1) 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 以上(n1)个等式累加得 ana1f(n1)f(n2)f(2)f(1)， ana1 k1 n1 f(k)， 为了书写方便，也可以用横式来写： 当n2时，anan1f(n1)， an(anan1)(a
9、n1an2)(a2a1)a1f(n1) f(n2)f(2)f(1)a1. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1已知数列an满足a12，an1an2n，求通项公式 解析： an1an2n， an1an2n， ana1(a2a1)(a3a2)(anan1) 221222n 1 2212 n1 12 22n22n . an2n(n2) 又n1适合上式， an2n. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 累乘法 数列an中，若a11，an1n1 n2an(
10、nN *)，求数 列an的通项公式 思路点拨 令等式an1 n1 n2 an中的n依次取n1，n 2，1，得到n1个等式，将这n1个等式两边分别相乘 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 解析： an1n1 n2an(nN *)， 令n依次取n1，n2，2,1， 可得an n n1 an1，an1 n1 n an2，a3 3 4 a2，a2 2 3 a1， 将以上n1个等式左右两边分别相乘得 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 anan1a3a2 n
11、 n1 n1 n 3 4 2 3an1an2a2a1， an 2 n1a1. a11，an 2 n1(n2且nN *)， 又a11也适合上式，an 2 n1(nN *) 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 已知形如a n1 an f(n)型的递推公式求通项公式 (1)当f(n)为常数时，即 an1 an q(其中q是不为0的常数)，此 时数列为等比数列，ana1 qn 1. (2)当f(n)为n的函数(非常数)时，用累乘法 由a n1 an f(n)得n2时， an an1f(n1)， an an an1 an1 an2
12、 a2 a1 a1f(n1) f(1) a1. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 2在数列an中，a13，an12nan，求an. 解析： an12n an， an2n 1 a n1， ana1 a2 a1 a3 a2 a4 a3 an an1 321 22 23 2n 1 321 23(n1) 32 n1 n 2 3 2 n2n 2 . 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 构造法 已知数列an中，a12，an12an3，求an. 思路点拨 将条
13、件变形为an32(an13)，则数列an 3是等比数列，求出an3的通项公式 解析： an12an3，an2an13， 设式可写成an2(an1)(为待定系数)的形式， 即an2an1， 两式对应系数比较，得3. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 式可写成an32(an13)的形式， 则 an3 an132(n2) 因而数列an3(n2)是以2为公比的等比数列 设bnan3，b2a2310， bn52n 1(n2)， an52n 13(n2) 又当n1时，a12，符合上式， an52n 13(nN*) 数数 学学 必修
14、必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 当题中出现an1panq(pq0且p1)的形 式时，把an1panq变形为an1p(an)，即an1pan (p1)，令(p1)q，解得 q p1 ，从而构造出等比数列 an 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 3已知数列an满足a1 2 3 ，an1 1 2 (an1)，求通项公式 an. 解析： an11 2an 1 2， an111 2(an1) 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探
15、究 课堂互动 高效测评 知能提升 又a111 3. 数列an1是首项为1 3，公比为 1 2的等比数列 an11 3 1 2 n1. an11 3 1 2 n1. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 由an与Sn的关系求an 数列an的前n项和为Sn，且a11，对任意n N*，有an11 3Sn，求数列an的通项公式 思路点拨 解答本题可先利用an与Sn的关系：an S1 n1， SnSn1 n2. 消掉Sn，求出an，或消掉an求出Sn再求an. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合
16、作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 规范解答 方法一：当n1时，S1a11.2分 当n2时，an1an1 3(SnSn1)， 即an1an1 3an， an14 3an. 6分 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 当 n2 时，数列an是以 a21 3S1 1 3为首项，以 4 3为公 比的等比数列. 8 分 当 n2 时，ana2 qn 21 3 4 3 n2. 10 分 综上，an 1 n1， 1 3 4 3 n2 n2. 12 分 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课
17、堂互动 高效测评 知能提升 方法二：由an11 3Sn得Sn1Sn 1 3Sn. 即Sn14 3Sn. 4分 数列Sn是以S11为首项，以4 3为公比的等比数列.6分 SnS1qn 1 4 3 n1. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 当n2时，an1 3Sn1 1 3 4 3 n2. 8分 当n1时，a11不适合上式. 10分 综上，an 1 n1， 1 3 4 3 n2 n2. 12分 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 若已知an与Sn的等
18、量关系，求an时，可先借 助an S1 n1 SnSn1 n2 ，消掉an 求出Sn后再求an，也可先 消掉Sn利用等差、等比数列直接求出an，在求解具体题目时， 需根据条件合理选择变形方向，通常情况下，先求Sn要比直接 求an麻烦 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 4已知各项均不为零的数列an的前n项和为Sn，且Sn 1 3 (an1)(nN*) (1)求a1，a2的值； (2)求通项公式an. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 解析： (1
19、)由a1S11 3(a11)得a1 1 2. 又S21 3(a21)即a1a2 1 3(a21)， 所以1 2a2 1 3(a21)得a2 1 4. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (2)Sn1 3(an1)， an1Sn1Sn1 3(an11) 1 3(an1) 1 3(an1an) 又an0，所以a n 1 an 1 2(n1) 所以an是以1 2为首项，以 1 2为公比的等比数列 an1 2 1 2 n1 1 2 n. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高
20、效测评 知能提升 已知an是首项为1的正项数列，且(n1)a 2 n1na 2 nan 1an0，则an的通项公式为_ 【错解】 (n1)a2 n1na 2 nan1an0， 即(an1an)(n1)an1nan0.an0， an1an0，(n1)an1nan，a n1 an n n1， an是以1为首项， n n1为公比的等比数列 数列an的通项公式为an n n1 n1. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 【错因】 错解中 n n1不是常数，不能作为等比数列的公 比 【正解】 (n1)a2 n1na 2 nan1a
21、n0， (an1an)(n1)an1nan0. an0，an1an0，a n1 an n n1，即an 1 n n1an， 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 ann1 n an1n1 n n2 n1an 2n1 n n2 n1 2 3 1 2 a1 n1 n n2 n1 2 3 1 2 1 1 n， 数列an的通项公式为an1 n. 答案： an1 n 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 点击进入点击进入WORD链接链接 高效测评 知能提升 谢谢观看！谢谢观看！
