1、复变函数与积分变换课程教学大纲课程类别：公共基础教育课程 英文名称：Functions of a complex variable and integral transforms开课单位：理学院数学系 课程编号：X02080016 课程性质：必修总学时：48 实验：0 学 分： 3 适用专业：工科专业 先修课程：高等数学大纲编写（修订）时间：2020.6一、课程性质与教学目标（一）课程性质与任务复变函数与积分变换作为一门公共基础课程，是高等数学的后续课程。本课程的主要内容是讨论（1）复变函数论，即单复变量的复值可微函数的性质，其主要研究对象是全纯函数，即复解析函数,其主要内容是复变函数的微积分
2、计算；（2）傅里叶变换、拉普拉斯变换的相关性质及其应用。在流体力学、 电磁学、热学、工程力学、等领域中，都会遇到平面向量场的问题，对于这类场，借助与复变函数的理论和方法，可以较简捷、深刻、完美地予以研究，也就是说，复变函数是解决这类问题的有力工具。 积分变换的理论和方法不仅在某些数学分支中，而且在其它自然科学和工程技术中都有着广泛的应用。如在无线电技术中，当我们需要设计一个符合要求的放大器时，往往要利用傅立叶变换对信号进行频谱分析；在控制理论中，当我们需要进行系统分析时，就通过拉普拉斯变换来分析系统的传递特性等。积分变换已成为现代科学技术领域中不可缺少的运算工具。教学中应当结合实际，并适当反映
3、现代复变函数与积分变换的发展以激发学生的学习热情。复变函数论又称复分析，是数学分析的推广和发展。因此它不仅在内容上与数学分析有许多类似之处，而且在逻辑结构方面也非常类似。复变函数与积分变换是一门古老而富有生命力的学科。早在19世纪，Cauchy、Weierstrass及Riemann等数学巨匠就已经给这门学科奠定了坚实的基础。复变函数与积分变换作为一种强有力的工具，已经被广泛应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等，目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。复变函数与积分变换作为一门学科，有其自身的特点，有其特有的研究方法。在学习过程中，应注意将所
4、学的知识融汇贯通，并通过与微积分理论的比较加深理解，掌握它自身所固有的理论和方法。（二）课程目标通过本课程的理论学习，应使学生具备下列能力：课程目标1：通过针对复数、复变函数、解析函数、复数项级数、复变函数项级数等基本概念和基本原理的学习，使学生对复分析理论有较深入的理解，能够发现复变函数理论与数学分析理论的联系与区别，有利于学生论证所掌握的数学原理与方法。（支撑毕业要求指标点1-1）课程目标2：通过对留数和留数定理的基本概念和原理的学习，使学生初步掌握三种实积分的计算方法。能够利用留数定理，解决复积分和实积分的计算问题。（支撑毕业要求指标点2-1）课程目标3：通过傅里叶级数、傅里叶积分变换概
5、念和性质、拉普拉斯积分变换概念和性质的学习，使学生能够利用积分变换方法解决一些工程应用中的实际问题，诸如求解微积分方程以及方程组的问题、解决线性实不变系统的问题等等。（支撑毕业要求指标点2-1）8二、 课程内容、学时分配及对毕业要求指标点的支撑章节内 容讲课实验小计支撑课程目标支撑的毕业要求指标点第1章1 复数与复平面1.1 复数及其几何表示；主要内容：复数的基本概念及其表示方法1.2 复平面的拓扑；主要内容：复平面点集的概念，邻域、区域与约当曲线的概念，了解复球面与无穷远点的概念重点：复数的计算、乘幂与方根的计算难点：复平面的拓扑60611-1第2章2 复变函数 2.1 解析函数；主要内容：
6、复变函数、导数与微分的概念，掌握复变函数极限的计算方法，了解复变函数的连续性，理解解析函数的概念，掌握柯西黎曼条件，会运用函数解析的充要条件2.2 初等函数；主要内容：理解初等解析函数，即指数函数和三角函数的概念，理解初等多值函数，即根式函数和对数函数的概念，了解幂函数、指数函数和反函数的概念，掌握求根式函数和对数函数的单值解析分支的方法重点：初等解析函数的计算难点：复变函数极限与连续的相关证明，复变函数解析的充要条件80811-1第3章3 复变函数的积分3.1 复变函数的积分；主要内容：复积分的概念及其性质3.2 柯西定理；主要内容：柯西积分定理、及柯西积分定理的推广和复围线情形3.3 柯西
7、积分公式；主要内容：柯西积分公式及其推论，掌握利用柯西积分公式求积分的方法，理解解析函数的无穷可微法、柯西不等式与刘维尔定理，了解摩勒拉定理，掌握解析函数的高阶导数公式重点：复变函数积分的计算难点：柯西不等式与刘维尔定理的相关证明80811-1第4章4 级数4.1 级数和序列的基本性质；主要内容：了解复级数的基本性质，一致收敛性 和解析函数项级数，理解幂级数的敛散性，幂级数和的解析性，了解收敛半径的求法4.2 泰勒展式；主要内容：掌握解析函数的泰勒展式，会求一些初等函数的泰勒展式4.3 洛朗展式；主要内容：理解解析函数的洛朗展式，了解洛朗级数与泰勒级数的关系，会求简单的解析函数在孤立奇点领域内
8、的洛朗展式，理解解析函数的孤立奇点的概念，了解解析函数在无穷远点的性质，了解解析函数零点的孤立性，唯一性定理和最大模原理，理解孤立奇点的三种类型的等价定理，会判断孤立奇点的类型重点：解析函数展开成泰勒级数与罗朗级数难点：孤立奇点的判定80811-1第5章5 留数5.1 一般理论；主要内容：理解留数的定义及留数定理，掌握留数的求法5.2 留数计算的应用；主要内容：会用留数定理计算复积分和实积分，会计算积分路径上有奇点的积分，理解幅角原理及其应用，理解整函数与亚纯函数的概念重点：利用留数定理计算三类实积分难点：计算积分路径上有奇点的积分60622-1第7章7 Fourier变换7.1 Fourie
9、r积分；主要内容：傅里叶级数以及傅里叶积分公式的变形形式7.2 Fourier变换；主要内容：理解傅里叶变换的概念，掌握单位脉冲函数的概念及其傅里叶变换7.3 Fourier变换的性质；主要内容：理解傅里叶变换的性质，重点掌握对称性质、相似性质、位移性质、微分性质、积分性质7.4 卷积与相关函数；主要内容：了解卷积的概念和卷积定理重点：Fourier变换的性质难点：卷积的概念和卷积定理60632-1第8章8 Laplace变换8.1 Laplace变换的概念；主要内容：理解拉普拉斯变换的概念，了解拉普拉斯变换的存在定理8.2 Laplace变换的性质；主要内容：理解拉普拉斯变换的性质，重点掌握
10、相似性质、位移性质、延迟性质、微分与积分性质8.3 Laplace逆变换；主要内容：会利用留数定理计算拉普拉斯逆变换8.4 卷积；主要内容：了解拉普拉斯变换的卷积与卷积定理8.5 Laplace变换的应用；主要内容：求解微积分方程重点：Laplace变换的概念与性质难点：利用留数定理计算拉普拉斯逆变换60632-1合 计48048四、达成课程目标的途径和措施1、以课堂讲授为主，结合课堂提问和课堂讨论进行教学，注重启发式、探究式等教学方法，同时对适合的内容以多媒体辅助教学；2、通过课堂教学，总结出同类习题的问题特征和解题的一般思路及通用方法，主要挑选各章节习题中难度较大的习题和巩固知识的变式练习
11、进行讲授，并在每次课后布置适量作业题和思考题； 3、采用案例式教学，在习题课上重点评析学生在作业中出现的突出问题，并通过分析解题思路、一题多解等途径帮助学生理解和掌握数、形结合的思想方法，充分挖掘数学思维方法，以提高学生创造性思维能力，合适的习题可以安排学生讲解，提倡学生积极讨论，培养学生独立思考能力；五、考核方式1. 课程考核方式包括随堂测验、课堂提问、课后作业情况和期末考试等。2. 定量评价本课程包含2个分课程目标，有3个考核方式，各考核方式对课程目标达成评价的权重占比配如下：表5.1 各考核方式对课程目标达成评价的权重占比分配课程目标分课程目标权重（本列总和为1）Pi=1各考核方式评价比
12、例分配（每行总和为1）Wik=1各考核方式在课程目标达成中的占比（所有行列总和为1）Sik=1Sik=PiWik随堂测验课堂提问课后作业期末考试随堂测验课堂提问课后作业期末考试10.70.10.10.10.70.080.030.040.420.30.10.10.10.70.080.030.040.3各考核环节对课程目标达成的贡献率0.160.060.080.7 那么第i个分课程目标的评价基于各环节k的贡献加权求和，就是该分课程目标的达成度Ai，即 5-1而多个分课程目标再根据比例加权求和，就得到本门课程的课程目标达成度A。 5-2其中： k表示不同的考核环节，i表示不同的分课程目标；是第k种评
13、价方式通过第i个课程目标反映在总的课程目标评分占比； 表示第k种评价方式对第i个课程目标百分占比； 表示第i个课程目标在课程总评价中的占比；Gik表示第k种考核方式支撑第i个课程目标的达成度。 3. 定性评价定性评价指利用学生的调查问卷进行课程目标达成情况评价，按照各课程目标分项设计合适的问卷，调查学生掌握知识及获得能力等课程目标达成情况。其中成绩均采用百分制统计，五级分制转换为百分制时，优对应95分，良对应85分，中对应75分，及格对应65分，不及格对应55分。综合定性与定量评价结果，取最小量为最终评价结果。六、评价标准：6.1随堂测验评价标准基本要求评价标准权重90-100分75-89分6
14、0-74分0-59分理解复变函数的导数、会计算复变函数的积分，并进行无穷级数的展开。（支撑毕业要求指标点1-1）提前完成测验，回答问题清晰准确，书写规范测验按时完成，基本概念正确、论述基本清晰、书写基本规范基本概念基本正确、但个别问题不能按时完成基本概念不清楚、大部分题目不能按时提交0.166.2课堂提问评价标准基本要求评价标准权重90-100分75-89分60-74分0-59分掌握复数的表示方法，理解解析函数的概念，会运用柯西定理及柯西积分公式计算积分。（支撑毕业要求指标点1-1）回答问题清晰准确，论述逻辑严谨、层次分明、语言规范。基本概念正确、论述清晰、语言流畅。基本概念基本正确、论述有理
15、有据。基本概念不清楚、论述理由不充分。0.066.3课后作业评价标准基本要求评价标准权重90-100分75-89分60-74分0-59分理解复变函数的基本概念和定理，会计算复变函数的积分，对解析函数进行幂级数展开，会判定孤立奇点的类型，掌握留数定理，掌握傅里叶和拉普拉斯积分变换的概念和性质。（支撑毕业要求指标点1-1，2-1 ）按时交作业；基本概念正确、论述逻辑清楚；层次分明、语言规范。按时交作业；基本概念正确、论基本清楚；语言较规范。按时交作业；基本概念基本正确、论述基本清楚；语言较规范。不能按时交作业，有抄袭现象；或者基本概念不清楚、论述不清楚。0.086.4考试评价标准基本要求评价标准权
16、重90-100分75-89分60-74分0-59分掌握复数、复变函数、解析函数的表达式，会计算复变函数的导数和积分，对复变函数进行幂级数展开，利用留数定理计算实积分，掌握傅里叶积分变换的性质，利用拉普拉斯积分变换求解微分方程。（支撑毕业要求指标点1-1，2-1）应用复变函数论的相关概念和定理计算准确无误，结合积分变换的概念和性质证明原理十分清晰，语言论述正确。应用复变函数论的相关概念和定理计算大部分准确无误，结合积分变换的概念和性质证明原理比较清晰，语言论述简洁。应用复变函数论的相关概念和定理计算基本正确，结合积分变换的概念和性质证明原理基本清晰，语言论述不规范。应用复变函数论的相关概念和定理计算失误较多，结合积分变换的概念和性质证明原理不清，语言论述不正确。0.7七、参考书目及学习资料（书名，主编，出版社，出版时间及版次）1. 复变函数与积分变换，白艳萍、雷英杰、杨明主编，国防工业出版社，2004年，第一版；2. 复变函数与积分变换，李红、谢松法编，高等教育出版社，2018年10月，第五版；3. 复变函数与积分变换，宋叔尼、张国伟、孙涛编，科学出版社，2019年2月，第二版。制定人： 审定人： 批准人： 2021年9月1日
