1、Public Finance Consumers Theory1What have we learned?v偏好偏好（理性偏好）偏好公理v效用代表偏好的效用函数性质v消费者问题用偏好表示用效用表示Public Finance Consumers Theory2What have we learned?vModern Consumer Theory：在消费者偏好基础上完全重新阐释消费者行为理论v在现代理论中，效用函数仅仅是一个归纳消费者偏好所包含的信息的方便工具偏好关系偏好关系无差异曲线无差异曲线效用函数效用函数“Represent”Public Finance Consumers Theory
2、3补充说明补充说明v偏好假设（or理性偏好or一致偏好）对于现代消费者理论是必需的吗？Nov显示偏好 从消费者的选择行为选择行为出发研究消费者的需求规律Public Finance Consumers Theory4需需 求求v马歇尔需求函数与间接效用函数v希克斯需求函数与支出函数v几个重要的恒等式v需求函数的性质与禀赋Public Finance Consumers Theory5二、个人选择与比较静态分析(间接效用函数与支出函数)The Consumers Choice and Comparative Analysis：Indirect Utility and Expenditure Fu
3、nctionPublic Finance Consumers Theory6消费者问题的消费者问题的假设假设v消费者偏好具有完备性、可传递性、连续性、严格单调性和严格凸性。代表该偏好的效用函数u(x)连续、严格递增、严格拟凹。定义在 上直接代表偏好的效用函数u(x)也被称为直接效用函数。v市场经济(Market Economy)价格p不受消费者行为影响，p0可行集B：竞争性预算集 B=x0|pxm,m0B是紧集（有限闭集）n+X RPublic Finance Consumers Theory7The Consumers Problemv问题：消费者在可行集 上按照定义在 上的偏好关系 选择最
4、偏好的可行选择 x*B 使得使得 x B 都有都有 x*xv问题：效用最大化 Max x 0 u(x)s.t.p x mn+B Rn+RMax x 0 u(x)s.t.p xmPublic Finance Consumers Theory82.1 间接效用函数间接效用函数v由解的存在性和唯一性定理，效用最大化问题：Max x 0 u(x)s.t.p x=m存在唯一的解，记为x(p,m)，也称为马歇尔需求函数v从而：从而：u(x)=u(x(p,m)v(p,m)v(p,m)称为间接效用函数vDef：间接效用函数v(p,m)是效用最大化问题的值函数：v(p,m)Max x 0 u(x)s.t.p x
5、=mPublic Finance Consumers Theory9间接效用函数间接效用函数v构造拉格朗日函数：vL(x,p,m)=u(x1,x2)+(m-p1x1-p2x2)v显然，由包络定理，有：*(,)mm x.v p mL*i*ii(,)(,)px.v p mxp mp Lmv),(mpxvipiPublic Finance Consumers Theory10间接效用函数的性质间接效用函数的性质v假设u(x)连续、递增；p0，m0。vProp.1：v(p,m)在 上是连续函数vProp.2：v(p,m)是(p,m)的零次齐次函数v(tp,tm)=v(p,m),t0 证明：t0,B(t
6、p,tm)=B(p,m),从而x(tp,tm)=x(p,m),v(tp,tm)=v(p,m)。nRRPublic Finance Consumers Theory11间接效用函数的性质间接效用函数的性质vProp.3：v(p,m)是m的递增函数证明1：mm，B(p,m)B(p,m)，从而v(p,m)v(p,m)。证明2：若u(x)可微，则由包络定理，若偏好还满足局部非饱和性，v(p,m)是m的严格递增函数vProp.4：v(p,m)是p的递减函数证明1：pp，B(p,m)B(p,m)，从而v(p,m)v(p,m)。证明2：若u(x)可微，则由包络定理：*/0vm*/0vpx Public Fi
7、nance Consumers Theory12间接效用函数的性质间接效用函数的性质vProp.5：Roys Identity 若v(p,m)在(p,m)处可微，且 ，则：证明1：包络定理(p,m)/(p,m)(p,m)/miivpxv/0vm*(,)mm x.v p mL*i*ii(,)(,)px.v p mxp mp Lmv),(mpxvipiPublic Finance Consumers Theory132.2 支出函数支出函数vv(p,m)对m递增，若偏好还满足局部非饱和性，则v(p,m)对m严格递增。v从而间接效用函数有反函数：给定效用水平u，都可以找到价格p下实现u的最小收入mv
8、支出最小化问题(EMP)Minx e=px s.t.u(x)=u如果u(x)连续，EMP一定存在最小值如果u(x)是连续严格拟凹函数，那么最优解唯一最优解：h(p,u)Public Finance Consumers Theory14支出最小化问题支出最小化问题v效用最大化问题（UMP）：Max x 0 u(x)s.t.px=m x(p,m):马歇尔需求函数(Marshallian demand function)v支出最小化问题（EMP）：Min x 0 px s.t.u(x)=u h(p,u):也称为希克斯需求函数（Hicksian demand function）或补偿需求函数Publi
9、c Finance Consumers Theory15支出函数支出函数(Expenditure Function)vDef：支出函数e(p,u)是支出最小化问题的值函数：e(pu)Min x 0 px s.t.u(x)=u vL(.)=px+u u(x)v显然，由包络定理，有：*i*iie(,u)h(,u)px.pppLPublic Finance Consumers Theory16支出函数的性质支出函数的性质vProp.1：e(p,u)在 上是连续函数vProp.2：e(p,u)是p的一次齐次函数e(tp,u)=te(p,u),t0 证明：设x是(p,u)下支出最小化问题的解。假设x不是
10、(tp,u)下支出最小化问题的解，记x是价格tp下的最优消费束。则e(tp,u)=tp.x 0，有：p.x p.x,x不是价格p下最小化支出的消费束，矛盾。从而x也是价格tp下最小化支出的消费束，e(tp,u)=tp.x=te(p,u)。nRUPublic Finance Consumers Theory17支出函数的性质支出函数的性质vProp.3：e(p,u)是u的递增函数证明1：B(p,u)B(p,u)，u0，设pt=tp1+(1-t)p2，xt是pt下的最优消费束，则：e(pt,u)=ptxt=tp1xt+(1-t)p2xttp1x1+(1-t)p2x2，即e(pt,u)te(p1,u
11、)+(1-t)e(p2,u)，从而e(p,u)对p凹。Public Finance Consumers Theory19支出函数的性质支出函数的性质vProp.6：Shephards Lemma 若e(p,u)对p可微，且pi0，则：证明1：包络定理L(x,p,u)=px+u-u(x)iie(,u)h(,u)ppp),()()(uphxpLpeiiiiPublic Finance Consumers Theory202.3 几个重要的恒等式几个重要的恒等式v效用最大化问题（UMP）：Max x 0 u(x)s.t.p x=m x(p,m)，马歇尔需求函数v支出最小化问题（EMP）：Min x
12、0 p x s.t.u(x)=u h(p,u)，希克斯需求函数Public Finance Consumers Theory21效用最大化效用最大化(UMP)与支出最小化与支出最小化(EMP)v效用最大化问题(UMP)的解是给定该最大化效用水平下支出最小化(EMP)问题的解：x(p,m)=h(p,v(p,m)v支出最小化问题(EMP)的解是给定收入为该最小化花费水平下效用最大化问题的解：h(p,u)=x(p,e(p,u)Min x 0 p xs.t.v(p,m)=u(x)Max x 0 u(x)s.t.p.x=mPublic Finance Consumers Theory22几个重要的恒等式
13、几个重要的恒等式v普通(马歇尔)需求函数与补偿（希克斯）需求函数：x(p,m)h(p,v(p,m)h(p,u)x(p,e(p,u)v类似的，间接效用函数与支出函数也有两个重要的恒等式：uv(p,e(p,u)me(p,v(p,m)Public Finance Consumers Theory232.4 需求函数的性质需求函数的性质v因为x(tp,tm)=x(p,m),所以：x(p,m)=x(p1/pn,p2/pn,.,1,m/pn)vAbsence of Money Illusion(Relative Price,Real Income&Numerair)Public Finance Consu
14、mers Theory242.4.1 比较静态分析比较静态分析v收入扩展线：价格固定不变，收入m变化时最优商品组合的轨迹vEngel曲线：价格固定不变，收入m变化时第i种商品需求的变化v价格提供线(Price Offer)：收入固定不变，价格变化时最优商品组合的轨迹v图示&含义Public Finance Consumers Theory25收入扩展线收入扩展线&Engel曲线曲线vCournot Aggregation:vEngel Aggregation:Public Finance Consumers Theory262.4.2 Slutskys Equationv支出最小化问题(EMP
15、)的解是给定最小化花费水平下效用最大化问题的解：h(p,u)=x(p,e(p,u)v对pj 求偏导：iiiujjjh(,u)x(,m)x(,m)e(,m)ppmpppppiiijujjx(,m)h(,u)x(,m)h(p,u)ppmpppuPublic Finance Consumers Theory27Slutskys EquationvSlutskys Equation:其中，u=v(p,m)。iiijjjx(,m)h(,u)x(,m)x(p,m),ppmpppPublic Finance Consumers Theory28x0 x1xhHicks补偿x0=x(p0,m)x1=x(p1,
16、m)xh=h(p1,u0)=x(p1,m+m)x2x1om/p2u1u0替代效应替代效应&收入效应收入效应(Substitution Effect&Income Effect)Public Finance Consumers Theory29Substitution Effect&Income EffectvSlutskys Equation:其中，u=v(p,m)。v正常商品：0v劣质商品：?基芬商品：0iiijjjx(,m)h(,u)x(,m)x(p,m),ppmppp需求定律：对于正常商品，价格上升，需求下降。基芬商品一定是劣质品。Public Finance Consumers The
17、ory30补偿和普通需求函数的性质补偿和普通需求函数的性质v回顾：Sherphads Lemma&Slutskys Equation(p,)h(p,)iieuupiiijjjx(,m)h(,u)x(,m)x(p,m),ppmpppPublic Finance Consumers Theory312.4.3 补偿需求函数的性质补偿需求函数的性质vProp.1：h(p,u)在 上是连续函数vProp.2：h(p,u)是p的零次齐次函数h(tp,u)=h(p,u),t0 证明：Shephards LemmavProp.3：The Compensated Law of Demand:补偿需求曲线一定向
18、下倾斜nRU*2*2h(p,)(p,)0iiiueuppPublic Finance Consumers Theory322.4.3 补偿需求函数的性质补偿需求函数的性质vProp.4：Dph(p,u)是半负定对称矩阵支出函数e(p,u)是p的凹函数*2*2h(p,)(p,)0iiiueupp*2*h(p,)h(p,)(p,)jijijiuueupp pp Public Finance Consumers Theory332.4.4 普通需求函数的性质普通需求函数的性质vProp.1：x(p,m)在 上是连续函数vProp.2：x(p,m)是(p,m)的零次齐次函数x(tp,tm)=x(p,m
19、),t0 证明：t0,B(tp,tm)=B(p,m),证明：设x是(p,m)下效用最大化问题的解。假设x不是(tp,tm)下效用最大化问题的解，记x是(tp,tm)下效用最大化问题的解。则tp.x tm,x x由t0，有：p.x m,x x，这与x是(p,m)下效用最大化问题的解矛盾。从而x也是(tp,tm)下效用最大化问题的解，x(tp,tm)=x(p,m)。nRRPublic Finance Consumers Theory34普通需求函数的性质普通需求函数的性质vProp.3：x(p,m)是m的严格递增函数 (?v)证明1：包络定理，证明2：B(p,m)B(p,m)，mmvProp.4：
20、偏好严格单调，所以 px(p,m)=m(瓦尔拉斯法则)Public Finance Consumers Theory352.5 总结：对偶性深入分析总结：对偶性深入分析偏好EMP(p,)euUMP(p,m)vx(p,(p,)euh(p,(p,m)vPublic Finance Consumers Theory362.6 禀赋与需求函数禀赋与需求函数v禀赋价格变化的福利效果(图示)禀赋收入效应修正的斯勒茨基方程Public Finance Consumers Theory372.6 禀赋与需求函数禀赋与需求函数v劳动供给初始禀赋相对价格比较静态（图）劳动供给曲线（图）加班工资（图）Public Finance Consumers Theory38习题习题v一、证明：Engel加总v二、效用函数为u=f(q,H)，q为商品量，H为消费商品的时间，且两者边际效用均大于零。W为工作时间，且W+H=24，r是工资，商品价格为p。问：最优化问题的数学表达式是什么？找出dH/dr的表达式，其符号是否确定？为什么？Thank you
