1、 1 河北省大名县 2018届高三数学上学期第一次月考试题 文（实验班，含解析） 1. 已知集合 A=x|x2+x-20, B=y|y=2x,x R,则 A B等于 ( ) A. (0,1 B. 1,+) C. (0,2 D. 【答案】 A 【解析】 因为 x2+x-20, 所以 -2 x1, 根据指数函数的性质知 y=2x0, 所以集合 A= ,B= ,则 A B= ,故选 A. 2. 已知 f(x)是定义在 R上的偶函数 ,周期为 2,则 “ f(x)为 0,1上的增函数 ” 是 “ f(x)为3,4上的减函数 ” 的 ( ) A. 既不充分也不必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不
2、充分条件 D. 充要条件 【答案】 D 【解析】 函数在 上递增 ,利用偶函数得函数在 上递减 ,利用周期得函数在上递减 ,故充分性成立 ;函数在 上递减 ,利用周期得函数在 上递减 ,利用偶函数得函数在 上递增 ,必要性成立 ,综上 ,充分性与必要性均成立 ,故选 D. 3. 下列结论中正确的个数是 ( ) “ x= ” 是 “ ” 的充分不必要条件 ; 若 ab,则 am2bm2; 命题 “ ? x R,sin x1” 的否 定是 “ ? x R,sin x1”; 函数 f(x)= -cos x在 0,+) 内有且仅有两个零点 . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】 A 【解
3、析】 对于 ,当 x= 时 ,sin ,充分性成立 ;当 sin 时 ,x+ +2k 或 x+ +2k, k Z,得 x=- +2k 或 x= +2k, k Z,故必要性不成立 ,故 正确 ;对于 ,当 m=0时 ,若 ab,am2bm2不成立 ,故 不正确 ;对于 ,命题“ ? x R,sin x1” 的否定是 “ ? x0 R,sin x01”, 故 不正确 ;对于 ,函数 y= 与y=cos x的图象有且只有一个交点 ,故函数 f(x)= -cos x在 内有且仅有一个零点 ,故 不正确 .综上 ,正确的只有一个 ,故选 A. 4. 下列函数中 ,既是奇函数又在 (0,+) 上单调递增的
4、函数是 ( ) A. y=ex+e-x B. y=ln(|x|+1) C. y= D. y=x- 2 【答案】 D 【解析】 A,B选项中的函数为偶函数 ,排除 ,C 选项中的函数是奇函数 ,但在 (0,+) 上不是单调递增函数 .故选 D. 5. 设函数 f(x)=ln(1+x2)- ,则使得 f(x)f(2x-1)成立的 x的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】试题分析：当 时， 是增函数，又是偶函数，由，故选 A. 考点：函数的奇偶性；函数的单调性 6. 若直角坐标平面内的两点 P,Q满足条件 : P,Q都在函数 y=f(x)的图象上 ; P,Q关于原点对称
5、 ,则称点对 (P,Q)是函数 y=f(x)的一对 “ 友好点对 ”( 点对 (P,Q)与 (Q,P)看作同一对“ 友好点对 ”). 已知函数 f(x)= 则此函数的 “ 友好点对 ” 有 ( ) A. 3对 B. 2对 C. 1对 D. 0对 【答案】 C 【解析】 设 f(x)= (x0)图象上任一点为 A(x,y)(x0,y0),点 A关于原点的对称点A(-x,-y)在 y=x+1上 ,所以 -y=-x+1,即 y=x-1, 得 “ 友好点对 ” 的个数就是方程组的根的个数 ,而 y=x-1(x0)的图象与 y 的图象有且只有一个交点 ,“ 友好点对 ” 共 1对 ,故选 C. 7. 设
6、函数 ,“ 是偶函数 ” 是 “ 的图象关于原点对称 ”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】 B 【解析】 若 是偶函数 ,而 不一定是奇函数 ,故 的图象不一定关于3 原点对称 ;当 的图象关于原点对称时 ,函数 是奇函数 ,则 是偶函数 ,因此 “ 是偶函数 ” 是 “ 的图象关于原点对称 ” 的必要不充分条件 .故选 B. 8. 关于函数 y=2sin +1,下列叙述 有误 的是 ( ) A. 其图象关于直线 x=- 对称 B. 其图象可由 y=2sin +1图象上所有点的横坐标变为原来的倍得到 C. 其图象关于点
7、对称 D. 其值域为 -1,3 【答案】 C 9. 已知 ABC的外接 圆半径为 1,圆心为 O,且 =0,则 ABC的面积为 ( ) A. 1+ B. C. 1+ D. 【答案】 D 【解析】 .由 =0 得 =- ,两边平方可得 =0,则 AOB=90;由 =0 得 =- ,两边平方可得 = ,则 AOC=135; 同理可得 BOC=135, 则 ABC的面积为 SAOB +SBOC +SAOC = ,故选 D. 10. 已知向量 a=(cos ,-sin ),b=(-cos2 ,sin2 )( (,2), 若向量 a,b 的夹角为 ,则有 ( ) A. = B. = - C. = - D
8、. = -2 【答案】 C 【解析】 由题意知cos = =- ( ) =-cos =cos( -). 因为 (,2), 所以 -(0,), 而 0, 所以 = -, 故选 C. 4 11. 已知数列 , 都是公差为 1的等差数列 ， 是正整数 ， 若 ， 则( ) A. 81 B. 99 C. 108 D. 117 【答案】 D 【解析】试题分析：由题意可设 ， ， 则 故正确选项为 D 考点：等差数 列的运用 【方法点睛】题中已知条件说明数列 是连续的自然数列，且首项为正数，据此便可假设数列 的首相以及通项，同时也能得出 的首项以及通项；本题也可等差数列性质直接先求 ， ，然后累加求和 1
9、2. 已知函数 ,关于 的方程 R)有四个相异的实数根 ,则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 = ,当 时时 , 单调递减 ， 时 , 单调递增 ,且当,当 , 当时 ， 恒成立 ， 时 , 单调递增且 ,方程 R)有四个相异的实数根 .令= 则, ,即. 5 二、填空题 13. 设 的内角 , , 所对的边长分别为 ,若 ,则 的值为 _. 【答案】 4 【解析】 由正弦定理可得 = ,又因为= = ,所以 = ,即, 所以 . 14. 设 ABC的内角 A， B， C所对边的长分别为 a， b， c， 若 b+c=2a， 3sinA=5sinB， 则角
10、C=_. 【答案】 【解析】 3sinA 5sinB， 3a 5b. 又 b c 2a， 由 可得， a b， c b. cosC . C . 15. 已知在 中 ， ， ， ， ， ， 则的值为 _. 【答案】 6 . 16. 已知数列 an满足 a1=33， an+1-an=2n， 则 的最小值为 _. 【答案】 【解析】 由已知可得 an-an-1=2(n-1),an-1-an-2=2(n-2),?, a3-a2=2 2,a2-a1=2 1,左右两边分别相加可得 an-a1=2(1+2+3+? +(n-1)=n(n-1), an=n2-n+33. =n+ -1,令 F(n)=n+ -1,
11、n5 时为减函数 ,n6 时为增函数且F(5)F(6), F(n) F(6)= ,故 的最小值为 . 三、解答题 17. 已知函数 f(x)=cos 2x+2sin2x+2sin x. (1)将函数 f(2x)的图象向右平移 个单位得到函数 g(x)的图象 ,若 x ,求函数g(x)的值域 ; (2)已知 a,b,c分别为 ABC 中角 A,B,C的对边 ,且满足 f(A)= +1,A ,a=2 ,b=2,求 ABC的面积 . 【答案】 （ 1） 0,3；（ 2） 2 . 【解析】 【试题分析】（ 1）先运用三角变换公式中的余弦二倍角公式进行化简，再借助正弦函数的图 像的变换得到 g(x)，然
12、后求 g(x)的值域；（ 2）先借助题设条件求出 A的正弦与余弦，然后运用余弦定理求出边 c， 最后求出三角形的面积 . 解： (1) f(x)=cos 2x+2sin2x+2sin x=cos2x-sin2x+2sin2x+2sin x =cos2x+sin2x+2sin x=1+2sin x, 所以 f(2x)=1+2sin2x. 7 因为函数 f(2x)的图象向右平移 个单位得到函数 g(x)的图象 , 所以 g(x)=2sin +1,即 g(x)=2sin +1. 因为 x ,所以 2x 所以 sin ,所以g(x)0,3, 所以函数 g(x)的值域为 0,3. (2) 因为 f(A)
13、= +1,所以 sin A= , 因为 A ,所以 cos A=. 又 cos A= ,a=2 ,b=2,所以 c=4. 所以 ABC面积 SABC =bcsin A=2 . 18. 已知数列 an满足 a1=,an+1=3an-1(n N*). (1)若数列 bn满足 bn=an-,求证 :bn是等比数列 ; (2)求数列 an的前 n项和 Sn. 【答案】 （ 1）见解析；（ 2） 。 【解 析】 【试题分析】（ 1）先依据题设得到 an+1 =3 (n N*),从而有bn+1=3bn,b1=a1-=1,然后运用等比数列的定义分析推证；（ 2）先借助（ 1）的结论及题设条件求出 Sn=30
14、+3+? 3n-1+，然后运用等比数列的前 n项和求解 . 解： (1) 由题可知 an+1 =3 (n N*),从而有 bn+1=3bn,b1=a1-=1, 所以 bn是以 1为首项 ,3 为公比的等比数列 . (2) 由第 1问知 bn=3n-1,从而 an=3n-1+, 有 Sn=30+3+? 3n-1+=30+31+32+?+3 n-1+ n= . 19. 正项数列 满足 . (1)求数列 的通项公式 ； (2)令 ， 求数列 的前 项和为 . 【答案】 （ 1） ；（ 2） 。 【解析】试题分析：（ 1）将 变形可得到通项公式，由各项均是正数，因此通项公式为 8 （ 2）由 代入可得
15、到数列 的通项公式 ，因此采用裂项相消法求和 试题解析：（ 1） （ 2） 考点：数列求通项求和 20. 已知三棱锥 A-BCD 中 , ABC是等腰直角三角形 ,且 AC BC,BC=2,AD 平面 BCD,AD=1. (1)求证 :平面 ABC 平面 ACD; (2)若 E为 AB中点 ,求点 A到平面 CED的距离 . 【答案】 （ 1）见证明过程；（ 2） 。 【解析】试题分析：（ 1）通过 ， 可证得 平面 ，又 平面 ，利用面面垂直的判定定理可得证 . (2) 利用等体积法 ，解得 . 试题解析（ 1）证明：因为 平面 平面 ，所以 ，又因为，所以 平面 平面 ，所以平面 平面 .
16、 （ 2）由已知可得 ，取 中点为 ，连结 ，由于 ，所以 为等腰三角形，从而 ， ，由 （ 1）知 平面 所以 到平面 的距离为 1， ，令 到平面 的距离为 ，有，解得 . 点晴：本题考查的是空间的线面关系和空间多面体体积的求解 .第一问要考查的是面面垂直，通过先证明线和面内的两条相交直线垂直证得线面垂直，再结合面面垂直的判定定理，可证得；对于第二问点到平面的距离利用等体积法，解得 . 21. 已知椭圆 的两个焦点分别为 ,以椭圆短轴为直径的圆经过点 . 9 (1)求椭圆 的方程 ; (2)过点 的直线 与椭圆 相交于 两点 ,设点 ,直线 的斜率分别为 ,问是否为定值 ?并证明你的结论 . 【答案 】 （ 1） ；（ 2）是定值为 2。 【解析】试题分析： (1)由焦点坐标可得 ，又以椭圆短轴为直径的圆经过点 可得 ，所以可求出 ，从而得到椭圆方程； (2)当 的斜率不存在时，求出点 的坐标，再计算 ，当 存在斜率时，设直线 的方程为 ，与椭圆方程联立，由韦达定理得到 ， ,计算
