1、 1 2017-2018 学年第一学期第一次月考考试 高三理科数学试卷 （考试时间： 120 分钟 满分： 150 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请把答案填在答题卷相应的位置上 1 已 集合 ? ?1A x x?， ? ?lgB x y x?，则 （ ） . A ? ?01A B x x? ? ? B ? ?1A B x x? C A B B? D AB? 2已知 53cos25? ?，则 cos2? （ ） . A 725? B 725 C 35? D 35 3函数 ? ? lnf x ex x?在 1
2、x? 处的切线方程为 （ ） . A ? ?1 1 0e x y? ? ? ? B ? ?1 1 0e x y? ? ? ? C ? ?1 1 0e x y? ? ? ? D ? ?1 1 0e x y? ? ? ? 4 “ ? ” 是 “ sin sin? ” 的 （ ） . A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5已知函数 ? ?26 logf x xx?，则一定包含 ?fx零点的区间是 （ ） . A ? ?0,1 B ? ?1,2 C ? ?2,4 D ? ?4,? 6已知 函数 ( ) sin( 2 )3f x x ?，下列说法正确的是 （ ）
3、. A关于 直线 512x ? 对称 B关于 点 ( ,0)12? 对称 C ()fx是定义在 R 上的奇函 数 D最小正周期为 2? 7 下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 ( ). A sin6yx?B cos 26yx?C cos 43yx?D sin 26yx?2 8已知 1sin44? ?，则 cos 22? ?（ ） . A 78? B 78 C 158? D 158 9已知 0, 0ab?， 4ab? ，则 4aby ab? 的最小值为 （ ） . A 52 B 54 C 92 D 94 10在 ABC? 中， ,abc分别为角 ,ABC 的对边，若 2cos 22B a c
4、c? ，则 ABC? 的形状为（ ） . A正三角 形 B 直角三角形 C 等腰三角形 D 等腰直角三角形 11 设 ,xy满足约束条件 4 8 05010xyxyy? ? ? ? ?，若目标函数 ? ?0z ax y a? ? ?的最大值为 6 ，则 a 的值为 （ ） . A 3 B 2 C 54 D 54 或 2 12已知对任意的 1x? ， ? ? 3ln 1kf x x kx? ? ? ?大于零恒成立，若 kZ? ，则 k 的最大值为 （ ） . A 2 B 3 C 4 D 5 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 .请把答案写在答题卷相应位置上 13 ? ?
5、1 21 1x x dx? ? ? ? 14已知 tan 2? ，则 sin cossin cos? ? 15已知函数 ? ? 3 23f x x ax? ? ?在区间 ? ?1,2 上是单调函数，则实数 a 的取值范围为 3 16 在某海滨城市附近海面上有一台风，据监测，当前台风中心位于城市 O （如图）的东偏南 ? 方向 300km 的海面 P 处，并以 20 /kmh 的速度向西偏北 45 方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当 前半径为 60km ，并且以 10 /kmh 的速度不断增大， 问该城市受台风侵袭的时间共 小时 . ? ? 4c o s 4 5 5?其 中 ： 三、解答题：
6、本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17（本小题满分 12 分） 已知 ,?均为锐角，且 ? ?31sin , ta n53? ? ? ? ? ?. （）分别求 ? ?sin ? 及 ? ?cos ? 的值； （）求 sin? 的值 . 18.（本小题满分 12 分） 已知函数 ? ? s in 2 c o s 2 2 s in c o s36f x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. （）求函数 ?fx的最小正周期及对称轴方程 ； （）将函数 ? ?y f x? 的图象向左平移 12? 个单位，再将所得图象上各点的
7、纵坐标不变、横坐标伸长为原来的 2 倍，得 到函数 ? ?y g x? 的图象，求 ? ?y g x? 在 ? ?0,? 上的单调递减区间 . 4 19.（本小题满分 12 分） 已知函数 ? ? 2 4 2 1xxf x a? ? ? ?. （）当 1a? 时，解不等式 ? ? 0fx? ； （）当 ? ?0,1x? 时， 关于 x 的方程 ? ? 0fx? 有解，求 a 的取值范围 . 20.（本小题满 分 12 分） 如图，在 ABC? 中， 3B ? , 43AC? ,D 为 BC 边上一点 . （） 2AD? , 23DACS? ? ，求 DC 的长； （） 若 AB AD? ，求
8、ADC? 的周长的最大值 . 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 ? ? 21xf x e x ax? ? ? ?. （） 当 0a? 时，求证 ? ? 0fx? ； 5 （） 当 0x? 时，若不等式 ? ? 0fx? 恒成立，求实数 a 的取值范围 ; （ III） 若 0x? ，证明 ? ? ? ? 21 ln 1xe x x? ? ?. 注意：请考生在 22、 23 题两题中 任选一道 题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 48 c o s 4 sin 0? ? ? ? ? ?， 以极点为平面直角坐标系的原
9、点，极轴 x 轴为正半轴，建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系 xOy ，直线 l 经过? ?5, 2P ? ,倾斜角 3? . （）写出 曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程； （）设 l 与曲线 C 相交于 ,AB两点，求 AB 的值 . 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ? ?f x x a?， （）若 2a? ，不等式 ? ? 1f x c x? ? ?对任意的 xR? 恒成立，求实数 c 的取值范围 ； （）若 ? ? 1fx? 的解集为 ? ?2,4 ，且 ? ?2 0 , 0m n a m n? ? ? ?，求 224mn? 的最小值 . 6 三明一中 2017
10、-2018 学年（上）第一次月考 高三理科数学 试卷参考答案 一、 选择题：每小题 5 分，共 60 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B D B C A B A D B C C 二、 填空题：每小题 5 分，共 20 分 . 13. 2? 14. 3 15._ 3 62a a a?或_; 16._12_. 三、解答题：第 17 题 10 分，第 18-22 题，每题 12 分 . 17.解： （）因为 0 , 022? ? ? ?， 所以 22? ? ? ? ， 又因为 ? ? 1ta n 03? ? ? ?，所以 02? ? ? ? ? ， ? 2分
11、 ? ? ? ?s in 0 , c o s 0? ? ? ? ? ? ? ? 3分 所以 ? ? ? ? ? ? ?22sin 1ta nc o s 3sin c o s 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 得 ? ? 10sin 10? ? ?， ? ? 3 10cos 10?. ? 8 分 （）因为 ? 为锐角，所以 4cos 5? . ? 9分 ? ? ? ? ? ?s i n s i n s i n c o s c o s s i n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10分 3 3 1 0 4 1 0 1 3 1 05 1 0 5 1 0
12、 5 0? ? ? ? ?. ? 12分 7 18.解： 解： （） ? ? 1 3 3 1s i n 2 c o s 2 c o s 2 s i n 2 s i n 22 2 2 2f x x x x x x? ? ? ? ? ? ? 313 c o s 2 s i n 2 2 c o s 2 s i n 222f x x x x x? ? ? ?2 c o s 2 c o s s in 2 s in 2 c o s 26 6 6x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 分 所以 函数 ?fx的最小正周期为 ? ， ? 4 分 令 2,6x k k Z?
13、? ? ?,得 函数 ?fx的对称轴方程为 ,12 2kx k Z? ? ? ?. ? 6 分 （）将函数 ? ?y f x? 的图象向左平移 12? 个单位后所得图象的解析式为2 c o s 2 2 c o s 21 2 6 3y x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以 ? ? 12 c o s 2 2 c o s2 3 3g x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, ? 9 分 令 223k x k? ? ? ? ? ?，所以 22233k x k? ? ? ? ?,kZ? 又 ? ?0,x ? ，所以 ? ?y g x? 在
14、 ? ?0,? 上的的单调递减区间为 20,3?. ? 12 分 19.解： ? ? ? ?22 2 2 1xxf x a? ? ? ?, （）当 1a? 时， ? ? 0fx? ，即 ? ?22 2 2 1 0xx? ? ? ?， 所以 ? ? ?2 1 2 2 2 0xx? ? ? ?，又 20x? ，所以 21x? ，即 0x? . ? 4 分 所以原不等式解集为 ? ?0xx? . ? 5 分 （） ? ? ? ?22 2 2 1 0xxf x a? ? ? ? ?,即 ? ?22 2 2 1xxa? ? ?， 所以 ? ? 222 1 1 12222xxxxa? ? ? ? ? ?
15、? ? ? ? ? ? ? ?， ? 7 分 设 11 122xtt? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ? 22 1124g t t t t? ? ? ? ?， ? 9 分 8 当 1 12 t? 时 ? ? 2g t t t?是增函数，所以 ? ?3 24 gt?， 所以 3 224 a?，即 3 18 a?. a 的取值范围为 3 18aa?. ? 12分 20.解： （） 因为 23DACS? ? ， 所以 1 s in 2 32 A D A C D A C? ? ? ?,所以 1sin 2DAC?. 又因为 20 33D A C B A C ? ? ? ? ? ? ?
16、,所以 6DAC ?. ? 3 分 在 ADC? 中，由余弦定理得 2 2 2 2 c o sD C A D A C A D A C D A C? ? ? ? ? ?, 所以 2 34 4 8 2 2 4 3 2 82DC ? ? ? ? ? ? ?， 所以 27DC? . ? 6 分 （）法一： 因为 AB AD? ， 3B ? ，所以 ABD? 是正三角形 . ? 7 分 在 ADC? 中，根据正弦定理得 432sin sin sin3 3A D D CC C? ? ?, 所以 8sinAD C? , 8 si n3DC C?, ? 8 分 所以 ADC? 的周长为 8 s in 8 s
17、in 4 33A D D C A C C C? ? ? ? ? ?318 s in c o s s in 4 322C C C? ? ? ?138 s in c o s 4 322CC? ? ?8 si n 43C? ? ?, ? 10分 因为 23ADC ?， 所以 23 3 3C? ? ? ? ? , 所以当 32C ? 即 6C ? 时， ADC? 的周长最大，最大为 8 4 3? . ? 129 分 法二： 因为 AB AD? ， 3B ? ，所以 ABD? 是正三角形 . ? 7分 所以在 在 ADC? 中，设 AD m? ， DCn? ， 0, 0mn?, 由余弦定理得 2 2 2 2 c o sA C A D
