1、 1 普宁侨中 2017届高三级第一学期 学业检测 试卷文科数学 注意事项： 1、答题前，考生务必将自己的考号、班别、姓名写在答卷密封线内。 2、答案填写在答卷上，必须在指定区域内、用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，不能超出指定区域或在非指定区域作答，否则答案无效。 第卷 一、 选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . （ 1）设复数 z 满足 ? ?12zi?， i 为虚数单位，则复数 z 的虚部是 （ A） 1 （ B） i （ C） 1? （ D） i? （ 2） 已知 UR? ，函数 )1ln( xy ? 的定义域为 M ， 0| 2
2、 ? xxxN ，则下列结论正确的是 （ A） M N M? （ B） ()UM C N U? （ C） ()UM C N ? （ D） NCM U? （ 3） 已知 ,xy满足约束条件302 6 01 02xyyxyx? ? ? ? ? ? ? ?，则 z x y? 的最小值为 （ A） 1 （ B） -1 （ C） 3 （ D） -3 （ 4）下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是 （ A） ( ) 2xfx? （ B） ( ) sinf x x x? （ C） 1()fxx= （ D） xxxf ?)( （ 5）执行如图所示的程序框图，如果输入的 ? ?2,2t? ， 则输出的 S
3、 属于 （ A） （ B） （ C） （ D） （ 6）下列说法中 不正确 的个数是 “ 1x? ”是“ 2 3 2 0xx? ? ? ”的必要不充分条件； 命题“ ,cos 1x R x? ? ?”的否定是“ 00, cos 1x R x? ? ?”； 2 2 2 2 2 2 正视图 俯视图 侧视图 若一个命题的逆 命题为真，则它的 否命题一定为真 （ A） 3 （ B） 2 （ C） 1 （ D） 0 （ 7）下边茎叶图记录了甲、乙两组各 6名学生在一次数学测试中的成绩（单位：分）已知 甲组数据的众数为 124，乙组数据的平均数为 甲组数据的中位数，则 ,xy的值分别为 （ A） 4， 5
4、 （ B） 5， 4 （ C） 4， 4 （ D） 5， 5 （ 8）已知 ? ? 2 s in 26f x x ?，若将它的图象向右平移 6? 个单位，得到函数 ?gx的图象，则函数 ?gx图象的一条对称轴的方程为 （ A） 12x ? （ B） 4x ? （ C） 3x ? （ D） 2x ? （ 9）已知 AB AC? ， 1AB t? ， AC t? ，若 P 点是 ABC? 所在平面内一点，且 AB ACAPAB AC?，当 t 变化时， PBPC? 的最大值等于 （ A） -2 （ B） 0 （ C） 2 （ D） 4 （ 10）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 （ A）
5、 83 （ B） 43 （ C） 823 （ D） 423 （ 11） 设等差数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，且满足 17 180, 0SS?，则15152211 , aSaSaS ? 中最大的项为 （ A） 77Sa （ B） 88Sa （ C） 99Sa （ D） 1010Sa （ 12）已知函数 3 若对任意的 ? ?1 0,4x? ，总存在 ? ?2 0,4x ? ，使得 ? ? ? ?12f x g x? ，则实数 a 的取值范围为 （ A） 91,4? ?（ B） ? ?9,? （ C） ? ?91, 9,4? ? ?（ D） ? ?39, 9,24? ?第卷（非选择题 共
6、 90 分） 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 . 13.已知 2 2 3c o s , ,2 3 2 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，则 tan? . 14.已知向量 ,ab的夹角为 45 ，且 1, 2 10a a b? ? ?，则 b? . 15.设实数 ,xy满足 2 2,2 0,2,yxxyx? ? ?则 13yx? 的取值范围是 . 16. “中国剩余定理”又称“孙子定理” .1852 年英国来华传教伟烈亚利将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲 .1874年，英国数学家马西森指出此法符合 1801年由高斯得出的关于同余式解法的一
7、般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理” . “中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将 2 至 2017这 2016 个数中能被 3 除余 1 且被 5除余 1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列 ?na ，则此数列的项数为 . 三、解答题：本大题共 6小题，共 70 分 .解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程 . 17.（本题满分 10 分）在锐角三角形 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，已知7 , 3 , 7 s i n s i n 2 3 .a b B A? ? ? ? （ 1）求角 A的大小； （ 2）求 ABC? 的面积 . 18.
8、（本题满分 12分）某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下： 4 甲运动员得分： 13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39； 乙运动员得分： 49,24,12， 31,50,31,44,36,15,37,25,36,39. （ 1）用十位数为茎，在答题卡中画出原始数据的茎叶图； （ 2）用分层抽样的方法在乙运动员得分十位数为 2,3,4 的比赛中抽取一个容量为 5 的样本，从该样本中随机抽取 2场，求其中恰有 1场得分大于 40 分的概率 . 19.（本题满分 12 分）已知数列 ?na 的各项均为正数，观察程序框图，若5, 10kk?时，分别有 5 10,
9、.11 21SS? （ 1）试求数列 ?na 的通项公式； （ 2）令 3nnnba?，求数列 ?nb 的前 n 项和 nT . 20. （ 本 题 满 分 12 分 ） 如 图 ， 在 直 角 梯 形 ABCD 中，90ADC BAD? ? ? ?, 1, 2,AB AD CD? ? ?平面 SAD? 平面 ABCD ,平面 SDC? 平面 ABCD , 3SD? ,在线段 SA 上取一点 E（不含端点）使EC=AC,截面 CDE交 SB 于点 F. （ 1）求证： EF/CD; （ 2）求三棱锥 S-DEF的体积 . 5 21.（本题满分 12分）已知函数 ? ? ? ?2 1 , 1 .
10、f x x g x a x? ? ? ? （ 1）若关于 x的方程 ? ? ? ?f x g x? 只有一个实数解，求实数 a的取值范围； （ 2）若当 xR? 时，不等式 ? ? ? ?f x g x? 恒成立，求实数 a的取值范围 . 22.（本题满分 12分）已知 aR? ，函数 ? ? ln 1.f x x ax? ? ? （ 1）讨论函数 ?fx的单调性； （ 2）若函数 ?fx有两个不同的零点 ? ?1 2 1 2,x x x x? ，求实数 a的取值范围； （ 3）在（ 2）的条件下，求证： 122.xx? 6 学业检测 试卷文科数学参考答 案 一、选择题 题号 1 2 3 4
11、5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B A D D B A C B A C C 二、 13. 14. 15. 16. 134 17.解：（）锐角 ABC 中，由条件利用正弦定理可得 = ， sinB=3sinA， 再根据 sinB+sinA=2 ，求得 sinA= ，角 A= ?（ 5分） （） 锐角 ABC 中，由条件利用余弦定理可得 a2=7=c2+9 6c?cos ，解得 c=1 或 c=2 当 c=1 时， cosB= = 0，故 B 为钝角，这与已知 ABC 为锐角三角形相矛盾，故不满足条件当 c=2时， ABC 的面积为 bc?sinA= ?3?2? = （ 10 分）
12、 18.解：（）由题意得茎叶图如图：?（ 5分） （ ）用分层抽样的方法在乙运动员得分十位数为 2、 3、 4 的比赛中抽取一个容量为 5 的样本， 则得分十位数为 2、 3、别应该抽取 1， 3， 1场， 所抽取的赛场记为 A， B1， B2， B3， C， 从中随机抽取 2场的基本事件有： （ A， B1），（ A， B2），（ A， B3），（ A， C）， （ B1， B2），（ B1， B3），（ B1， C），（ B2， B3）， （ B2， C），（ B3， C）共 10个， 记“其中恰有 1场的得分大于 4”为事件 A， 则事件 A 中包含的基本事件有： （ A， C），（ B
13、1， C），（ B2， C），（ B3， C）共 4个， ?（ 12 分） 答：其中恰有 1场的得分大于 4的概率为 7 19.解： 解得： 或 （舍去），则 .6 分 （ 2） 则 .12分 20. 证明：（ 1） CD/AB CD/平面 SAB 又 平面 CDEF平面 SAB=EF CD/EF?（ 6分） （ 2） CD AD，平面 SAD 平面 ABCD CD 平面 SAD CD SD，同理 AD SD 由（ 1）知 EF/CD EF 平面 SAD EC=AC， ， ED=AD 在 中 AD=1， SD= 又 ED=AD=1 E为 SA 中点， 的面积为 三棱锥 S-DEF的体积 ?（
14、12分） 21.解：（）方程 |f（ x） |=g（ x），即 |x2 1|=a|x 1|，变形得 |x 1|（ |x+1| a） =0， 显然， x=1已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解，即要求方程 |x+1|=a有且仅有一个等于 1的解或无解， a 0? 6分 （） 当 x R时，不等 式 f（ x） g（ x）恒成立，即（ x2 1） a|x 1|（ *）对 x R恒成立， 当 x=1时，（ *）显然成立，此时 a R； 8 当 x 1时 ，（ *）可变形为 a ，令（ x） = = 因为当 x 1时，（ x） 2，当 x 1时，（ x） 2，所以（ x） 2，故此时 a 2 综合，
15、得所求实数 a的取值范围是 a 2? 12分 22.解： （） f（ x）的定义域为（ 0， +），其导数 f（ x） = a 当 a 0时， f（ x） 0，函数在（ 0， +）上是增函数； 当 a 0时，在区间（ 0， ）上， f（ x） 0；在区 间（ ， +）上， f（ x） 0 f（ x）在（ 0， ）是增函数，在（ ， +）是减函数 ? 4分 （）由（）知，当 a 0时，函数 f（ x）在（ 0， +）上是增函数，不可能有两个零点， 当 a 0 时， f（ x）在（ 0， ） 上是增函数，在（ ， + ）上是减函数，此时 f（ ）为函数 f（ x）的最大值， 当 f（ ） 0时，
16、f（ x）最多有一个零点， f（ ） =ln 0，解得 0 a 1， 此时， ，且 f（ ） = 1 +1= 0， f（ ） =2 2lna +1=3 2lna （ 0 a 1）， 令 F（ a） =3 2lna ，则 F（ x） = = 0， F（ a）在（ 0， 1）上单调递增， F（ a） F（ 1） =3 e2 0，即 f（ ） 0， a的取值范围是（ 0， 1）? ? 8分 （）由（）可知函数 f（ x）在（ 0， ）是增函数，在（ ， +）是减函数分析： 0 ， 只要证明： f（ ） 0就可以得出结论 下面给出证明：构造函数： g（ x） =f（ x） f（ x） =ln（ x） a（ x）（ lnx ax）（ 0 x ），则 g（ x） = +2a= ， 9 函数 g（ x）在区间（ 0，
