1、 - 1 - 广西南宁市 2018 届高三数学上学期毕业班摸底考试试题 文 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 ? ?23A x x x? ? ? ?， ? ?14B x x? ? ? ?，则 AB?I （ ） A ? ?13xx? ? ? B ? ?02xx? C ? ?0,1,2 D ? ?0,1,2,3 2设 i 是虚数单位，如果复数 i2ia? 的实部与虚部是互为相反数，那么实数 a 的值为（ ） A 13 B 13? C 3 D 3? 3若 ? ?2,1a?r ，
2、 ? ?1,1b?r ， ? ? ? ?2a b a mb?r r r r，则 m? （ ） A 12? B 12 C 2 D 2? 4若 1sin 3? ，则 ? ?cos 2?（ ） A 429? B 429 C 79? D 79 5设 123a? ， 3.214b ?， 0.7log 3c? ，则 ,abc的大小关系为（ ） A c a b? B c b a? C bac? D abc? 6在 ? ?4,3? 上随机取一 个实数 m ，能使函数 ? ? 2 22f x x mx? ? ?在 R 上有零点的概率为（ ） A 27 B 37 C 47 D 57 7下列有关命题的说法正确的是（
3、 ） A命题“若 2 4x? ，则 2x? ”的否命题为“若 2 4x? ，则 2x? ” B命题“ x?R ， 2 2 1 0xx? ? ? ”的否定是“ x?R ， 2 2 1 0xx? ? ? ” C命题“若 xy? ，则 sin sinxy? ”的逆否命题为假命题 D若“ p 或 q ”为真命题，则 ,pq至少有一个真命题 8直线 3y kx?被圆 ? ? ? ?222 3 4xy? ? ? ?截得的弦长为 23，则直 线的斜率为（ ） - 2 - A 3 B 3? C 33 D 33? 9若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正（主）视图和侧（左）视
4、图如下图所示，则此几何体的体积是（ ） A 2? B 43? C ? D 2? 10执行如图的程序框图，输出的 S 值为（ ） A 6 B 5 C 4 D 3 11给出定义：设 ?fx? 是函数 ? ?y f x? 的导函数， ?fx? 是函数 ?fx? 的导函数，若方程? ? 0fx? ? 有实数解 0x ，则称点 ? ? ?00,x f x 为函数 ? ?y f x? 的“拐点” .已知函数? ? 3 4 sin co sf x x x x? ? ?的拐点是 ? ? ?00,M x f x ， 则点 M （ ） A在直线 3yx? 上 B在直线 3yx? 上 C在直线 4yx? 上 D在直
5、线 4yx? 上 12已知椭圆 221xyab?（ 0ab? ）的左、右焦点分别为 12,FF，过 1F 且与 x 轴垂直的直- 3 - 线交椭圆于 ,AB两点，直线 2AF 与椭圆的另一个交点为 C .若 222AF FC?uuur uuur ，则椭圆的离心率为（ ） A 55 B 33 C 105 D 3310 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13若 ,xy满足 010xyxyy?，则 2z x y? 的最小值为 14函数 3 sin cosy x x?的图象可以有函数 2sinyx? 的图象至少向左平移 个单位得到 15在 ABC?
6、 中，三个内角 ,ABC 的对边分别为 ,abc，已知 3A ? ， 4c? ， ABC? 的面积为 23，则 a? 16正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的体积为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17设数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，已知 1 1a? ， 1 31nnaS? ?， *n?N . （ ）求 23,aa的值； （ ）求数列 ?na 的通项公式 . 18某购物中心为了了解顾客使用新推出的某购物卡的顾客的年龄分布情况，随机调查了 100位到购物中心购物的顾客年龄，并整理后画出频率分布
7、直方图如图所示 .年龄落在区间? ?55,65 ， ? ?65,75 ， ? ?75,85 内的频率之比为 4:2:1 . （）求顾客年龄值落在区间 ? ?75,85 内的频率； （）拟利用分层抽样从年龄在 ? ?55,65 ， ? ?65,75 的顾客中选取 6 人召开一个座谈会 .现从这 6 人中选出 2 人，求这两人在不同年龄组的概率 . - 4 - 19如图，已知四棱锥 P ABCD? 中，底面 ABCD 为菱形，且 60DAB? ? ? ， PAB? 是边长为 a 的正三角形，且平面 PAB? 平面 ABCD ，已知点 M 是 PD 的中点 . （）证明： PB 平面 AMC ； （
8、）求三棱锥 P AMC? 的体积 . 20已知点 C 的坐标为 ? ?1,0 ， ,AB是抛物线 2yx? 上不同于原点 O 的相异的两个动点，且0OA OB?uur uuur . （）求证：点 ,ACB 共线； （）若 ? ?AQ QB?Ruuur uuur ，当 0OQ AB?uuur uuur 时，求动点 Q 的轨迹方程 . 21已知函数 ? ? 2lnf x x x x? ? ?. （）求函数 ?fx的单调区间； （）证明当 2a? 时，关于 x 的不等式 ? ? 2112af x x ax? ? ? ?恒成立； （ ）若正实数 12,xx满足 ? ? ? ? ? ?221 2 1 2
9、 1 220f x f x x x x x? ? ? ? ?，证明12 512xx ?. 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22选修 4-4：坐标系与参数方程 - 5 - 在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 3 cos ,2 sin ,xtyt ? ?（ t 是参数），以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 2 4 2 sin 44? ? ? ? ?. （）求曲线 2C 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线； （）若曲线 1C 与曲线 2C 交于 ,AB两点，求 AB 的最大值和最小值 . 23
10、选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ? ? 2f x x x a? ? ? ?. （）若 1a? ，解不等式 ? ? 22f x x?； （）若 ? ? 2fx? 恒成立，求实数 a 的取值范围 . 2017 届高三毕业班摸底联考文科数学参考答案 一、选择题 1-5:ACACB 6-10:BDDCD 11、 12： BA 二、填空题 13 12? 14 6? 15 23 16 24316? 三、解答题 17解：（ ）由题意， 1 1a? ， 1 31nnaS? ?， 所以 213 1 4aa? ? ? . ? ?3 1 231a a a? ? ? ? ?3 1 4 1 16? ? ? . （
11、）由 1 31nnaS? ?，则当 2n? 时， 131nnaS?. 两式相减，得 ? ?1 42nna a n? ?. 又因为 1 1a? ， 2 4a? ， 21 4aa? ， 所以数列 ?na 是以首项为 1，公比为 4 的等比数列， - 6 - 所以数列 ?na 的通项公式是 ? ?1*4nnan?N. 18解：（ ）设区间 ? ?75,85 内的频率为 x ， 则区间 ? ?55,65 ， ? ?65,75 内的频率分别为 4x 和 2x . 依题意得 ? ?0 .0 0 4 0 .0 1 2 0 .0 1 9 0 .0 3?10 4 2 1x x x? ? ? ? ?. 解得 0.
12、05x? . 所以区间 ? ?75,85 内的频率为 0.05. （ ）根据 题意，需从年龄在 ? ?55,65 ， ? ?65,75 中分别抽取 4 人和 2 人， 设在 ? ?55,65 的 4 人分别为 , , ,abcd ，在 ? ?65,75 的 2 人分别为 ,mn， 则所抽取的结果共有 15 种： ? ?,ab ， ? ?,ac ， ? ?,ad ， ? ?,am ， ? ?,an ， ? ?,bc ， ? ?,bd ， ? ?,bm ， ? ?,bn ， ? ?,cd ， ? ?,cm ，? ?,cn ， ? ?,dm ， ? ?,dn ， ? ?,mn 设“这两人在不同年龄组
13、”为事件 A ，事件 A 所包含的基本事件有 8 种： ? ?,am ， ? ?,an ， ? ?,bm ， ? ?,bn ,， ? ?,cm ， ? ?,cn ? ?,dm ， ? ?,dn . 则 ? ? 815PA? . 这两人在不同年龄组的概率为 815 . 19证明：（ ）连结 BD 交 AC 于 O ，连结 OM ， 因为 ABCD 为菱形， OB OD? ，所以 OM PB ， 由直线 PB 不在平面 AMC 内， OM? 平面 AMC ， 所以 PB 平面 ACM . 解：（ ）取 AB 的中点 N ，连接 PN ，则 PN AB? ，且 32PN a? . 因为平面 PAB?
14、 平面 ABCD ，所以 PN? 平面 ABCD . 所以 231 1 3 3 13 2 2 2 8P A C DV a a a? ? ? ? ? ?， 又 M 是 PD 中点，所以 231 1 3 3 13 2 2 4 1 6M A C DV a a a? ? ? ? ? ?. - 7 - 所以 P A C M P A C D M A C DV V V? ? ? ? ?3 3 31 1 18 16 16a a a?. 20解：（ ）设 ? ?211,At t ， ? ?222,Bt t ，（ 12tt? ， 1 0t? ， 2 0t? ）， 则 ? ?211,OA t t?uur ， ? ?
15、222,OB t t?uuur ， 因为 0OA OB?uur uuur ，所以 221 2 1 2 0t t tt?. 又 1 0t? ， 2 0t? ，所以 12 1tt? . 因为 ? ?2111,AC t t? ? ?uuur ， ? ?2221,BC t t? ? ?uuur . 且 ? ? ? ?222 1 1 211t t t t? ? ? ? ? 222 1 2 1 1 2t t t t t t? ? ? ? ? ?2 1 1 210t t t t? ? ?， 所以 AC BCuuur uuur . 又 AC ， CB 都过点 C ，所以三点 ,ABC 共线 . （ ）由题意知
16、，点 Q 是直角三角形 AOB 斜边上的垂足， 又定点 C 在直线 AB 上， 90OQB? ? ? . 所以设动点 ? ?,Qxy ，则 ? ?,OQ x y?uuur ， ? ?1,CQ x y?uuur . 又 0OQ CQ?uuur uuur ， 所以 ? ? 210x x y? ? ?，即 ? ?2 211 024x y x? ? ? ?. 动点 Q 的轨迹方程为 ? ?2 211 024x y x? ? ? ?. 21解：（ ） ? ? 1 21f x xx? ? ? ? ? ? ?221 0xx xx? ? ? ?， 由 ? ? 0fx? ? ，得 22 1 0xx? ? ? ，
17、 又 0x? ，所以 1x? . 所以 ?fx的单调减区间为 ? ?1,? ，函数 ?fx的增区间是 ? ?0,1 . （ ）令 ? ? ? ? 2112ag x f x x a x? ? ? ? ? ?21ln 1 12x ax a x? ? ? ?， - 8 - 所以 ? ? ? ?1 1g x ax ax? ? ? ? ? ? ?2 11ax a xx? ? ? ?. 因为 2a? ， 所以 ? ? ? ?1 1a x xagx x? ? . 令 ? ? 0gx? ? ，得 1x a? . 所以当 10,xa?， ? ? 0gx? ? ； 当 1,xa? ?时， ? ? 0gx? ? . 因此函数 ?gx在 10,xa?是增函数，在 10,xa? ?是减函数 . 故 函数 ?gx的最大值为 21 1 1 1ln2gaa a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 111 1 ln2aaaa? ? ? ?. 令 ? ? 1 ln2h a aa?，因为 ? ? 12 ln 2 04h ? ? ?， 又因为 ?ha在 ? ?0,a? ? 是减函数 . 所以当 2a? 时， ? ? 0ha? ， 即对于任意正数 x 总有 ? ? 0gx? . 所以关于 x 的不等式 ? ? 2112af x x ax? ? ? ?恒成立 . （ ）
