1、 - 1 - 2017-2018 学年第一学期高三第 3 次月考数学试卷 一、单选题 1 已知函数 f(x)=sin(cosx)-x 与函数 g(x)=cos(sinx)-x 在区间 (0， 2 )都为减函数，设x1,x2,x3 (0， 2 )，且 cosx1=x1， sin(cosx2)=x2， cos(sinx3)=x3，则 x1,x2,x3的大小关系是（ ） A. x10）的直线 l 与椭圆 C相交于 E， F两点，点 B关于原点的对称点为D，若点 D总在以线段 EF为直径的圆内，求 m的取值范围 . 19 已知函数 ? ? ln 1af x x x? ? ?. （ I）若曲线 ? ?y
2、 f x? 存在斜率为 -1的切线，求实数 a的取值范围； （ II）求 ?fx的单调区间； （ III）设函数 ? ? lnxagx x? ，求证：当 10a? ? ? 时， ?gx在 ? ?1,? 上存在极小值 . 参考答案 CACCC BDCDC - 5 - 11 A 12 C 13 11,2? ?14 2,2) 15 2 ? ? 10,4e?16 ? ?,2e? 17 (1)三阶： 12? ， 0 ， 12 四阶： 38? ， 18? ， 18 ， 38 (2) 11 0 0 8 1 0 0 9 1 0 0 8n na ? ? ?； (3)证明见解析 . （ 1）三阶： 12? ， 0
3、 ， 12 四阶： 38? ， 18? ， 18 ， 38 （ 2 ）设等差数列 1a ， 2a ， 3a ， ， ? ?21 1kak? ? 公差为 d ， 1 2 3 2 1 0ka a a a ? ? ? ? ?， ? ? ? ?1 2 2 12 1 02k k dka ? ? ?， 1 0a kd?，即 1 0ka? ? ， 2kad? ? 且 0d? 时与矛盾， 0d? 时，由得： 2 3 2 1 12k k ka a a? ? ? ? ? ?， ? ?1 122kkkd d?，即 ? ?11d kk? ?， 由 1 0ka? ? 得 ? ?1 01ka kk?，即1 11a k?，
4、 ? ? ? ? ? ? ? ?*1 1 11 , 2 11 1 1n na n n N n kk k k k k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 令 2 1 2 0 1 7 1 0 0 8kk? ? ? ?， 11 0 0 8 1 0 0 9 1 0 0 8n na ?， - 6 - 0d? 时，同理得 ? ?1 122kkkd d? ? ?， 即 ? ?11d kk? ?， 由 1 0ka? ? 得 ? ?1 1 01ak kk? ? ?即1 11a k? ?， ? ? ? ? ? ? ? ?*1 1 11 , 2 11 1 1n na n n N n kk k k k k
5、 k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 1008k? 时， 11 0 0 8 1 0 0 9 1 0 0 8n na ? ? ? （ 3 ）当 kn? 时，显然 10 2nS ?成立； 当 kn? 时，根据条件得 12kkS a a a? ? ? ?， ? ?12k k na a a? ? ? ? ?， 即 12kkS a a a? ? ? ?， 12k k na a a? ? ? ?， 1 2 1 22 k k k k nS a a a a a a? ? ? ? ? ? ? ?， 12kS ? 18 ( ) 2 2 12x y?； ( ) 30 3m? . （ I）解：由题意，得：
6、 4 4 2, ,abc?又因为 2 2 2a b c? 解得 2 , 1, 1a b c? ? ?，所以椭圆 C的方程为 2 2 12x y?. （ II）当直线 l 的斜率不存在时，由题意知 l 的方程为 x=0， 此时 E， F为椭圆的上下顶点，且 2EF? ， 因为点 ? ?0Dm?， 总在以线段 EF 为直径的圆内，且 0m? ， 所以 01m?，故点 B 在椭圆内 . - 7 - 当直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 y kx m?. 由方程组 22, 1,2y kx mx y?得 ? ?2 2 22 1 4 2 2 0k x k m x m? ? ? ? ?， 因为点 B在
7、椭圆内， 所以直线 l 与椭圆 C有两个公共点，即 ? ? ? ? ? ?2 224 4 2 1 2 2 0k m k m? ? ? ? ? ?. 设 ? ? ? ?1 1 2 2, , ,E x y F x y，则 21 2 1 2224 2 2,2 1 2 1k m mx x x xkk? ? ?. 设 EF的中点 ? ?00,Gx y ，则 120 0 0222 ,2 2 1 2 1xx k m mx y k x mkk? ? ? ? ? ?， 所以222 ,2 1 2 1km mG kk?. 所以22 422 2 22 4 1 2 42 1 2 1 2 1k m m m k kD G
8、mk k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ? 222221 2 1 2 2211 4 2 2 1 21kmE F k x x x x k k ? ? ? ? ? ? ?， 因为点 D总在以线段 EF为直径的圆内，所以 2EFDG? 对于 kR? 恒成立 . 所以 4 2 2 22224 1 2 4 2 1212 1 2 1m k k k mkkk? ? ? ?. 化简，得 2 4 2 2 2 4 22 7 3 2 3 1m k m k m k k? ? ? ? ?，整理，得 222 13km k ? ?， 而 ? ? 2221 2 2 1113 3
9、3 3kgk kk? ? ? ? ? ?（当且仅当 k=0时等号成立）所以 2 13m? ， 由 m0，得 30 3m? .综上， m的取值范围是 30 3m? . 19 ( ) ? ?,0? .( )答案见解析； ( )证明见解析 . （ I）由 ? ? ln 1af x x x? ? ?得 ? ?221 ( 0 )a x af x xx x x? ? ? ?. 由已知曲线 ? ?y f x? 存在斜率为 -1的切线，所以 ? ?1fx? 存在大于零的实数根， - 8 - 即 2 0x x a? ? ? 存在大于零的实数根，因为 2y x x a? ? ? 在 0x? 时单调递增， 所以实数
10、 a的取值范围 ? ?,0? . （ II）由 ? ?2 , 0 ,xaf x x a Rx? ? ?可得 当 0a? 时， ? ?0fx? ，所以函数 ?fx的增区间为 ? ?0,? ； 当 0a? 时，若 ? ?,xa? ? ? ， ? ?0fx? ，若 ? ?0,xa?， ? ?0fx? ， 所以此时函数 ?fx的增区间为 ? ?,a? ? ，减区间为 ? ?0,a? . （ III）由 ? ? lnxagx x? 及题设得 ? ? ? ? ? ? ?22ln 1ln lnax fxxgxxx?， 由 10a? ? ? 可得 01a? ? ，由（ II）可知函数 ?fx在 ? ?,a? ? 上递增， 所以 ? ?1 1 0fa? ? ? ?，取 xe? ，显然 1e? ， ? ? ln 1 0aaf e e ee? ? ? ? ? ?，所以存在 ? ?0 1,xe? 满足 ? ?0 0fx? ，即存在 ? ?0 1,xe? 满足? ?00gx? ，所以 ?gx， ?gx在区间（ 1， +）上的情况如下： x 0(1,x） 0x 0(+x ?， ） ?gx 0 + ?gx 极小 所以当 -1a0时， g（ x）在（ 1， +）上存在极小值 .
