1、教 师 课 时 授 课 计 划 教师姓名 课程名称 应用数学 授课时数 2 累计课时 授课日期星期节次授课班级课题M7-4 二阶常系数线性微分方程解的结构知识目标使学生对二阶常系数线性微分方程解的结构有明确的了解技能目标使学生对二阶常系数线性微分方程解的结构有明确的了解态度目标培养学生分析，解决问题的能力教学重点二阶常系数线性微分方程解的结构教学难点二阶常系数线性微分方程解的结构教学资源三角板参考书高等数学同济四版作 业教 学 过 程 设 计教学环节教学内容教学方法时间课程引入三种不同类型的可降阶的高阶微分方程的求解方法提问5知识讲解1、二阶线性微分方程的基本概念2、二阶线性齐次微分方程的解的
2、结构3、二阶线性非齐次微分方程的解的结构启发式60课堂实战确定二阶常系数线性微分方程解的结构20课后点评二阶常系数线性微分方程解的结构5课后小记一、课程引入提问：三种不同类型的可降阶的高阶微分方程的求解方法二、新课讲解1、二阶线性微分方程的基本概念定义7 形如 （7-11）的方程叫做二阶线性微分方程其中P(x)、 q(x)、f (x)都是已知连续函数叫做微分方程（7-11）式的自由项若，则方程 （7-12）叫做与微分方程（7-11）式对应的二阶线性齐次微分方程若，则微分方程（7-11）式叫做二阶线性非齐次微分方程若是常数，则微分方程（7-11）式和（7-12）式分别叫做二阶常系数线性非齐次（或
3、齐次）微分方程2、二阶线性齐次微分方程的解的结构定义8 设是定义在区间I上的两个函数，若它们的比常数，则称与在区间I上是线性相关的若常数，则称与在区间上是线性无关的例如，因为，所以与在任何区间上线性相关，因为常数，在时，与线性无关定理1 如果是二阶线性齐次微分方程（7-12）式的解，那末也是该方程的解常叫做与的叠加，故定理1又叫做线性齐次微分方程解的叠加原理若、是微分方程（7-12）式两个线性相关的解，即（常数），则，于是=C1k+C2=(C1k+C2)=C，这时两个任意常数C1、C2就合并为一个常数C，故就不是微分方程（7-12）式的通解若、是微分方程（7-12）式两个线性无关的解，则中的两
4、个任意常数就不能合并，故把叫做微分方程（7-12）式的通解，于是，我们有如下定理：定理2 如果、是二阶线性齐次微分方程（7-12）式的两个线性无关的解，那末y=是该微分方程的通解3、二阶线性非齐次微分方程的解的结构 定理3 如果是微分方程 (7-13)的解，是微分方程 7-14)的解，则+是微分方程 (7-15)的解证 用+代入微分方程（7-15）式的左边，并利用（7-13）式和（7-14）式，则有 = =,这就证明了+是微分方程（7-15）式的解定理3也叫叠加原理，显然与定理1的叠加原理是不相同的定理4 如果是二阶线性非齐次微分方程 (7-16)的一个特解，是对应的二阶线性齐次微分方程 (7
5、-17)的两个线性无关的解，则二阶线性非齐次微分方程（7-16）式的通解为 , (7-18)其中C1,C2是任意常数 定理4完全可以在定理3的基础上进行证明,事实上，在（7-13）式中令,在（7-14）式中令=0，于是（7-15）式变成了（7-16）式，用取代（7-13）式中的，用取代（7-14）式中的解，而又线性无关，所以由定理3知，是二阶线性非齐次微分方程（7-16）式的解，且是通解定理4指出，一个二阶线性非齐次方程的通解等于其对应的二阶线性齐次微分方程的通解和其本身的一个特解之和例1 验证，都是二阶线性齐次微分方程的解，并写出该方程的通解解 由得，代入方程左边，得,故是方程的解由得,，代入方程左边，得,故是方程的解而常数，因此，,线性无关，于是方程的通解为 三、课堂实战1验证及都是的解，并写出该方程的通解 2证明是任意常数）是方程的通解4
