1、 1 20172018 学年高三（上）第二次月考 数学试卷（理科） 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知集合 2( , ) | 3 M x y y x?， ( , ) | 5 N x y y x?，则 MN中的元素的个数为（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 2.已知 ,ab R? ， i 为虚数单位， (2 )(1 3 ) 7a i i bi? ? ? ? ?，则 ab?（ ） A 9 B -9 C 24 D -34 3.设向量 (3,2)a? ， (6,10)b?
2、 ， ( , 2)cx?.若 (2 )ab? c? ，则 x? （ ） A -2 B -3 C 76 D 73 4.已知直线 l? 平面 ? ，直线 /m 平面 ? ，则下列命题正确的是（ ） A若 ? ，则 /lm B若 lm? ，则 /? C.若 /l ? ，则 m? D若 /?，则 lm? 5.已知 332pq?，求证 2pq? ，用反证法证明时，可假设 2pq? ；设 a 为实数， 2()f x x ax a? ? ?，求证 | (1)|f 与 | (2)|f 中至少有一个不小于 12 ，用反证法证明时可假设 1| (1)| 2f ? ，且 1| (2)| 2f ? ，以下说法正确的是
3、（ ） A与的假设都错误 B与的假设都正确 C. 的假设正确，的假设错误 D的假设错误，的假设正确 6.用数学归纳法证明“ 6331 2 3 2nnn ? ? ? ? ?， nN? ”，则当 1nk?时，应当在nk? 时对应的等式的两边加上（ ） A 3 3 3( 1) ( 2 ) ( 1)k k k? ? ? ? ? ? B 3 1k C. 3( 1)k? 2 D 63( |1) ( 1)2kk? 7.已知 21 3 2 5 2? ? ? ? ? ? 1( 2 1) 2 2 ( )nnn n a b c? ? ? ? ?对一切 *nN? 都成立，则,abc的值为（ ） A 3a? ， 2b?
4、 ， 2c? B 3a? ， 2b? ， 2c? C. 2a? ， 3b? ， 3c? D 2a? ， 3b? ， 3c? 8.如图，在四棱锥 P ABCD? 中， PO? 平面 ABCD ， E 为线段 AP 的中点，底面 ABCD为菱形，若 2BD a? ， 4PC a? ，则异面直线 DE 与 PC 所成角的正弦值为（ ） A 255 B 55 C. 32 D 12 9.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 283 B 243 C. 8033 D 263 10.某次夏令营中途休息期间， 3 位同学根据胡老师的口音对她是哪个地方的人进行了判断： 甲说胡老师不是上海人
5、，是福州人； 乙说胡老师不是福州人，是南昌人； 丙说胡老师既不是福州人，也不是广州人 . 听完以上 3 人的判断后，胡老师笑着说，你们 3 人中有 1 人说的全对，有 1 人说对了一半，另一人说的全不对，由此可推 测胡老师（ ） A一定是南昌人 B一定是广州人 C.一定是福州人 D可能是上3 海人 11.已知 2() xf x e ax?. 命题 :p 对 1a?， ()y f x? 有三个零点， 命题 :q a R? ，使得 ( ) 0fx? 恒成立 . 则下列命题为真命题的是（ ） A pq? B ( ) ( )pq? ? ? C.()pq? D ()pq? 12.已知 ()fn表示正整数
6、 n 的所有因数中最大的奇数，例如： 12 的因数有 1,2,3,4,6,12，则 (12) 3f ? ； 21 的因数有 1,3,7,12，则 (21) 21f ? ，那么 10051 ()i fi?的值为（ ） A 2488 B 2495 C.2498 D 2500 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.已知单位向量 a ， b 满足 1(2 3 ) 2a a b? ? ?，则向量 a 与 b 的夹角为 14.在等差数列 na 中， 2 4a? ，且 31 a? ， 6a ， 104 a? 成等比数列，则公差 d? 15.已知 0m?
7、 ， 0n? ，若 2 1 2mn? ，则 3 27mn? 的最小值为 16.已知三棱柱 1 1 1ABC ABC? 内接于球 O ， 24AB AC?， 120BAC? ? ? ， 1AA? 平面 ABC ， 1 14AA? ，则球 O 的表面积是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 已知数列 ?na 的前 n 项和 2 2nS n kn? （其中 *k?N ），且 nS 的最小值为 -9. （ 1）确定常数 k ，并求 na ； （ 2）若 ? ? ?22 1 6n nb na? ?，求数列 ?nb 的前 n 项和 nT
8、. 18. 设函数 ? ? ? ?sinf x A x? ?0, 0,A ? ? ? ? ?的部分图象如图所示 . 4 （ 1）求函数 ?fx的解析式； （ 2）当 ,3x ? ?时，求 ?fx的取值范围 . 19. 在 ABC? 中，角 ,ABC 的对边分别为 ,abc，已知 4a? ， 23B ? ， sin 2sinb C B? . （ 1）求 b 的值； （ 2）求 ABC? 的面积 . 20. 如图，三 棱柱 1 1 1ABC ABC? 的所有棱长均为 2，底面 ABC? 侧面 11AABB ，11 60AAB? ? ? ， P 为 1CC 的中点， 11AB AB O?I . （
9、1）证明： 11AB AP? . （ 2）若 M 是 AC 棱上一点，满足 45MOP? ? ? ，求二面角 1M BB A?的余弦值 . 21. 在 ABC? 中， ? ?sin sin sinA B C B? ? ?， D 是边 BC 的一个三等分点（靠近点 B ），记 sinsin ABDt BAD? ? . （ 1）求 A 的大小； （ 2）当 t 取最大值时，求 tan ACD? 的值 . 22.已知函数 ? ? 2 2 lnax bf x xx?的图象在 1x? 处的切线过点 ? ?0,2 2a? ， ,ab?R . （ 1）若 85ab? ，求函数 ?fx的极值点； 5 （ 2）
10、设 ? ?1 2 1 2,x x x x ? 是函数 ?fx的两个极值点，若11 1e x?，证明： ? ? ? ?211f x f x?.（提示 2e 7.40? ） 20172018 学年高三（上）第二次月考 数学试卷参考答案（理科） 一、选择题 1-5:CADDC 6-10:ACBAD 11、 12： BD 二、填空题 13.60（或 3? ） 14.3 15.96 16.2500? 三、解答题 17.解：（ 1）因为 2 2nS n kn? ? ? ?2 22n k k k? ? ? ?， 所以 2 9k? ? ，解得 3k? ， 2 6nS n n?. 当 2n? 时， 1 27n
11、n na S S n? ? ? ?，显然当 1n? 时，也满足 . 所以 27nan?. （ 2）因为 ? ? ?22 1 6n nb na? ? ?2 1 12 1 2 1 2 1 2 1n n n n? ? ? ?， 所以 1 1 113 3 5nT ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? L1 1 1 212 1 2 1 2 1 2 1nn n n n? ? ? ? ? ? ?. 18.解：（ 1）由图象知 3A? ， 44 3 3T ? ? ? ? ，即 4T ? . 又 2 4? ? ，所以 12? ， 因此 ? ? 13 sin2f x x ?. 6 又因为 3
12、3f ?， 所以 ? ?262 kk? ? ? ? ? Z，即 ? ?2 23 kk? ? ? ? Z. 又 ? ，所以 23? ，即 ? ? 123 sin23f x x ?. （ 2）当 ,3x ? ?时， 1 2 5 ,2 3 6 6x ? ? ? ? ? ?. 所以 1 2 11 sin2 3 2x ? ? ? ? ?，从而有 ? ? 33 2fx? ? ? ?. 19.解：（ 1）因为 sin 2sinb C B? ， 所以 2bc b? ，即 2c? . 由余弦定理得 2 2 2 22 4 2 2 4 c o s 2 83b ? ? ? ? ? ?， 所以 27b? . （ 2）因
13、为 4a? ， 2c? ， 23B ? ， 所以 1 sin2ABCS ac B? ?134 2 2 322? ? ? ?. 20.解：（ 1）取 AB 的中点 D ，连接 ,OP CDOD ， 易证 OPCD 为平行四边形，从而 OP CD . 由底面 ABC? 侧面 11AABB ，底面 ABCI 侧面 11AABB AB? ， CD AB? ， CD? 底面ABC ，所以 CD? 侧面 11AABB ，即 OP? 侧面 11AABB . 又 1AB? 侧面 11AABB ，所以 1AB OP? . 又侧面 11AABB 为菱形，所以 11AB AB? ，从而 1AB? 平面 1AOP .
14、 因为 1AP? 平面 1AOP ，所以 11AB AP? . （ 2）由（ 1）知， 1OP OA? ， OP OA? ， 1OA OA? ， 以 O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 z xoy? . 7 因为侧面 11AABB 是边长为 2 的菱形，且 11 60AAB? ? ? ， 所以 ? ?0,0,0O ， ? ?0,1,0A ， ? ?1 0, 1,0B ? ， ? ?3,0,0B ? ， 31, , 322C ?， ? ?0,0, 3P ，得 ? ?0,0, 3OP ?uuur . 设 ? ?0AM AC?uuur uuur ，得 31,1 , 322M ? ? ?， 所以
15、 31,1 , 322OM ? ? ? ? ?uuur ，所以 3OP OM ?uuur uuur . 而 c o sO P O M O P O M M O P? ? ? ? ? ?u uur u u ur u uur u u ur 2223 1 23 1 34 2 2? ? ? ? ? ? ?. 所以 2223 1 33 1 3 34 2 2? ? ? ? ? ? ? ? ?，解得 ? . 所以 3 3 3,442M ?， ? ?1 3,1,0BB?uuur，1 3 7 3,442BM?uuuur . 设平面 1BBM 的法向量 ? ?1 ,n x y z?r ， 由 111100BB nB
16、M n? ?uuur ruuuur r 得303 7 3 04 4 2xyx y z? ? ? ? ? ?，取 ? ?1 1, 3, 3n ?r . 而侧面 11AABB 的一个法向量 ? ?2 0,0,1n ?r . 设二面角 1M BB A?的大小为 ? . 则 121212c o s c o s , nnnn nn? ? ? ?rrrrrr3 3 131313 ? . 21.解：（ 1）因为 ? ?sin sin sinA B C B? ? ?， 所以 ? ?sin sin sinB C A B? ? ?，即 ? ? ? ?s in s in s inB A B A B? ? ? ?，
17、8 整理得 sin 2 cos sinB A B? . 又 sin 0B? ，所以 1cos 2A? ，即 3A ? . （ 2）设 BD x? ， BAD ?， 0,3? ?，则 2DC x? ， sin sinBt? . 由正弦定理得 AD tx? ， s ins in s in23A D D A C tC DC ? ? ? ? ?. 又 23s in s in c o s32C B B? ? ? ?13s in c o s s in2 2 2tBB ?， 由 3 c o s s in s in2 2 2 3ttB ? ? ?，得 cos cos3Bt ? ?. 因为 2 2 2 2 2
18、2s in c o s s in c o s 13B B t t ? ? ? ? ?， 所以2221s in c o s 3t ?221 c o s 2 1 c o s 23? ? ? ? ?22 3 cos 2 6?. 因为 0,3? ?，所以 26 6 2? ? ? ? ? ?. 所以当 206?，即 12? 时， t 取得最大值 31? ， 此时 ? ? 6 2 2s in 3 1 42B ? ? ? ?， 所以 4B ? ， ta n ta n 2 334A C D ? ? ? ? ? ?. 22.解： ? ? 222ax x bfx x? ?， ? ?12f a b? ? ? ?. 又 ? ?1f a b?，曲线 ? ?y f x? 在 1x? 处的切线过点 ? ?0,2 2a? . ? ?22 210a b a ab? ? ? ? ? ? ，得 ab? . 9 （ 1） 85ab? ， 45ab? ， 令 ? ? 0fx? ? ，得 22 5 2 0xx? ? ? ， 解得 12x? 或 2， ?fx的极值点为 12 或 2. （ 2） 12,xx是方程 ? ? 222 0ax x afx x? ?的
