1、 1 黑龙江省大庆市 2018 届高三数学上学期第一次月考试题 理 卷 (I) 一 选择题 （本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 .） 1. ? 15cos15sin2 （ ） A 21 B 21? C 23 D 23? 2.已知集合 ? ? ? ?22 , 1 , 0 , 2 , 3 , | 1 ,A B y y x x A? ? ? ? ? ? ?，则 AB中元素的个数是 （ ） A 2 B 3 C 4 D 5 3.已知函数 ?xf 的定义域为 ? ?2,0 ，则函数 ? ? ? ? xxfxg 282 ? 的定义域为（ ）
2、 A ?1,0 B ? ?2,0 C ?2,1 D ?3,1 4. 已知函数 ()fx是奇函数，当 0x? 时， () xf x a? （ 0a? 且 1a? ） ，且12(log 4) 3f ?，则 a 的值为（ ） A 32 B 3 C. 3 D 9 5.已知 21tan ? ，则 ? ? ? 24tan（ ） A 7 B 7? C. 71 D 71? 6.函数 ?xf 的图象关于 y 轴对称，且对任意 Rx? 都有 ? ? ? ?xfxf ?3 ，若当 ? 25,23x时， ? ? xxf ? 21，则 ? ?2017f （ ） A 14?B 14C. 4? D 4 7.已知 ABC?
3、的外接圆半径为 1，圆心为点 O ，且 0543 ? OCOBOA ，则 ABOC? 的值为（ ） A 58 B 57 C. 51? D 54 2 8.将函数 ? ? ? ? 64sin3 ?xxf图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，再向右平移 6? 个单位长度，得到函数 ? ?xgy? 的图象则 ? ?xgy? 图象一条对称轴是 （ ） A 12?x B 6?x C 3?x D 32?x 9.设函数 ? ? ? 2,1212,2xxxaxf x 是 R 上的单调递减函数，则实数 a 的取值范围为 ( ) A.? ?2,? B. ? ? 813,C.? ?2,0 D. ? 2,81310
4、. 若曲线 221 xey? 与曲线 xay ln? 在它们的公共点 ? ?tsP, 处具有公共切线，则实数 ?a（ ） A -2 B 21 C 1 D 2 11.如图， BA, 分别是射线 ONOM, 上的两点，给出下列向量： OBOA 2? ； OBOA 3121 ? ； OBOA 3143 ? ； OBOA 5143 ? ； OBOA 5143 ? 若这些向量均以 为起点， 则终点落在阴影区域内（包括边界）的有（ ） A B C D 12.已知函数 ? ? ? ? 21ln,2 ? xxgexf x ，对 ? ? ,0, bRa ，使得 ? ? ? ?bgaf ? ，则ab? 的最小值为
5、 （ ） A . 22ln1? B 22ln1? C 12 ?e D 1?e 卷 (II) (非选择题，共 90 分 ) 二填空题 （ 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ，把答案填在题中横线上） 13.曲线 3xy? 与 xy? 所围成的封闭图形的面积为 _； 14.若命题 :p “ 0 20 2 2 3xx R a a? ? ? ? ?， ”是假命题，则实数 a 的取值范围是 _； 15.若方程 0sincos 2 ? axx 在 ? 2,0?内有解，则 a 的取值范围是 _； 3 16.在 ABC? 中，内角 CBA , 的对边分别为 cba, ，已知 BA Cca b s
6、 ins in s in1 ? ， 且 5,5 ? CBCAb ，则 ABC? 的面积是 _. 三解答题 （本大题共 6 小题，第 17 题 10 分 ,其余每题 12 分，解题写出详细必要的解答过程） 17.(本小题满分 10 分） 已知函数 22( ) 3 s i n 2 3 s i n c o s c o s ( )f x x x x x x? ? ? ? R. （ 1） 求函数 )(xf 的最小正周期及单调减区间； （ 2）若 2)( 0 ?xf ，0 0 2x? ，求 0x 的值 . 18.(本小题满分 12 分） 已知点 ? ? ? ?2211 , yxQyxP 是函数 ? ? ?
7、 ? ? ? 20,0s i n ? xxf图象上的任意两点，若 221 ?yy 时， 21 xx? 的最小值为 2? ，且函数 ?xf 的图象经过点 ? ?2,0 ，在ABC? 中，角 A B C， ， 的对边分别为 cba, ，且 12co ss ins in2 ? BCA . (1)求函数 ?xf 的解析式； (2)求 ? ? ? ? ? ? 43 ?BfBfBg的取值范围 . 19.(本小题满分 12 分） 已知 abc， 为 ABC? 的 内 角 A B C， ， 的 对 边 ， 满 足A CBA CB c o s c o sc o s2s in s ins in ? ， 函数 (
8、) sinf x x? ( 0)? 在区间 0, 3? 上单调递增，在区间上单调递减 . （ 1） 证明： acb 2? ； （ 2）若 Af cos)9( ? ，证明 ABC 为等边三角形 20. (本小题满分 12 分） 设函数 ? ? ? ? 1? xexaxf （ e 为自然对数的底数） 4 （ 1）当 1?a 时，求 ?xf 的最大值； （ 2）当 ? ? ? ?, 0 0,x ? ? ?时， ? ? 1fxx ? 恒成立，证明： 1a? 21.(本小题满分 12 分） 已知函数2( ) 2 | |f x x x a? ? ?. （ 1）若函数()y f x为偶函数，求a的值； （
9、2）若12?，直接写出函数y f x?的单调递增区 间； （ 3）当0?a时，若对任意的0, )x? ?，不等式( 1) 2 ( )f x f x?恒成立，求实数a的取值范围 . 22.(本小题满分 12 分） 已知函数 ? ? ? ?nn xxaxf 11ln ?，其中 aN,? 为常数 . （ 1）当 2?n ，且 2?a 时，判断函数 ?xf 是否存在极值，若存在，求出极值点；若不存在，说明理由； （ 2）若 1?a ，对任意的正整数 n ，当 1?x 时，求证： ? ? xxf ?1 . 5 数学（理）试题答案 一 选择题 BAAC C BCABABD 二填空题 ? ? ? ? 31
10、6 . 1 5 1a-1|a15. 2a1|a14. 125.13 ? 三解答题 17.解：（ 1） 2( ) 1 2 s in 3 s in 2f x x x? ? ? 1 c o s 21 2 3 s i n 22 x x? ? ? ? 3 sin 2 co s 2 2xx? ? ? 312 ( s in 2 c o s 2 ) 222xx? ? ? ?2 sin(2 ) 26x? ? ? 所以， 22f x T ?() 的 最 小 正 周 期 由 3 2 22 ,2 6 2k x k k? ? ? ? ? ? Z化简得 5 36k x k? ? ? ? 所以，函数 )(xf 的单调递减区
11、间为 5 , ,36k k k? ? ? Z （ 2）因为 2)( 0 ?xf ， 所以0 2 sin(2 ) 2 26x ? ? ?即 0 sin(2 ) 06x ?又因为0 0 2x ?，所以 0 52 , 6 6 6x ? ? ?则 0 206x ?，0 12x ?即19.解 :（ 1） A CBA CB c o s c o s-c o s-2s in s ins in ? 6 ? s i n c o s s i n c o s 2 s i n - c o s s i n - c o s s i nB A C A A B A C A? ? s i n c o s c o s s i n
12、s i n c o s c o s s i n 2 s i nB A B A C A C A A? ? ? ? s i n ( ) s i n ( ) 2 s i nA B A C A? ? ? ?,sin sin 2 sinC B A?,所以 2b c a? （ 2）由题意知：由题意知： 243? ，解得： 32? ， 因为 1( ) s in c o s9 6 2fA? ? ?, (0, )A ? ,所以 3A ? 由余弦定理知： 2 2 2-1c o s 22b c aA bc?, 所以 2 2 2-b c a bc? 因为 2b c a? ，所以 2 2 2-( )2bcb c bc?
13、， 即： 22-2 0b c bc?所以 bc? ,又 3?A ，所以 ABC 为等边三角形 . 20.解：（）当 a 1 时， f (x) ex (1 x)ex xex 当 x 0 时， f (x) 0， f (x)在 (0， )上单调递减； 当 x 0 时， f (x) 0， f (x)在 (， 0)上单调递增 故 f (x)在 x 0 处取得最大值 f (0) 0 （）当 x (， 0)时， f (x)x 1?(a x)ex x 1 即 a x x 1ex ， 令 g(x) x x 1ex ， g (x) 1 xex 0，则 g(x)在 (， 0)上是增函数， g(x) g(0) 1，a
14、 1 当 x (0， )时， f (x)x 1?(a x)ex x 1， a x x 1ex ，由知 g (x) ex xex ， 令 h(x) ex x， h (x) ex 1 0， 则 h(x) h(0) 1， g (x) 0， g(x) g(0) 1， a1. 故 a 1 21.解 :(1)由于函数 ?xf 为偶函数 ,则 ? ? ? ?xfxf ? ,即 axxaxx ? 22 22恒成立 , 所以 axax ? ,则平方得 04 ?ax 恒成立 ,则 0?a (2)若 21?a ,则 ? ?21 1221 1222xxxxxxxf ,则单调递增区间为 ? ?1,? 和 ? 1,21
15、7 (3)不等式 ? ? ? ?xfxf 21 ? 转化为 ? ? 12124 2 ? xxaxax 在 ? ?,0 上恒成立 ,由于 0?a 则当 ax?0 时 ,原式为 02142 ? axx 恒成立 ,即 021 ? a ,即 210 ?a ; 当 1? axa 时 ,原式为 06142 ? axx 恒成立 ,即 0242 ? aa ,解得62?a 或 26?a 当 1?ax 时 ,原式为 0322 ? xx 恒成立 ,即 0242 ? aa ,解得 62?a 或26?a 综上? ? 2126| aa22.解 :（）由已知得函数 ?xf 的定义域为 ? ?0| ?xx ， 当 2?n 时
16、， ? ? xaxxf ln12 ?，所以 ? ?32 2 xaxxf ? ， 当 0?a 时，由 ? ? 0 ?xf 得 02,0221 ? axax，此时 ? ? ? ? ?3 21 x xxxxaxf ?当 ? ?1,0xx? 时， ? ? ? ?xfxf ,0 ? 单调递减；当 ? ? ,1xx 时， ? ? ? ?xfxf ,0 ? 单调递增 . 当 0?a 时， ?xf 在ax 21?处取得极小值，极小值点为a2. （）证：因为 1?a ，所以 ? ? ? ? xxxfnn ln1 ? . 当 n 为偶数时，令 ? ? ? ? ? ?1ln11 ? xxxxg n，则 ? ? ? ?11 1 ? ? x xx nxg n所以 ? ? 0 ?xg 当 ? ? ,1x 时， ?xg 单调递增， ?xg 的最小值为 ?1g .因此 8 所以 ? ? xxf ?1 成立 . 当 n 为奇数时，要证 ? ? xxf ?1 ，由于 ? ? ? ? 0111 ? nn x，所以只需证 ? ? xx ?1ln . 令 ? ? ? ?1ln ? xxxh ，则 ? ? 01 ? xxxh ， 当 ? ? ,1x 时， ? ? ? ?1ln ? xxxh 单调递增，又 ? ? 02ln11 ?h ， 所以当 1?x 时，恒有 ? 0?xh ,命题 ? ? xx ?1ln 成立 .
