1、 - 1 - 2017-2018 学年高三上期第一次月考 理科数学 试题 本试卷分第 I 卷和第 卷两部分，时量 120分钟，满分 150分 第 卷（ 60 分） 一、选择题（本大题共 12小题，毎小题 5分，共 60分 .在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合 ? ?2| log 0M x x?， ? ?2|4N x x?，则 MN? （ ） A ? ?1,2 B ? ?0,2 C ? ?1,1? D ? ?0,2 2. 已知复数 z= ，其中 i 为虚数单位，则 z所对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3. 已知 ， ， 则（ ）
2、 A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是 （ ） A aR? ，“ 1 1a ? ”是“ 1a? ”的必要不充分条件 B“ p 且 q 为真命题”是“ p 或 q 为真命题” 的必要不充分条件 C命题“ xR? ，使得 2 2 3 0xx? ? ? ”的 否定是：“ 2, 2 3 0x R x x? ? ? ? ?” D命题 p ：“ ,sin cos 2x R x x? ? ? ?”，则 p? 是真命题 5. 下列函数在其定义域上既是增函数又是奇函数的是 A. B. C. )1(lo g)( 22 xxxf ? D. 6. 已知数列 是公差为 2的等差数列，且 成等比数列，则 （ ）
3、 A. 36 B. 49 C. 64 D. 81 7.在 ABC? 中， 3 0 , 3, 2 3A A B A C? ? ? ?，且 20AD BD?，则 AC CD? 等于 ( ) A 18 B 9 C.-8 D -6 - 2 - 8. 把函数 ( ) 2 sin(2 )4f x x ?的图象上每个点的横坐标扩大到原来的 4 倍，再向左平移3? ，得到函数 ()gx的图象，则函数 ()gx的一个单调递增区间为 （ ） A 17 5 , 66? B 57 , 66? C 24 , 33? D 7 19 , 66? 9.设定义在 R 上的奇函数 y f(x)，满足对任意 x R 都有 f(x)
4、 f(1 x)，且 x ? ?0， 12 时，f(x) x2，则 f(3) f( 32)的值等于 ( ) A. 12 B 13 C 14 D 15 10.已知当 x 1时， f（ x） =（ 2 a） x+1；当 x 1时， f（ x） =ax（ a 0且 a 1）若对任意 x1 x2 ， 都 有 0)()(2121 ? xx xfxf 成立，则 a的取值范围（ ） A、（ 1， 2） B、 ?231(， C、 ?223，?D、（ 0， 1）（ 2， +） 11. 已知函数 f（ x） =?0,3)41(0,3log 4xxxxxx若 f（ x）的两个零点分别为 x1 x2 ， 则 |x1 x
5、2|=（ ） A、 3 ln2 B、 3ln2 C、 2 D、 3 12.已知函 数 2yx? 的图象在点 ? ?200,xx 处的切线为 l ，若 l 也与函数 lnyx? ， )1,0(?x 的图象相切，则 0x 必满足（ ） A0 12x?0B012 x? ?C 2220 ? xD 023x? 第 卷（ 90 分） 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13.若实数 ,xy满足不等式组 02 3 010yxyxy? ? ? ? ?，则 2z y x?的最小值是 _ 14.已知锐角 ABC 的外接圆半径为 33BC ，且 3AB? ， 4AC? ， BC? _ - 3
6、- 15 已知函数 f（ x） =|lgx|，若 0 a b，且 f（ a） =f（ b），则 a+2b的取值范围是 _ 16 已知函数 ? ? ? ?1202xf x x x? ? ? ?与 ? ? ? ?2logg x x x a? ? ?的图象上存在关于 y轴对称的 点，则 a 的取值范围是 _. 三、解答题（本大题共 7小题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 12分） 已知数列 na 的前 n 项和为 nS *()nN? ，且满足 21nna S n? ? ? （ 1）求数列 na 的通项公式； （ 2）求证：21 2 2 3 11 1 1 1
7、2 2 2 3n nna a a a a a ? ? ? ? 18. （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P ABCD? 中，底面 ABCD 是菱形，且 120ABC? ? ?点 E 是棱 PC 的中点，平面 ABE 与棱 PD 交于点 F ( )求证： /AB EF ； ( )若 2PA PD AD? ? ?，且平面 PAD? 平面 ABCD ，求平面 PAF 与平面 AFE 所成的锐二面角 的余弦值 19. （本小题满分 12 分） 某学校用简单随机抽样方法抽取了 100 名同学，对其日均课外阅读时间（单位：分钟）进行FBDCPEA- 4 - 调查，结果如下： t ? ?0,15 ?
8、 ?15,30 ? ?30,45 ? ?45,60 ? ?60,75 ? ?75,90 男同学人数 7 11 15 12 2 1 女同学人数 8 9 17 13 3 2 若将日均课外阅读时间不低于 60 分钟的学生称为“读书迷” . （ 1）将频率视为概率，估计该校 4000名学生中“读书迷”有多少人？ （ 2）从已抽取的 8名“读书迷”中随机抽取 4位同学参加读书日宣传活动 . （ i）求抽取的 4位同学中既有男同学又有女同学的概率； （ ii）记抽取的“读书迷”中男生人数为 X ，求 X 的分布列和数学期望 . 20. （本小题满分 12 分） 已知椭圆 E：2222 1(a 0)xy b
9、ab+ = 过点(0, 2），且离心率为2 ( )求椭圆 E的方程； ( )设直线 1?myx )( Rm? 交椭圆 E于 A， B两点，判断点 G9( 4- ,0)与以线段 AB为直径的圆的位置关系，并说明理由 21 （本小题满分 12分） 设函数 xexf x sin)( ? （ e为自然对数的底数）， axxg ?)( ， )()()( xgxfxF ? （ 1）若 x=0 是 F（ x）的极值点，且直线 x=t（ t 0）分别与函数 f（ x）和 g（ x）的图象交于 P， Q，求 P， Q两点间的最短距离； - 5 - （ 2）若 x 0时，函数 y=F（ x）的图象恒在 y=F（
10、x）的图象上方，求实数 a 的取值范围 22（本小题满分 10分） 已知曲线 C 的参数方程为 2 5 cos1 5 sinxy? ?( 为参数 )，以直角坐标系原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 . ( )求曲线 C 的极坐标方程； ( )设12:63ll?， 若 l 1 、 l2与曲线 C 相交于异于原点的两点 A、 B ，求 AOB的面积 . 理科数学试卷 参考答案 一、 选择题 ABBAC CDBCC DD 二、 填空题 1， 13 ， ? ?,3 ， ? ?2,? 17、 解析：（ 1） 21nna S n? ? ? ，令 1n? ，得 123a? ，1 32a? -
11、2分 21nna S n? ? ? ， 11 2( 1) 1nna S n? ? ? ?， *( 2, )n n N? 两式相减，得 122nnaa?，整理11 12nnaa?-4分 112 ( 2)2nnaa? ? ?， ( 2)n? - 6 - zyxGAEPCDBF数列 2na? 是首项为 1 12 2a ? ? ，公比为 12 的等比数列 12 ( )2 nna ? ?， 12 2n na ? -6分 （ 2） 112 1 2 1 2111 1 2 1 12 1 2 12 ( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 1 2 1222nnnn n n n nnnnnnaa? ? ? ? ? ?
12、? ? ? ? ? ?-8分 21 2 2 3 11 1 12 2 2 n nna a a a a a ? ? ? ?2 3 3 4 1 21 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?21 1 13 2 1 3n? ? ? -12 分 18.【 解析 】 ( ) 底面 ABCD 是菱形， /AB CD ， 又 AB? 面 PCD ， CD? 面 PCD ， /AB 面 PCD ， ? 2分 又 A ， B ， E ， F 四点共面，且平面 ABEF 平面 PCD EF? ， /AB EF ； ? 4
13、分 ( ) 取 AD 中点 G ，连接 PG ， GB ， PA PD? ， PG AD? ， 又 平面 PAD? 平面 ABCD ，且平面 PAD 平面 ABCD AD? ， PG? 平面 ABCD ， PG GB? ， 在菱形 ABCD 中， AB AD? ， 60DAB? ? ? ， G 是 AD 中点， AD GB? ， ? 6分 如图，建立空间直角坐标系 G xyz? ，设 2PA PD AD? ? ?， 则 (0,0,0)G ， (1,0,0)A ， (0, 3,0)B ( 2, 3,0)C ? ， ( 1,0,0)D? ， (0,0, 3)P ， 又 /AB EF ，点 E 是棱
14、 PC 中点， 点 F 是棱 PD 中点， 33( 1, , )22E ? ， 13( ,0, )22F ? ，33( ,0, )22AF ?uuur , 13( , ,0)22EF ?uuur ， ? 8分 设平面 AFE 的法向量为 ( , , )n x y z?r ，则有 00n AFn EF? ?r uuurr uuur ， 333zxyx? ? ?， - 7 - 不妨令 3x? ，则平面 AFE 的一个法 向量为 (3, 3,3 3)n?r ， ? 10 分 BG? 平面 PAD ， (0, 3,0)GB ?uuur 是平面 PAF 的一个法向量， 6 1 3c o s ,133 9
15、 2 3n G B n G B? ? ?r u uurr u uurr u uur， 平面 PAF 与平面 AFE 所成的锐二面角的 余弦值为 1313 ? 12分 19.试题解析：（）设该校 4000名学生中“读书迷”有 x 人，则 8100 4000x? ，解得 320x? . 所以该校 4000名学生中“读书迷”约有 320人 . （）（）抽取的 4名同学既有男同学，又有女同学的概率： 4548 131 14CP C? ? ?. （） X 可取 0， 1， 2， 3. ? ? 4548 10 14CPX C? ? ?， ? ? 133548 31 7CCPX C? ? ?， ? ? 22
16、3548 32 7CCPX C? ? ?， ? ? 315548 13 14CCPX C? ? ?， X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 114 37 37 114 ? ? 1 3 3 1 30 1 2 31 4 7 7 1 4 2EX ? ? ? ? ? ? ? ? ?. - 8 - 20( )由已知得 2 2 22,2 ,2,bcaa b c =+解得222abc = = =， 所以椭圆 E的方程为22142xy+= ( )设点1 1 2 2( y ),B( , y ),A x x，则1 1 2 299G A ( , ) , G B ( , ) .44x y x y= + = +由2
17、2221( m 2) y 2 3 0 ,142x m ymyxy =-+ - - = +=得所以1 2 1 22223y + y = , y y =m 2 m 2m+ ，从而1 2 1 2 1 2 1 29 9 5 5G A G B ( ) ( ) ( m y ) ( m y )4 4 4 4x x y y y y= + + + = + + +2221 2 1 2 225 25 5 3 ( m + 1 ) 25( m + 1 ) y ( y )4 16 2( m 2) m 2 16mm y= + + + = - +2217 2 016(m 2)m +=+所以c os G A , G B 0 , G A G B狁 又 ，不共线，所以AGB为锐角 . 故点 G9( 4- ,0)在以 AB为直径的圆外 21.【解答】解：（ 1）因为 F（ x） =ex+sinx ax，所以 F（ x） =ex+cosx a， 因为 x=0是 F（ x）的极值点，所以 F（ 0） =1+1 a=0， a=2 又当 a=2时，若 x 0， F（ x） =ex+cosx a 1+1 2=0， 所以 F（ x）在（ 0， + ）上为增函数，所以 F（ x） F（ 0）
