1、 - 1 - 高三年级第二次月考数学 (理科 )试题 第 卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 已知 ? ?2,0,1?P ? ?RxxyyQ ? ,sin ，则 QP? ( ) A.? B. ?0 C.? ?1,0? D.? ?1,0, 2? 2已 若 z 3 2i 4 i，则 z 等于 ( ) A 1 i B 1 3i C 1 i D 1 3i 3 下列说法 不正确 的是 ( ) A.命题 “ 对 xR? ,都有 2 0x? ” 的否定为 “ 0xR?,使得 20 0x ? ” B.“ ab? ” 是 “ 22ac b
2、c? ” 的必要不充分条件 ； C. “ 若 tan 3? ，则 3? ” 是真命题 D. 甲 、 乙两位学 生参与数学模拟考试 ,设命题p是 “ 甲 考试及格 ”,q是 “ 乙考试及格 ”, 则命题 “ 至少有一位学 生不及格 ” 可表示 为 ( ) ( )pq? ? ? 4 函 数 ( ) 2xf x e x? ? ?的零点所在的一个区间是 ( ) A ( 2, 1)? B (1,0)? C (0,1) D (1,2) 5 设2 1log 3a?， 12be? ， lnc ? ，则（ ） A c a b? B a c b? C abc? D bac? 6 设 nm, 是两条不同的直线， ?
3、, 是两个不同的平面 ,下列命题中 不正确 的是（ ） A.若 m? , /mn, /n? ,则 ? B.若 ? ,m? ,m ? ,则 /m? - 2 - C.若 ?m , ?m ,则 ? D.若 ? , ?m , ?n ,则 nm? 7. 已知某个几何体的三视图如 下 图，根据图中标出的尺寸（单位： cm），可得这个几何体的体积是 （ ） A 325cm B 323cm C 33cm D 32cm （ 7题图） （ 8题图） 8.某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是 （ ） A 2()f x x? B 1()fxx? C ()xf x e? D ( ) sinf x
4、x? 9 设 x ， y 满足约束条件 2 3 3 02 3 3 030xyxyy? ? ? ? ?，则 2z x y?的最小值是（ ） A 15? B 9? C 1 D 9 10 已知函数 ( ) 2 sin( )f x x ?，且 (0) 1f ? ， (0) 0f? ? ， 则函数 ()3y f x ?图象的一条对称轴的方程为 ( ) A 0x? B 6x ? C 23x ? D 2x ? - 3 - 11已知椭圆的标准方程为 22154xy?， 12,FF为椭圆的左右焦点， O为原点 ， P是椭圆在第一象限的点，则 12PF PFPO?的取值范围（ ） A 50,5?B 250,5?C
5、 350,5?D 650,5?12 已知 )(xf 是定义在 R 上的偶函数，对于 Rx? ,都有 0)()2( ? xfxf ,当 0,1x?时， 2( ) 1f x x? ? ，若 2 ( ) ( ) 3 0a f x bf x? ? ?在 -1,5上有五个根，则此五个根的和是（ ） A 7 B 8 C 10 D 12 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 2223 题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 13已知函数 ( ) cos2f x x x? ,则 曲线 ()y f x? 在点 ( ,
6、 )22? 处的切线 倾斜角 是_。 14 已知函数? ? 21 , 1 1,1x xxfx ex? ? ? ? ? ? ?则?21 d)( xxf= 15 已知 P为三角形 ABC内部任一点（不包括边界），且满足 (PB-PA) (PB+PA-2PC)=0，ABC的形状一定为 _. 16 对于任意实数 ,ab，定义 ? ? ,m in ,a a bab b a b? ? ?.定义在 R 上的偶函数 ()fx满足( 4) ( )f x f x? ，且当 02x?时， ? ?( ) m in 2 1, 2xf x x? ? ?，若方程 ( ) 0f x mx?恰有两个根，则 m 的取值范围是 为
7、 . - 4 - 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （本小题满分 12分）已知向量 )sin,cos2( xxm ? ， )cos32,(cos xxn ? ? ?x?R ，设函数 1)( ? nmxf （ 1）求函数 ?fx的单调增区间；（ 2）已知 ABC? 的三个内角分别为 A B C， ， ， 若 2)( ?Af ，4?B ，边 3?AB ，求边 BC 18 （本小题满分 12分） 已知数列 an的前 n项和为 Sn，且 Sn 2n2 n(n N*)，数列 an满足an 4log2bn 3(n N*). (1)求 an， bn； (2)求数列 an bn的前
8、n项和 Tn. 19 （本小题满分 12分） 如图，在四棱锥 P ABCD? 中，侧面 PAB? 底面 ABCD ，且90PAB ABC? ? ? ?， /AD BC ， 2PA AB BC AD? ? ?， E 是 PC 的中点 （ ）求证： DE? 平面 PBC ； （ ）求二面角 A PD E?的余弦值 EBACPD- 5 - 20.(本小题满分 12分 ) 已知 12FF、 为椭圆 E 的左右焦点，点 3(1, )2P 为其上一点，且有12| | | | 4PF PF? （ I）求椭圆 C 的标准方程； （ II）过 1F 的直线 1l 与椭圆 E 交于 AB、 两点，过 2F 与 1
9、l 平行的直线 2l 与椭圆 E 交于 CD、 两点，求四边形 ABCD 的面积 ABCDS 的最大值 . - 6 - 21 （本小题满分 12分） )已知函数 22( ) ( 2 ) ln 2f x x x x a x? ? ? ? ?. （ I）当 1a? 时，求 ()fx在 (1, (1)f 处的切线方程； （ II）设函数 ( ) ( ) 2g x f x x? ? ?， （）若函数 ()gx 有且仅有一个零点时，求 a 的值； （）在（）的条件下，若 2e x e? ? ， ()g x m? ，求 m 的取值范围。 请考生在 22、 23 题中任选一题作答 ,如果多做 ,则按所做的第
10、一题计分。 22 （本小题满分 10分）已知圆 C 的极坐标方程为 2cos? ，直线 l 的参数方程为?tytx21212321（ t 为参数），点 A 的极坐标为 2( , )24? ，设直线 l 与圆 C 交于点 ,PQ。 （ I） 写出圆 C 的直角坐标方程； （ II）求 | | | |AP AQ? 的值 . 23. (本小题满分 10分 )已知函数 axxxf ? 1)( （ I）当 2a? 时，解不等式 4)( ?xf . （ II）若不等式 axf 2)( ? 恒成立，求实数 a 的取值范围 - 7 - 第 I 卷 一、选择题 （ 本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分
11、） 题号 11 22 23 44 55 66 77 88 99 110 11 212 选项 cC DB DD cC CC DD bB DD AA AA SB HC 二、填空题 （本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13 43? 14 ee ? 22? 15. 等腰三角形 16. ? 1,1? ? 31,2lnU ? 2ln,31U11 【 答案 】 B 【 解 析 】 设 P ? ?00,xy ，则 005x? ， 1555e?，1055 5PF x?，2PF? 055 5 x? ， 2 2 20 0 01 45P O x y x? ? ? ?，则01220 202 5 2 5551
12、 1 4455xP F P FPO xx? ?，因为 005x? ，所以20445x ?，所以201415 x?，所以202525505145 x?，所以 12 2505PF PFPO? 故 选 B 三、解答题： 17 （本小题满分 12分） 解； 1)( ? nmxf 1c o ss in32c o s2 2 ? xxx xx 2sin32cos ? )62sin(2 ? x ? 4分 - 8 - x? R，由 ? kxk 226222 ? 得 )(63 Zkkxk ? ? ? 6分 函数 ?fx的单调增区间为 )(6,3 Zkkk ? ? ? 7分 （ 2） 2)( ?Af ，即 2)62
13、sin(2 ? ?A ，角 A 为锐角，得 6?A ， ? 9分 又 4?B ， ?127?C ， 4 26)34s in (127s ins in ? ?C 3?AB ，由正弦定理得 2 )26(3s ins in ? C AABBC ? 12分 18 （本小题满分 12分） 【 答案 】解 (1)由 Sn 2n2 n，得 a1 S1 3； 当 n2 时， an Sn Sn 1 4n 1. 又 a1 3也适合上式 . 所以 an 4n 1， n N*， 由 4n 1 an 4log2bn 3，得 bn 2n 1， n N*. (2)由 (1)知 anbn (4n 1)2n 1， n N*.
14、所以 Tn 3 72 112 2 ? (4n 1)2n 1， 所以 2Tn 32 72 2 ? (4n 5)2n 1 (4n 1)2n， 所以 2Tn Tn (4n 1)2n 3 4(2 22 ? 2n 1) (4n 5)2n 5. 故 Tn (4n 5)2n 5， n N*. 19 （本小题满分 12分） 【 答案 】（ 1） 19. （ ）证明：侧面 PAB? 底面 ABCD ，且 90PAB ABC? ? ? ?， /AD BC ， 所以 PA AB? ， PA AD? ， AD AB? ，如图，以点 A 为坐标原点，分别以直线 AD ， AB ， AP 为 x 轴， y 轴， z 轴建
15、立空间直角坐标系 . ?2 分 设 22P A A B B C A D? ? ? ?， E 是 PC 的中点，则有， (0,0,2)P ， (1,0,0)D ， (0,2,0)B ， (2,2,0)C ， (1,1,1)E ，于是 (0,1,1)DE? ， (0,2, 2)PB?， (2,2, 2)PC ?， 因为 0DE PB?， 0DE PC?，所以 DE PB? ， DE PC? ，且 PB PC P? ， - 9 - 因此 DE? 平面 PBC ?6 分 （ ）由（ ）可知平面 PAD 的一个法向量为 (0,2,0)AB?1n ，设平面 PCD 的法向量为 2 ( , , )x y z
16、?n ， (1,0, 2)PD?， (2,2, 2)PC ?， 则 220,0,PDPC? ?nn所以 2 0,2 2 2 0,xzx y z? ? ? ?不妨设 1z? ，则2 (2, 1,1)?n ， 12 26c o s , 662? ? ? ?nn， ? 12 分 20 （本小题满分 12分） 【 答案 】 解：（ I）设椭圆 E 的标准方程为 22 1( 0)xy abab? ? ? ? 由已知 12| | | | 4PF PF?得 24a? ， ? 2a? ? ? 2 分 又点 3(1, )2P 在椭圆上， ?219144b? 3b? 椭圆 E 的标准方程为 22143xy? ?
17、4分 （ II）由 题 意 可知，四边形 ABCD 为平行四边形 ? ABCDS =4 OABS? 设直线 AB 的方程为 1x my?，且 1 1 2 2(A x y B x y,)、 ,) 由 221143x myxy? ?得 22(3 4 ) 6 9 0m y m y? ? ? ? ?1 2 1 22269,3 4 3 4my y y ymm? ? ? ? 6分 OABS? =1OFAS?+1OFBS?=12 1 1 2| | | |OF y y?=12 12|yy? =12 21 2 1 2( ) 4y y y y?= 22216 (3 4)mm ? 8分 令 2 1mt? ，则 1t? OABS? =26 (3 1)tt?= 16196tt?， ? 10 分 zxyEBACPD- 10 - 又 1( ) 9g t t t?在
