1、 1 高 2018 届高三年级第一次月考 文科数学 第 卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 ， 则， 故选 B 2. 已知为虚数单位， ，则复数 的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 ，则复数 的共轭复数为 ，故选择 A. 3. 某校有高级教师 90 人 ，一级教师 120 人，二级教师 170 人，现按职称用分层抽样的方法抽取 38 人参加一项调查，则抽取的一级教师人数为
2、（ ） A. 10 B. 12 C. 16 D. 18 【答案】 B 4. 若变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】 C 【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示， 2 由上图，目标函数 在点 处取得最小值，最小值为 ，故选择 C. 5. 执行下图程序框图，若输出 ，则输入的 为（ ） A. 或 B. C. 1 或 D. 或 【答案】 D . 6. 已知平面 平面 ，则 “ 直线 平面 ” 是 “ 直线 平面 ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】 D 3 【解析】 平面
3、平面 ，若直线 平面 ，则直线 平面 或 ； 平面 平面 ，若直线 平面 ，则直线 平面 不一定成立，故选择 D. 7. 等差数列 的前 11 项和 ，则 （ ） A. 18 B. 24 C. 30 D. 32 【答案】 B 【解析】 ，所以 ， 根据等差数列性质： ，故选择 B. 8. 函数 （ ）的最小正周期为 ，则 满足（ ） A. 在 上单调递增 B. 图象关于直线 对称 C. D. 当 时有最小值 【答案】 D 【解析】 由函数 （ ）的最小正周期为 得 ，则， 当 时， ，显然此时 不单调递增， A 错误； 当 时， ， B 错误； ， C 错误；故选择 D. 9. 函数 的图象大
4、致为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 4 【解析】 函数定义域为 ，又 ，函数 为偶函数，排除 B， C，当 时，显然 ，当 时， ，故选择 A. 方法点睛：已知函数解析式确定函数图像时，应考虑函数的定义域、奇偶性、单调性，可以根据这函数性质对选项进行排除，然后再考虑特殊点的函数值，一般考虑函数的零点，综合上面信息，可以选出正确答案 . 10. 某四棱锥的三视图如图所示，则其体积为（ ） A. 4 B. 8 C. D. 【答案】 D 【解析】 由题可知，几何体是三棱锥，底面是边长为 2 的等腰直角三角形，且顶点到 底面的距离为 2， . 11. 在平面直角坐标系 中，圆 的方程为
5、，直线的方程为 ，若在圆 上至少存在三点到直线的距离为 1，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 根据直线与圆的位置关系可知，若圆 ： 上至少存在三点到直线 ：的距离为 1，则圆心 到直线 的距离 应满足 ，即， 解得： ，即 ，故选择 B. 方法点睛：当圆上有三个点到直线的距离等于 1 时，则直线过半径中点，且垂直于半径，向圆心方向平移直线，显然 圆上到直线距离为 1 的点有 4 个，符合题意，此时圆心到直线距离小于 ，可以根据点到直线距离公式求解参数取值范围 . 12. 已知函数 有两个极值点 ，且 ，若 ，5 函数 ，则 （ ） A. 仅有一个零点
6、B. 恰有两个零点 C. 恰有三个零点 D. 至少两个零点 【答案】 A 【解析】 由 有两个极值点 ，且 ，所以函数 在 递增，在 上递减，在 递增，大致图像如下图 又因为 ，所以显然 为 与 的中点，结合上面函数图像可知，函数与函数 的交点只有一个，所以方程 的根只有一个，即函数的零点只有 一个，故选择 A. 方法点睛：根据三次函数 ，可以确定函数在定义域上先递增，再递减，再递增，于是 为极大值点， 为极小值点，再根据 可知， 为 与6 的中点，于是结合函数图像，根据数形结合可知，函数 仅有一个零点，考查转化能力的应用 . 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，
7、将答案填在答题纸上） 13. 已知向量 ， ，若 ，则 _ 【答案】 2 【解析】 ，所以 ，解得 . 14. 已知双曲线 过点 ，且与双曲线 有相同的渐近线，则双曲线 的标准方程为 _ 【答案】 【解析】 设与双曲线 有相同的渐近线的双曲线方程为 ，将点带人方程有 ，所以 ，则所求双曲线方程为 . 15. 直角 的三个顶点都在球 的球面上， ，若球 的表面积为 ，则球心 到平面 的距离等于 _ 【答案】 1 【解析】 直角 的斜边 CB 为 所在截面小圆的直径，则该截面小圆的半径为，由球的表面积为 可得球的半径 ， 球心 到平面 的距离. 16. 是公差不为 0 的等差数列， 是公比为正数的
8、等比数列， ， ，则数列 的前 项和等于 _ 【答案】 【解析】 设等差数列公差为 ，等比数列公比为 ，则由题有 ，解得： ，所以 ， ，则 ，设数列 的前 n 项和为 ， 则 7 所以 ； - 得： 所以 ，整理得： . 方法点睛：用错位相减法求和时，要注意以下几个问题：（ 1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；（ 2）在写出 “ ” 与 “ ” 的表达式时应特别注意将两式“ 错项对齐 ” ，以便下一步准确写出 “ ” 的表达式；（ 3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解 . 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 7
9、0 分 .解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 在 中，角 ， ， 所对应的边分别为 ， ， ， . （ 1）求证： ； （ 2）若 ， ，求 . 【答案】 （ ）证明见解析 （ ） 【解析】 试题分析：（ ）根据正弦定理变形， 可化为， 由于待证的是 ，所以将 换成 ，然后根据公式展开， ，于是有 ，所以有 ；（ ）根据已知条件 ，当 ， 时， ，于是根据余弦定理 可以求出 的值 . 试题解析：（ ）由 根据正弦定理得 ， 即 ， ， ， 得 （ ）由 ，且 ， ，得 ， 由余弦定理， ， 所 以 18. 某学校用简单随机抽样方法抽取了 30 名同学，对其每月平均课外阅读时
10、间（单位：小时）进行调查，茎叶图如图： 8 若将月均课外阅读时间不低于 30 小时的学生称为 “ 读书迷 ”. （ 1）将频率视为概率，估计该校 900 名学生中 “ 读书迷 ” 有多少人？ （ 2）从已抽取的 7 名 “ 读书迷 ” 中随机抽取男、女 “ 读书迷 ” 各 1 人，参加读书日宣传活动 . （ i）共有多少种不同的抽取方法？ （ ii）求抽取的男、女两位 “ 读书迷 ” 月均读书时间相差不超过 2 小时的概率 . 【答案】 （ ） “ 读书迷 ” 约 210 人 （ ）共有 12 种不同的抽取方法；所求概率【解析】 试题分析：（ ）本问考查用样本的数字特征估计总体的数字特征，由茎
11、叶图可知，月均课外阅读时间不低于 30 小时的学生人数为 7 人，所占比例为 ，因此该校 900 人中的“ 读书迷 ” 的人数为 人；（ ）（ ）本问考查古典概型基本事件空间，设抽取的男 “ 读书迷 ” 为 ， ， ，抽取的女 “ 读书迷 ” 为 ， ， ， (其中下角标表示该生月平均课外阅读时间 )，于是可以列出基本事件空间；（ ）根据题意可知，符合条件的基本事件为 ， ， ， ， ，于是 可以求出概率 . 试题解析：（ ）设该校 900 名学生中 “ 读书迷 ” 有 人，则 ，解得 . 所以该校 900 名学生中 “ 读书迷 ” 约有 210 人 . （ ）（ ）设抽取的男 “ 读书迷 ”
12、 为 ， ， ，抽取的女 “ 读书迷 ” 为 ， ， ， (其中下角标表示该生月平均课外阅读时间 )， 则从 7 名 “ 读书迷 ” 中随机抽取男、女读书迷各 1 人的所有基本事件为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 所以共有 12 种不同的抽取方法 （ ）设 A 表示事件 “ 抽取的男、女两位读书迷月均读书时间相差不超过 2 小时 ” ， 9 则事件 A 包含 ， ， ， ， ， 6 个基本事件， 所以所求概率 19. 如图，平行四边形 中， ， ， 平面 ， ， 分别为 ， 的中点 . （ 1）求证： 平面 ； （ 2）求点 到平面 的距离 . 【答案】 （ ）证明见解析
13、（ ） 到平面 的距离为 【解析】 试题分析：（ ）欲证 平面 ，根据线面垂直判定定理，需要证明 平面 内两条相交直线，由于 ， ，所以易求 ，则有 ，接下来证明 平面 ，从而得到 平面， ，于是问题得证；（ ）求点到面的距离，可以用等体积法，即，由（ ）易知 为直角三角 形，于是可求其面积，在 中，于是可求其面积，根据 ，于是可以求出点到面的距离 . 试题解析：（ ）连接 ，在平行四边形 中， ， ， ， ，从而有 ， 10 平面 ， 平面 ， ， 又 ， 平面 ， 平面 从而有 又 ， 为 的中点， ，又 ， 平面 （ ）设点 到平面 的距离为 ， 在 中， ， ， 在 中， ， ， 由
14、得， ， 所以点 到平面 的距离为 方法点睛：求几何体体积常用的方法有：（ 1）分割求和法：把不规则图形分割 成规则图形，然后进行体积计算；（ 2）补形法：把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积；（ 3）等体积法：选择适当的底面图形求几何体的体积，常用于三棱锥 . 20. 已知椭圆 经过点 ，且离心率为 . （ 1）求椭圆 的方程； （ 2）设点 在 轴上的射影为点 ，过点 的直线与椭圆 相交于 ， 两点，且，求直线的方程 . 【答案】 （ ）椭圆 的方程为 （ ）直线的方程为 【解析】 试题分析：（ ）本问考查求椭圆标准方程，根据点 在椭圆上，代入得，又离心率 ，于是可以求出 的值，得到椭圆标准方程；（ ）点 在 轴上的射影 的坐标为 ，过点 N 的直线分两种情况进行讨论，当斜率为 0 时，经分析，不满足 ，当的斜率不为 0 时，可设方程为 ，与椭圆方程联立，消元，得到关于 的一元二次方程，设 ， ，
