1、 - 1 - 2017-2018 学年高三第一次联考 数学（理科） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 ? ? ? ?2| 0 5 , | 3 4 0A x x B x x x? ? ? ? ? ? ?，则 AB? （ ） A ? ?0,4 B ? ?1,4? C ? ?0,5 D ? ?1,5? 2. 设 i 是虚数单位 ,复数? ?22 iz i? ?，则复数 z 的模为（ ） A 12 B 13 C 14 D 15 3. 近年呼吁高校招生改革的呼声越来越高 ,在赞成高校招生改革的
2、市民中按年龄分组，得到样本频率分布直方图如图，其中年龄在 ? ?30,40 岁的有 2500 人，年龄在 ? ?20,30 岁的有 1200人，则 m 的值为（ ） A 0.013 B 0.13 C 0.012 D 0.12 4. 若 1sin 5? ，且 ? 是第二象限角，则 22sin 2 sincos?的值为（ ） A 64 B 64? C. 616 24? D 616 24? 5. 已知向量 ? ?0,2b?r ， 1ab?rrg ，且 1a?r ，则向量 ar 的坐标为（ ） A 31,22?B 31,22?C. 31,22?或 31,22?D 13,22?或 13,22?6. 如图
3、所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形（单位： cm ），且该三棱锥的外接球的- 2 - 表面积为 250cm? ，则该三棱锥的体积为（ ） A 5 B 10 C. 15 D 30 7. 已知实数 ,xy满足 2 1 0210xyxxy? ? ? ? ?，则 3 4 3z x y? ? ? 的取值范围是（ ） A 4,133?B 4,133? ?C. 4,33?D ? ?3,13 8. 下列程序框图输出的 a 的值为（ ） A 5 B 0 C. -5 D 10 9. 函数 2lny x x?的图象大致为 ( ) A B - 3 - C. D 10. 在 ABC? 中，若 sin sin si
4、n 0a A b B c C? ? ?，则圆 22:1C x y?与直线:0l ax by c? ? ?的位置关系是（ ） A 相切 B 相交 C. 相离 D 不确定 11. 把离心率 512e ? 的曲线 ? ?2222: 1 0 , 0xyC a bab? ? ? ?称之为黄金双曲线若以原点为圆心，以虚半轴长为半径画圆 O ，则圆 O 与黄金双曲线 C （ ） A 无交点 B 有 1 个交点 C. 有 2 个交点 D 有 4 个交点 12. 已知函数 ? ? 2 9 ,042 , 0x x xfxxx? ? ? ? ?，若方程 ? ?f x a? 有两个不相等的实数根，则实数 a的取值范围
5、是（ ） A ? ?59, 2,24? ? ? ?B ? ?2,? ? C. ? ?59, 2,24? ? ? ? ?D ? ?59, 2,24? ? ? ?第 卷（共 90 分） 二、填空题 （每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 已知函数 ?fx的导数为 ?fx? ，且满足关系式 ? ? ? ?2320 13f x x x d x x f x? ? ?，则?2f? 的值等于 14. 在 ABC? 中，角 ,ABC 所对的边分别是 , , , 6a b c A ? ，若将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为 ,ab，则满足条件的三角形恰有两解的概率是 15.
6、 已知 P 是直线 3 4 8 0xy? ? ? 上的动点， ,PAPB 是圆 22 2 2 1 0x y x y? ? ? ? ?的切线，,AB是切点， C 是圆心，那么四边形 PACB 面积的最小值是 - 4 - 16. 定长为 4 的线段 MN 两端点在抛物线 2yx? 上移动，设点 P 为线段 MN 的中点，则点 P到 y 轴距离的 最小值为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 已知数列 ?na 满足： ? ?*1 1 22 , 2 ,1nna na n n Nan? ? ? ? ? （ 1）求数列 ?na 的通项公式
7、； （ 2）求数列 ?na 的前 n 项和 nS 18. 近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇，与此同时，相关管理部门推出了针对电商商品和服务的评价体系现从评价系统中选出 200 次成功交易，并对其评价进行统计，对商品好评率为 35 ，对服务好评率为 34 ，其中对商品和服务都做出好评的交易为 80 次 （ 1）是否可以在犯错误率不超过 0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？ （ 2）若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这 200 次交易中取出 5 次交易，并从中选择两次交易进行 客户回访，求只有一次好评的概率 注： 1. ? ?2 0P K k? 0.10 0.05 0.025
8、 0.010 0.005 0.001 0k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2. ? ? ? ? ? ? ? ? ?22 ,n a d b cK n a b c da b c d a c b d? ? ? ? ? ? ? ?19. 如图所示，在四棱锥 P ABCD? 中，四边形 ABCD 为菱形， PAD? 为正三角形，且 ,EF分别为 ,ADAB 的中点， PE? 平面 ABCD ， BE? 平面 PAD （ 1）求证： BC? 平面 PEB ； （ 2）求 EF 与平面 PDC 所成角的正弦值 - 5 - 20. 已知 12,FF分别是椭圆 2 2
9、:14xCy?的左、右焦点 （ 1）若 P 是第一象限内该椭圆上的一点，12 54PF PF ?，求点 P 的坐标； （ 2）设过 定点 ? ?0,2M 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 ,AB，且 AOB? 为锐角（其中， O 为坐标原点），求直线 l 的斜率 k 的取值范围 21. 已知函数 ? ? 3 lnaf x ax xx? ? ? （ 1）当 2a? 时，求 ?fx的最小值； （ 2）若 ?fx在 ? ?1,e 上为单调函数，求实数 a 的取值范围 22. 在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系圆 C 的极坐标方程哦 2co
10、s? ，直线 l 的参数方程为 212xtyt? ?（ t 为参数），直线 l 和圆 C 交于 ,AB两点， P 是圆 C 上不同于 ,AB的任意一点 （ 1）求圆心的极坐标； （ 2）求点 P 到直线 l 距离的最大值 试卷答案 - 6 - 一、选择题 1-5: ADCDC 6-10:BAAAA 11、 12： DC 二、 填空题 13. -9 14. 16 15. 22 16. 74 三、解答题 17.解：（ 1） ? ?*2241 2 3 12 3 4 22 2 2 2 ,1 2 3 1nnaaaa n n n Na a a a n? ? ? ? ? ? ? ? ?g g g L g，
11、以上式子相乘得 ? ?1*1 2 2 ,nna n n n Na ? ? ?g ， 代入 1 2a? ，得 ? ?*2 2 ,nna n n n N? ? ? ?g ， 又 1 2a? 符合上式，故数列 ?na 的通项公式为 ? ?*2nna n n N? ? ?g （ 2） ? ?21 2 2 2 2 nnSn? ? ? ? ? ? ?Lg， ? ?2 3 12 1 2 2 2 1 2 2nnnS n n ? ? ? ? ? ? ? ? ?L g g， 两式相减，得 ? ?2 3 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2n n n n nnS n n n? ? ? ? ? ?
12、 ? ? ? ? ? ? ? ? ?L g g g 18.解：（ 1）由题意可得关于商品评价和服务评价的 22? 列联表： 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 80 40 120 对商品不满意 70 10 80 合计 150 50 200 所以 ? ? 22 2 0 0 8 0 1 0 4 0 7 0 1 1 . 1 1 1 1 0 . 8 2 81 5 0 5 0 1 2 0 8 0K ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以可以在犯错误概率不超过 0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关 （ 2）若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这 200 次交易中取出 5 次交易，则好评
13、的交易次数为 3 次，不满意的次数为 2 次，令好评的交易为 ,ABC ，不满意的交易为 ,ab. 从 5 次交易中，取出 2 次的所有取法? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,A B A C A a A b B C B a B b C a C a a b共计 10 种情况 - 7 - 其中只有一次好评的情况是 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, , , , , , , , , , ,A a A b B a B b C a C b，共计 6 种情况 因此，只有一次好评
14、的概率为 63105? 19.（ 1）证明：因为 PE? 平面 ABCD ， BE? 平面 PAD ， 所以 ,PE AD BE AD?， 又 ,PE BE E PE?I 平面 ,PEB BE? 平面 PEB ，所以 AD? 平面 PEB ， 由四边形 ABCD 菱形，得 /AD BC ， 所以 BC? 平面 PEB （ 2）解： 以 E 为原点， ,EAEB EP 分别为 ,xyz 轴建立空间直角坐标系， 不妨设菱形 ABCD 的边长为 2，则 1, 2 , 3A E E D P A P E? ? ? ?， 22 3B E A B A E? ? ?， 则点 ? ? ? ? ? ? ? ? ?
15、 ? 131 , 0 , 0 , 0 , 3 , 0 , 2 , 3 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 3 , , , 022A B C D P F ? ?， ? ? ? ?1, 3 , 0 , 1, 0 , 3D C D P? ? ?uuur uuur， 设平面 PDC 的法向量为 ? ?,n x y z?r ， 则由 ? ? ? ? ? ? ?, , 1 , 3 , 0 3 0, , 1 , 0 , 3 3 0n D C x y z x yn D P x y z x z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?r u u urggr u uurgg ，解得 33xyxz?
16、 ? ? ， 不妨令 1z? ，得 ? ?3, 1,1n? ? ?r ； - 8 - 又 13, ,022EF ?uuur ， 所以 EF 与平面 PDC 所成角的正弦值为? ? 133 , 1 , 1 , , 022 15551n E Fn E F?r u uur ggur u uur 20.解：（ 1）由已知得 222 , 1, 3a b c a b? ? ? ? ?， 可得 ? ? ? ?123 , 0 , 3 , 0FF?， 设点 ? ? ?, 0, 0P x y x y?，则 ? ? ? ? 2212 53 , 3 , 3 4P F P F x y x y x y? ? ? ? ?
17、? ? ? ? ? ?u u ur u u urgg，得 2 74xy? . 联立22227414xyx y? ? ?，解得 132xy? ?，即 312P?，. （ 2）显然 0x? 不满足题意，可设直线 l 的方程为 2y kx?， 设 ? ? ? ?1 1 2 2, , ,A x y B x y， 联立 22214y kxx y? ?，消去 y 得 ? ?221 4 1 6 1 2 0k x kx? ? ? ?， 由 ? ? ? ?2 21 6 4 1 4 1 2 0kk? ? ? ? ?g，得 2 34k ? ， 由韦达定理，得1 2 1 2221 6 1 2,1 4 1 4kx x
18、x xkk? ? ? ?， 又 AOB? 为锐角，所以 0OAOB?uur uuurg ， 即 1 2 1 2 0x x y y?， 得 ? ? ?1 2 1 22 2 0x x kx kx? ? ? ?， 得 ? ? ? ?2 1 2 1 21 2 4 0k x x k x x? ? ? ? ?， 得 ? ?2221 2 1 61 2 4 01 4 1 4kkkkk? ? ? ? ?g， - 9 - 得 ? ?2244 014kk? ? ，可得 2 4k? ， 又 2 43k ? ，即为 24 43 k?，解得 332 , , 222k ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?U. 21.解：（ 1）当 2a? 时， ? ? 22 3 lnf x x xx? ? ?， ? ? 2222 3 2 3 22 xxfx x x x? ? ? ? ?. 令 ? ? 0fx? ? ，得 2x? 或 12x? （舍） . x ? ?0,2 2 ? ?2,? ?fx? - 0 + ?fx 极小值
