1、 - 1 - 2018届高三第二次阶段性测试数学（文科）试题 一、 选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1已知集合 2 | 4 0A x x? ? ?， | 1 5B x x? ? ? ?，则 ()RA C B ? （ ） A ( 2,0)? B ( 2, 1)? C ( 2, 1? D ( 2,2)? 2.已知 a 是实数， 2aii? 是纯虚数，则 a? A. 12 B. 12? C. 1 D. 1? 3.“ 3x? ”是“ ? ?ln 2 0x?”的 A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要
2、条件 D.既不充分也不必要条件 4已知命题 p ：直线 2 2 0xy? ? ? 与直线 2 6 2 0xy? ? ?之间的距离 不大于 1， 命题 q ：椭圆 222 27 54xy?与双曲线 229 16 144xy?有相同的焦点， 则下列命题为真命题的是（ ） A ()pq? B ()pq? C ( ) ( )pq? ? ? D pq? 5.执行如图所示的程序框图，则输出的 ?S （ ） A 8 B 9 C.72 D 288 6欧阳修卖油翁中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐杓酌滴沥之，自钱孔入，而钱不湿 ，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱是直径为 1.5c
3、m 的圆，中间有边长为 0.5cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入空中的概率为（ ） A 916 B 14 C 41 9? D 49? 7.函数 2( ) ( 2 ) xf x x x e?的图象大致是（ ） - 2 - A B C. D 8.在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 1F ， 2F 在 x 轴上，离心率为 12 ，点 P 为椭 圆上一点，且 12PFF? 的周长为 12，那么 C 的方程为（ ） A 2 2 125x y? B. 22116 4xy? C. 22125 24xy? D. 22116 12xy? 9.如
4、图所示是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积为 A 163? B 643 C.16 643? D 16 64? 10.设数列 ?na 的各项均为正数，且 ? ? ? ? ? Nnpaaa nn 218 ,64 ，其中 P 为正的实常数，则 ? 131153 aaaa A 81 B 64 C.48 D 32 11已知函数 ( ) s in ( ) ( 0 , | | )2f x x ? ? ? ? ? ? ?，其图像相邻两条对称轴之间的距离为 2? ，且函数 ()12fx? 是偶函数，则下列判断正确的是（ ） A函数 ()fx的最小正周期为 2? B函数 ()fx在区间 3 , 4? 上单调
5、递增 C 函数 ()fx的图象关于直线 712x ? 对称 D函数 ()fx的图象关于点 7( ,0)12? 对称 12过双曲线 22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?的右顶点 A 作斜率为 -1 的直线 l ，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 ,BC，若 12AB BC? ，则此双曲线的离心率是（ ） A 2 B 3 C 2 D 5 二、填空题（每题 5分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13设向量 (2, )am? ， (1, 1)b?，若 ( 2 )b a b? ，则实数 m 的值为 - 3 - 14.若实数 yx, 满足?125x yxyx 则 yxz 2?
6、 的最小值是 15已知曲线 2() 1axfx x? ? 在点 (1, (1)f 处切线的斜率为 1，则实数 a 的值为 16.若两个正实数 yx, 满足 ,114 ?yx且 mmyx 64 2 ? 恒成立，则实数 m 的最大值是 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. （本题满分 10分） 在 ABC 中，角 A、 B、 C所对的边分别为 a,b， c已知 c=2 acosB bcosA=72 。 （ 1）求 bcosA的值； （ 2）若 a=4求 ABC 的面积。 18. （本题满分 10分） 如图 ，点 P 是平行四边形 ABC
7、D 所在平面外一点， PBC? 是等边三角形，点 A 在平面 PBC的正投影 E 恰好是 PB 中点 . （ 1）求证： /PD 平面 ACE ； (2)若 AB PA? ， 2BC? ，求点 P 到平面 ABCD 的距离 . 19.（本题满分 12分） 已知 na 是等差数列，其前 n 项和为 nS ， nb 是等比数列，且 112ab?， 4427ab? ， 4410Sb? （ 1）求数列 na 与 nb 的通项公式； （ 2）求 1 1 2 2n n nT a b a b a b? ? ? ?的值 20 （本题满分 12分） 已知点 (0, 2)A ? ，椭圆 E ： 22 1( 0)x
8、y abab? ? ? ?的离心率为 32 ，- 4 - 235?OABS? ?01: 2222 ? babyaxCF 是椭圆的右焦点，直线 AF 的斜率为 233 ， O 为坐标原点 （ 1）求椭圆 E 的标准方程； （ 2）设过点 A 的动直线 l 与椭圆 E 相交于 ,PQ两点，当 POQ? 的面积最大时，求直线 l 的方程 21 （本题满分 13分） 已知函数 21( ) ( ) ln ( )2f x a x x a R? ? ? ? （ 1）当 1a? 时，求函数 ()fx在区间 1,e 上的最大值和最小值； （ 2）若在区间 (1, )? 内，函数 ()fx的图象恒在直线 2y a
9、x? 下方，求实数 a 的取值范围 22 （本题满分 13 分） 已知 椭圆的离心率 ，为长轴 的一个顶点为 A ，短轴的一个顶点为 B ， O 为坐标原点，且 （ ）求椭圆 C 的标准方程； （）直线 mxyl ?: 与椭圆 C 交于 QP, 两点，且直线 l 不经过点 ），（ 14M .记直线MQMP, 的斜率分别为 21,kk ，试探究 21 kk? 是否为定值 .若是，请求出该定值，若不是，请说明理由 . - 5 - 试卷答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A B B C D B D C D B D 二、填空题 13 6 14 320 15 43
10、 16 8 三、解答题 17. (本题满分 10分 ) (1) 27coscos ? AbBa，根据余弦定理得，2722 222222 ? bc acbbac bcaa， 722 ?ba 432c o s 222 ? c acbAb. (2) 由27coscos ? AbBa及43cos ?Ab，得411cos ?Ba. 又 4?a ， 1611cos ?B， 16153c o s1sin 2 ? BB， 1543sin21 ? BacS ABC. . 18.解：（ 1）证明：连 BD 交 AC 于点 F ， 四边形 ABCD 是平行四边形， ?F 是 BD 的中点， 又 E 是 PB 的中点
11、， ? EFPD/ ， 又 ?PD 平面 ACE ， ?EF 平面 ACE ， ? /PD 平面 ACE . （ 2） 点 A 在平面 PBC 的正投影恰好是 PB 中点， ? ?AE 平面 PBC ， E 是 PB 的中点， 又 ?PBCE, 平面 PBC ， ? PBAECEAE ? , ， - 6 - 在 PAB? 中， E 是 PB 的中点， PAAB? ， ? PAB? 是等腰直角三角形， 2,1 ? ABAE ， 在等边 PBC? 中， 312 22 ?CE ， 在 ACERt? 中， 222 ? CEAEAC ， 在等腰三角形 ABC? 中，2722222122 ? ABCS，
12、设点 P 到平面 ABCD 的距离为 d ， 由 PBCAABCP VV ? ? 得 AESdSPBCABC ? ? 3131， ? 7212732 ?ABCPBCS SAEd . 19（ 1） 32dq?， 31nan?， *2 ( )nnb n N? （ 2） 232 2 5 2 8 2 ( 3 1 ) 2 nnTn? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 2 3 4 12 2 2 5 2 8 2 ( 3 1 ) 2 nn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ，得： 2 3 12 2 3 2 3 2 3 2 ( 3 1 ) 2nnn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
13、， 18 8 2 3 2nnnTn ? ? ? ? ? 20（ 1） E 的方程为： 2 2 14x y?； （ 2）当 lx? 轴时，不合题意， 故设 l ： 2y kx?， 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y， 联立 22214y kxx y? ?，得： 22(1 4 ) 1 6 1 2 0k x kx? ? ? ? 当 216(4 3) 0k? ? ? ?，即 2 34k ? 时， 从而 22212 24 1 4 3| | 1 | | 41kkP Q k x x k? ? ? ? ? - 7 - 又点 O 到直线 PQ 的距离22 1d k? ? OPQ? 的面
14、积为 221 4 4 3|2 4 1O P Q kS P Q d k? ? ?， 设 24 3 ( 0)k t t? ? ?， 则24 4 4 14424O P QtS tt t? ? ? ? ? ?，当且仅当 4t t? ，即 2t? 时取“ =” 24 3 2k ?，即 72k? 时等号成立，且满足 0? ， 当 OPQ? 的面积最大时， l 的方程为 7 22yx?或 7 22yx? ? 21（ 1）当 1a? 时， 21( ) ln2f x x x?， 2 11() xf x x xx? ? ?， 对于 1, xe? ，有 ( ) 0fx? ， ()fx在区间 1,e 上为增函数， 2
15、m ax( ) ( ) 1 2ef x f e? ? ?，min 1( ) (1) 2f x f? （ 2）令 21( ) ( ) 2 ( ) 2 ln2g x f x a x a x a x x? ? ? ? ? ?，则 ()gx的定义域为 (0, )? 在区间 (1, )? 上，函数 ()fx的图象恒在直线 2y ax? 下方等价于 ( ) 0gx? 在区间 (1, )? 上恒成立 2 1 ( 2 1 ) 2 1 ( 1 ) ( 2 1 ) 1 ( ) ( 2 1 ) 2 a x a x x a xg x a x a x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 若 12a? ，
16、令 ( ) 0gx? ，得极值点 1 1x? ，2 121x a? ? 当 211xx?，即 1 12 a?时，在 2( , )x ? 上有 ( ) 0gx? 此时， ()gx在区间 2( , )x ? 上是 增函数，并且在该区间上有 2( ) ( ( ), )g x g x? ?，不合题意； 当 211xx?，即 1a? 时，同理可知， ()gx在区间 (1, )? 上，有 ( ) ( (1), )g x g? ?，也不合题意； - 8 - 若 12a? ，则有 2 1 0a? ，此时在区间 (1, )? 上恒有 ( ) 0gx? 从而 ()gx在区间 (1, )? 上是减函数 要使 ( )
17、 0gx? 在此区间上恒成立，只需满足 11(1) 022g a a? ? ? ? ? ? ? 由此求得 a 的范围是 11 , 22? 综合可知，当 11 , 22a? 时，函数 ()fx的图象恒在直线 2y ax? 下方 22（ 1）椭圆 C 的方程为 1520 22 ?yx （ 2）结论： 021 ?kk ，证明如下： 设 ? ? ? ?2211 , yxQyxP ， 联立? ? ? 152022 yxmxy ，得 020485 22 ? mmxx ， ? ? ? ? 0204208 22 ? mm ，解得 55- ?m ， 5 204,58 22121 ? mxxmxx . ? ? ? ? ? ? ? ?44 41414141211221221121 ? ? xx xyxyxyxykk ， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?44 185244 4141 21 212121 1221 ? ? ? xx mxxmxxxx xmxxmx? ? ? ? ? ? ? ? 044185 585 2042212? ? xx
