1、 - 1 - 湖南省长沙市 2018 届高三数学上学期第三次（ 11 月）月考试题 理 时量： 120 分钟 满分： 150 分 第 卷 一、选择题：本大题共 12 小题 ， 每小题 5 分 ， 共 60 分 ， 在每小题的四个选项中 ， 只有一项是符合题目要求的 (1)复数 21 i ( )1 i2的共轭复数是 (B) (A)1 3i (B)1 3i (C) 1 3i (D) 1 3i (2)已知集合 A x|y log2（ 5 x） ， B y|y 2x 1 ， 则 A B (C) (A)0， 5) (B)(0， 5) (C)R (D)(0， ) (3)张丘建算经是我国古代内容极为丰富的数
2、学名著 ， 书中有如下问题： “ 今有女不善织 ， 日减功迟 ， 初日织五尺 ， 末日织一尺 ， 今共织九十尺 ， 问织几日？ ” ， 已 知 “ 日减功迟 ” 的具体含义是每天比前一天少织同样多的布 ， 则此问题的答案是 (C) (A) 10 日 (B) 20 日 (C) 30 日 (D) 40 日 【解析】易知每日织布数量构成一个等差数列 ， 设此数列为 an ， 则 a1 5， an 1， Sn90. 所以 n（ 5 1）2 90， 解得 n 30， 选 C. (4)已知函数 f(x)?x2， 0 x0； P3： ? ( )x， y D， x y0 成立 又 an是公比大 于 0 的等比
3、数列 ， 且 a5a6a7 1， 所以 a6 1. 故 a2a10 a3a9 a4a8 a5a7 a6 1; 故 f(a2) f(a3) ? f(a10) f(a2) f(a10) f(a3) f(a9) ? f(a5) f(a7) f(a6)0， 所以 f(a1) f(a2) ? f(a10) f(a1) a1， 若 a11， 则 a1ln a1 a1， 则 a1 e; 若 00， 则 cos C 12， 又 C(0 ， )， 所以 C 3.(5 分 ) () 令 ABC 的内切圆半径为 R， 有 12absin 3 123 R， 则 R 36 ab， 由余弦定理得 a2 b2 ab (3
4、a b)2， 化简得 3 ab 2(a b)， (8 分 ) 而 a b2 ab， 故 3 ab4 ab， 解得 ab3 或 ab1.(10 分 ) 若 ab3 ， 则 a， b 至少有一个不小于 3， 这与 ABC 的周长为 3 矛盾； 若 ab1 ， 则当 a b 1 c 时 ， R 取最大值 36 . 综上 ， 知 ABC 的内切圆最大面积值为 Smax ? ?362 12.(12 分 ) (18)(本小题满分 12 分 ) 如图 ， 四棱锥 P ABCD 中 ， 底面 ABCD 为 矩形 ， 侧面 PAD 为正三角形 ， 且平面 PAD 平面ABCD， E 为 PD 中点 ， AD 2
5、. () 求证： 平面 AEC 平面 PCD. () 若二面角 A PC E 的平面角大小 满足 cos 24 ， 求四棱锥 P ABCD 的体积 【解析】 () 取 AD 中点为 O， BC 中点为 F， 由侧面 PAD 为正三角形 ， 且平面 PAD 平面 ABCD 知 PO 平面 ABCD， 故 FO PO， 又 FO AD， 则 FO 平面 PAD， 所以 FO AE， 又 CD FO， 则 CD AE， 又 E 是 PD 中点 ， 则 AE PD， 由线面垂直的判定定理知 AE 平面 PCD， 又 AE? 平面 AEC， 故平面 AEC 平面 PCD.(6 分 ) - 6 - ()
6、如图所示 ， 建立空间直角坐标系 O xyz， 令 AB a， 则 P(0， 0， 3)， A(1， 0， 0)， C( 1， a， 0) 由 () 知 EA ? ?32， 0， 32 为平面 PCE 的法向量 ， 令 n (1， y， z)为平面 PAC 的法向量 ， 由 于 PA (1， 0， 3)， CA (2， a， 0)均与 n 垂直 ， 故?n PA 0，n CA 0，即 ?1 3z 0，2 ay 0， 解得?y 2a，z 33 ，故 n ? ?1， 2a， 33 ， 由 cos ?EA n| |EA | |n?13 43 4a2 24 ， 解得 a 3.(10分 ) 故四棱锥 P
7、 ABCD 的体积 V 13SABCD PO 132 3 3 2.(12 分 ) (19)(本小题满分 12 分 ) 一只袋中放入了大小一样的红色球 3 个 ， 白色球 3 个 ， 黑色球 2 个 () 从袋中随机取出 (一次性 )2 个球 ， 求这 2 个球为异色球的概率； () 若从袋中随机取出 (一次 性 )3 个球 ， 其中红色球、白色球、黑色球的个数分别为 a、b、 c， 令随机变量 表示 a、 b、 c 的最大值 ， 求 的分布列和数学期望 【解析】 () 设事件 A 表示 “ 从袋中随机取出 (一次性 )2 个 球 ， 这 2 个球为异色球 ” ， 则 P(A) 1 C23 C2
8、3 C22C28 34.(5 分 ) 注：也可直接求概率 P(A) C13C13 2C13C12C28 34. () 的可能取值为 1， 2， 3. P( 3) 2C33C38 128， P( 2)2C23C15 C22C16C38 914， P( 1)C13C13C12C38 928， 则 的分布列为 1 2 3 P 928 914 128 - 7 - 于是 ， E 1 928 2 914 3 128 127.(12 分 ) (20)(本小题满分 12 分 ) 已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的离心率为12， 以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为 4 3. () 求椭圆
9、 C 的方程； () 如图所示 ， 记椭圆的左、右顶点分别为 A、 B， 当动点 M 在定直线 x 4 上运动时 ， 直线 AM、 BM 分别交椭圆于 P、 Q 两点 ， 求四边形 APBQ 面积的最大值 【解析】 () 由题设知 a 2c， 2ab 4 3， 又 a2 b2 c2， 解得 a 2， b 3， c 1， 故椭圆 C 的方程为 x24y23 1.(4 分 ) () 由于对称性 ， 可令点 M(4， t)， 其中 t0. 将直线 AM 的方程 y t6(x 2)代入椭圆方程 x24y23 1， 得 (27 t2)x2 4t2x 4t2 108 0， 由 xA xP 4t2 1082
10、7 t2 ， xA 2 得 xP2t2 5427 t2 ， 则 yP18t27 t2.(6 分 ) 再将直线 BM 的方程 y t2(x 2)代入椭圆方程 x24y23 1， 得 (3 t2)x2 4t2x 4t2 12 0， 由 xB xQ 4t2 123 t2 ， xB 2 得 xQ2t2 63 t2 ， 则 yQ 6t3 t2.(8 分 ) 故四边形 APBQ 的面积为 S 12| |AB | |yP yQ 2| |yP yQ 2? ?18t27 t2 6t3 t2 48t（ 9 t2）（ 27 t2）（ 3 t2） 48t（ 9 t2）（ 9 t2） 2 12t2489 t2t 12t
11、9 t2.(10 分 ) 由于 9 t2t 6， 且 12 在 6， ) 上单调递增 ， 故 12 8 ， 从而 ， 有 S 48 126. 当且仅当 6， 即 t 3， 也就是点 M 的坐标为 (4， 3)时 ， 四边形 APBQ 的面积取最大值6.(12 分 ) - 8 - 注：本题也可先证明 ” 动直线 PQ 恒过椭圆 的右焦点 F(1， 0)” ， 再将直线 PQ 的方程 xty 1(这里 t R)代入椭圆方程 x24y23 1， 整理得 (3t2 4)y2 6ty 9 0， 然后给出面积表达式 S 2| |yP yQ 2 （ yP yQ） 2 4yPyQ 2 48（ 3t2 3）（
12、3t2 4） 2 ， 令 m t2 11 ， 则 S 24 m9m2 6m 1 24 19m 1m 66 ， 当且仅当 m 1 即 t 0 时 ， Smax 6. (21)(本小题满分 12 分 ) 已知函数 f(x) ex ax(其中 e 为自然对数的底数 )， g(x) 4ln(x 1) () 当 a 1 时 ， 求 f(x)的最小值； () 记 h(x) f(x) g(x)， 请证明下列结论： 若 a4 ， 则对任意 x0， 有 h(x)1； 若 a5 ， 则存在实数 x0， 使 h(x)0 时 ， f (x)0， 即 f(x)在 (0， ) 上单调递增 故 f(x)min f(0) 1
13、.(4 分 ) () h(x) ex ax 4ln(x 1)， 则 h( x) ex 4x 1 a. 若 a4 ， 由 (1)知 f(x) ex x1 ， 即 ex x 1， 于是 h( x) ex 4x 1 a x 1 4x 1 a2 （ x 1） 4x 1 a 4 a0 ， 所以 h(x)在 (0， ) 上单调递增 ， 则 对任意 x0， 有 h(x)h(0) 1； (8 分 ) 若 a5 ， 令 (x) h( x) ex 4x 1 a. 则 ( x) ex 4（ x 1） 2在 (0， ) 上单调递增 ， 且 (0) 30， 故存在唯一的 x0 (0， 1)， 使 ( x0) 0， 则当
14、 x(0 ， x0)时 ， (x)0)， 过 点 P( 2， 4)的直线 l 的参数方程为?x 2 22 t，y 4 22 t(t 为参数 )， 直线 l 与曲线 C 相交于 A、 B 两点 () 写出曲线 C 的直角坐标系方程和直线 l 的普通方程； () 若 |PA| PB| |AB|2， 求 a 的值 - 9 - 【解析】 () 由 sin2 2acos (a0)， 得 2sin2 2a cos (a0)， 曲线 C 的直角坐标方程为 y2 2ax(a0)， 直线 l 的普通方程为 y x 2.(4 分 ) () 将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程 y2 2ax 中 ，
15、得 t2 2 2(4 a)t 8(4 a) 0， 设 A， B 两点对应的 参数分别为 t1， t2， 则有 t1 t2 2 2(4 a)， t1t2 8(4 a)， (6 分 ) |PA| |PB| |AB|2， t1t2 (t1 t2)2， 即 (t1 t2)2 5t1t2， (t1 t2)2 40(4 a)， a2 3a 4 0， 解之得： a 1 或 a 4(舍去 )， a 的值为 1.(10 分 ) (23)(本小题满分 10 分 )选修 4 5：不等式选讲 已知函数 f(x) | |x 6 | |m x (m R) () 当 m 3 时 ， 求不等式 f(x)5 的解集； () 若不等式 f(x)7 对任意实数 x 恒成立 ， 求 m 的取值范围 【解析】 () 当 m 3 时 ， f(x)5 即 |x 6| |x 3|5 ， 当 x3 时 ， 得 95 ， 成立 ， 所以 x3. 故不等式 f(x)5 的解集为 x|x1 (5 分 ) () 因为 |x 6| |m x| x 6 m x| |m 6|， 由题意得 |m 6|7 ， 则 7 m 67 ， 解得 13 m1 ， 故 m 的取值范围是 13， 1 (10 分 )
