1、第第1 1课时函数的概念课时函数的概念第三章第三章内容索引课前篇课前篇 自主预习自主预习课堂篇课堂篇 探究学习探究学习课标阐释思维脉络1.理解函数的概念,了解构成函数的要素.(数学抽象)2.会求一些简单函数的定义域和值域.(数学运算)课前篇课前篇 自主预习自主预习【激趣诱思】一个人的体重(千克)与身高(厘米)有一定的关系,民间有一个粗略的公式,根据身高算出正常的体重:男性标准体重(千克)=身高(厘米)-100,女性标准体重(千克)=身高(厘米)-102.下表给出的是我国成年女子标准体重的参照数据.身高标准体重150 cm49.5 kg152 cm50.8 kg154 cm52.2 kg156
2、cm53.5 kg158 cm54.9 kg160 cm56.3 kg162 cm57.7 kg164 cm59.2 kg166 cm60.6 kg168 cm62.1 kg170 cm63.6 kg172 cm65.1 kg174 cm66.6 kg请算算你体重正常吗?如果你算出来的数据与标准体重差距较大,就说明你体重不够标准.【知识点拨】知识点一、函数的概念1.函数的定义 初中在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么就称y是x的函数高中一般地,给定两个非空实数集A与B,以及对应关系f,如果对于集合A中的每一个实数x,在集合B中都有
3、唯一确定的实数y与x对应,则称f为定义在集合A上的一个函数,记作y=f(x),xA,其中x称为自变量,y称为因变量,自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域,所有函数值组成的集合yB|y=f(x),xA称为函数的值域名师点析 1.函数有三要素:定义域、值域、对应法则.2.因为函数的值域被函数的定义域和对应法则完全确定,所以确定一个函数就只需两个要素:定义域和对应法则.3.要检验给定两个变量之间是否具有函数关系,只要检验:(1)定义域和对应法则是否给出;(2)根据给出的对应法则,自变量x在其定义域中的每一个值,是否都能确定唯一的函数值y.微练习下列式子能否确定y是x的函数?(1)x2+y
4、2=4;知识点二、同一函数一般地,如果两个函数表达式表示的函数定义域相同,对应法则也相同(即对自变量的每一个值,两个函数表达式得到的函数值都相等),则称这两个函数表达式表示的就是同一函数.要点笔记 如果两个函数的定义域相同,并且对应法则完全一致,那么这两个函数就相同.例如f(x)=x+1,xR与函数f(t)=t+1,tR表示同一函数.微拓展同一函数的判定两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时,才是同一函数,这说明:(1)定义域不同,两个函数也就不同.(2)对应法则不同,两个函数也是不相同的.(3)即使定义域和值域都分别相同的两个函数,也不一定是同一函数,因为函数的定义域和值域不能唯一地确定
5、函数的对应法则.课堂篇课堂篇 探究学习探究学习探究一探究一求函数的定义域求函数的定义域例1求下列函数的定义域:分析本题主要考查函数的定义域.只给出函数的关系式,而没有指明它的定义域,那么函数的定义域就是使函数关系式有意义的实数的全体构成的集合.反思感悟 函数定义域的求法1.求函数的定义域之前,不能对函数的解析式进行变形,否则可能会引起定义域的变化.2.求函数定义域的基本原则有:(1)如果f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R.(2)如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.(3)如果f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.(4)
6、如果f(x)是由几个数学式子构成的,那么函数的定义域是使各式子都有意义的实数的集合(即求各部分定义域的交集).(5)对于由实际问题的背景确定的函数,其定义域还要受实际问题的制约.延伸探究在本例(4)条件不变的情况下,求函数y=f(x+1)的定义域.解 由1x+13,得0 x2,所以函数的定义域为0,2.探究二探究二同一函数的判断同一函数的判断例2下列各组函数是否表示同一函数?为什么?(4)f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1;(5)f(x)=1与g(x)=x0(x0).分析判断每一对函数的定义域是否相同,对应法则是否相同即可.解 对于(1),在公共定义域R上,f(x)=|x|和(
7、t)=|t|的对应法则完全相同,只是表示形式不同;对于(2),前者xR,后者x0,两者定义域不同;对于(3),前者定义域为0,+),后者定义域为(-,-10,+);对于(4),尽管两个函数的自变量一个用x表示,另一个用t表示,但它们的定义域相同,对应法则相同,对定义域内同一个自变量,根据表达式,都能得到同一函数值,因此二者为同一函数;对于(5),f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为(-,0)(0,+).故以上各对函数中,(1)(4)表示同一函数,(2)(3)(5)表示的不是同一函数.要点笔记 同一函数的判断方法定义域和对应法则,是确定一个函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的定义域和对应法
8、则分别相同时,这两个函数才是同一函数.变式训练 下列函数表示同一函数的是()A.y=2(x+1)与y=2xB.y=x(xZ)与y=x答案 D 探究三探究三简单函数值域的求法简单函数值域的求法分析求函数的值域没有统一的方法.如果函数的定义域是有限个值,那么就可将函数值都求出得到值域;如果函数的定义域是无数个值,那么可根据函数表达式的特点采取相应的方法来求其值域,如,观察法、配方法、换元法等.反思感悟 求函数值域的常用方法1.观察法:通过对函数关系式的简单变形,利用熟知的一些函数的值域,观察求得函数的值域.2.配方法:对二次函数型的解析式可先进行配方,在充分注意到自变量的取值范围的情况下,利用求二
9、次函数的值域的方法求函数的值域.3.换元法:通过对函数的关系式进行适当换元,可将复杂的函数化归为简单的函数,从而求出函数的值域.求函数的值域没有通用的方法和固定的模式,要通过自己在解题过程中逐渐探索和积累.素养形成素养形成抽象函数定义域的求法抽象函数定义域的求法典例(1)函数f(x)的定义域为2,3,求函数f(x-1)的定义域.(2)函数f(x-1)的定义域为2,3,求函数f(x)的定义域.解(1)函数f(x)的定义域为2,3,则函数f(x-1)中,2x-13,解得3x4,即函数f(x-1)的定义域为3,4.(2)函数f(x-1)的定义域为2,3,即2x3,则1x-12,所以函数f(x)的定义
10、域为1,2.方法点睛 求抽象函数定义域的原则及方法(1)原则:同在对应法则f下的范围相同,即f(t),f(x),f(h(x)三个函数中的t,(x),h(x)的范围相同.(2)方法:已知f(x)的定义域为A,求f(g(x)的定义域,其实质是已知g(x)A,求x的范围;已知f(g(x)的定义域为A,求f(x)的定义域,其实质是已知xA,求g(x)的范围,此范围就是f(x)的定义域.当堂检测当堂检测1.函数f(x)=+(x-2)0的定义域为()A.1,+)B.1,2)(2,+)C.(1,+)D.(1,2)(2,+)答案 D答案 B 3.(2020江西莲塘高一月考)已知函数f(x)的定义域为-1,1,
11、则函数f(2x-1)的定义域为.答案 0,1解析 f(x)的定义域为-1,1,-12x-11,0 x1.函数f(2x-1)的定义域为0,1.5.已知f(x)=x3+2x+3,求f(1),f(t),f(2a-1)和f(f(-1)的值.解 f(1)=13+21+3=6.f(t)=t3+2t+3.f(2a-1)=(2a-1)3+2(2a-1)+3=8a3-12a2+10a.f(f(-1)=f(-1)3+2(-1)+3)=f(0)=3.第第2 2课时函数的表示方法及用信息技术课时函数的表示方法及用信息技术 作函数图像作函数图像第三章第三章内容索引课前篇课前篇 自主预习自主预习课堂篇课堂篇 探究学习探究
12、学习课标阐释思维脉络1.会选择恰当的方法表示函数,并注意体会三种表示方法的区别与联系.(数学抽象)2.掌握求函数解析式的一般方法.(数学运算)3.了解简单的分段函数,并能简单应用.(逻辑推理)课前篇课前篇 自主预习自主预习【激趣诱思】(1)已建成的京沪高速铁路总长约1 318 km,设计速度目标值为380 km/h.若京沪高速铁路时速按300 km/h计算,火车行驶x h后,路程为y km,则y是x的函数,可以用y=300 x来表示,其中y=300 x叫做该函数的解析式.(2)如图是我国人口出生率变化曲线.(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表 污染源距离50100200300500
13、氰化物浓度0.6780.3980.1210.050.01问题:根据初中学过的知识,说出问题(1)、(2)、(3)分别是用什么法表示函数的?【知识点拨】知识点一、函数的表示方法 名师点析 函数的三种表示方法的优缺点 表示方法优点缺点列表法不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值只能表示自变量可以一一列出的函数关系图像法能形象直观地表示出函数的变化情况只能近似地求出自变量的值所对应的函数值,而且有时误差较大解析法一是简明、全面地概括了变量间的关系,从“数”的方面揭示了函数关系;二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值不够形象、直观、具体,而且并不是所有的函数都能用解析法表示
14、出来微练习购买某种饮料x听,所需钱数是y元.若每听2元,试分别用解析法、列表法、图像法将y表示成x(x1,2,3,4)的函数,并指出函数的值域.解(解析法)y=2x,x1,2,3,4.(列表法)x1234y2468(图像法)该函数的值域为y2,4,6,8.知识点二、用集合语言对函数的图像进行描述一般地,将函数y=f(x),xA中的自变量x和对应的函数值y,分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标,则满足条件的点(x,y)组成的集合F称为函数的图像,即F=(x,y)|y=f(x),xA.这就是说,如果F是函数y=f(x)的图像,则图像上的任意一点的坐标(x,y)都满足函数关系y=f(x);反之
15、,满足函数关系y=f(x)的点(x,y)都在图像F上.微思考 如何判断一个图形是否为一个函数的图像?提示 判断一个图形是否为函数图像,关键是判断定义域内的任意一个自变量是否有唯一的一个函数值与之对应.即要检验一个图形是否是一个函数的图像,可以作x轴的垂线,在定义域范围内,平移垂线,若垂线与图形有一个交点,则该图形就表示函数的图像,否则,该图形不是函数的图像.知识点三、分段函数如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的对应方式,则称其为分段函数.名师点析 学习分段函数应注意(1)分段函数是一个函数,而不是几个函数.(2)处理分段函数问题时,要首先确定自变量的取值属于哪一个范围
16、,然后选取相应的对应关系.要注意写解析式时各区间端点的开闭,做到不重复、不遗漏.(3)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是分别求出各段上的值域后取并集.微练习(1)求f(f(-2)的值;(2)若f(a)=4,求实数a的值.解(1)f(-2)=-(-2)=2,f(f(-2)=f(2)=4.(2)当a0时,f(a)=a2=4,a=2.当a0时,f(a)=-a=4,a=-4.综上可知,a=-4或a=2.课堂篇课堂篇 探究学习探究学习探究一探究一画函数图像画函数图像例1作出下列函数的图像:(1)y=-x+1,xZ;(2)y=2x2-4x-3(0 x3);(3)y=|1-x|;分析作函数图像,首先
17、明确函数的定义域,其次明确函数图像的形状,体会定义域对图像的控制作用,处理好端点.如第(4)小题x=0时的情况.作图时,如第(2)小题,先不受定义域限制作出完整的抛物线,然后再根据定义域截取.函数图像的形状可以是一条或几条无限长的平滑曲线,也可以是一些点、一些线段、一段曲线等.解(1)定义域为Z,所以图像为离散的点.图像如图1所示.(2)y=2x2-4x-3=2(x-1)2-5(0 x3),定义域不是R,因此图像不是完整的抛物线,而是抛物线的一部分.图像如图2所示.(3)先根据绝对值的定义去掉绝对值号,再写成分段函数 图像如图3所示.(4)这个函数的图像由两部分组成.当0 x1时,为抛物线y=
18、x2的一段;当-1x2,解得x0后,需与x-2求交集,得x0;当x2,得x-4,与x-2求交集,得x0与x2,得x+22,解得x0,故x0;当x2,得-x-22,解得x-4,故xf(x)的x的取值范围是.解析 方法一(代数法)根据题意求x的取值范围,需分四种情况讨论,具体如下:当1-x0,且x0,即0 x1时,由f(1-x)f(x),得(1-x)2x2,解得x ,所以0 x ;当1-x0,且x0,即xf(x),得(1-x)2+11,解得x1,又x0,所以x0;当1-x0,且x0,此时x不存在,不满足要求;当1-x1时,由f(1-x)f(x),得1x2+1,此时不成立.综上可知,所求x的取值范围
19、是方法二(数列结合法)方法点睛 函数的图像与函数值间具有密切的关系,在函数图像上方的函数值大于下方所有函数图像对应的函数值,故可以根据函数图像的上、下位置关系,把不等式的解的问题转化为数量关系求解,如本例中借助分段函数的图像可以直接把求解的问题转化为1-x与x的关系求解.当堂检测当堂检测1.已知函数f(x),g(x)分别由下表给出:x123f(x)211x123g(x)321则f(g(1)=()A.2B.1C.3D.不确定答案 B答案 B 3.(多选题)(2020广东佛山高一检测)下列四个图形中可能是函数y=f(x)图像的是()答案 AD解析 在A,D中,对于定义域内每一个x都有唯一的y与之相
20、对应,满足函数关系,在B,C中,存在一个x有两个y与x对应,不满足函数对应的唯一性,故选AD.4.(2021重庆巴蜀中学高一期末)已知函数f(x)满足f(x-1)=2x,则f(x)的解析式为()A.f(x)=2x-1B.f(x)=2(x-1)C.f(x)=2x+1D.f(x)=2(x+1)答案 D解析 令x-1=t,则x=t+1,代入得f(t)=2(t+1),即f(x)=2(x+1).故选D.5.某客运公司确定客票价格的方法是:如果行程不超过100 km,那么票价是每千米0.5元;如果超过100 km,那么超过部分按每千米0.4元定价.则客运票价y(单位:元)与行程数x(单位:km)之间的函数
21、关系式是 .解析 由题意,得当0 x100时,y=0.5x;当x100时,y=1000.5+(x-100)0.4=10+0.4x.第第1 1课时函数的单调性课时函数的单调性第三章第三章内容索引课前篇课前篇 自主预习自主预习课堂篇课堂篇 探究学习探究学习课标阐释1.理解函数的单调性的概念.(逻辑推理)2.会用函数单调性的定义判断和证明一些简单函数的单调性.(逻辑推理)3.能从给定的函数图像上直观得出函数的单调性及单调区间.(直观想象)4.掌握函数单调性的一些简单应用.(数学抽象)5.理解函数的平均变化率.(逻辑推理)思维脉络课前篇课前篇 自主预习自主预习【激趣诱思】德国有一位著名的心理学家艾宾浩
22、斯,对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试,得到了以下一些数据:时间间隔t刚记忆完毕20分钟后60分钟后89小时后1天后2天后6天后一个月后记忆量y(百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上数据表明,记忆量y是时间间隔t的函数,艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”,如图.问题:(1)当时间间隔t逐渐增大时,你能看出对应的函数值y有什么变化趋势?通过这个试验,你打算以后如何对待刚学过的知识?(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的,对此,我们如何用数学观点进行解释?【知识点拨】知识点一、函数单调性的概念一般地,设函数y=f(x)的
23、定义域为D,且ID.(1)如果对任意x1,x2I,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),则称y=f(x)在I上是增函数(也称在I上单调递增),如图1所示.(2)如果对任意x1,x2I,当x1f(x2),则称y=f(x)在I上是减函数(也称在I上单调递减),如图2所示.图1 图2 两种情况下,都称函数在I上具有单调性(当I为区间时,称I为函数的单调区间,也可分别称为单调递增区间或单调递减区间).名师点析 1.函数的单调性是函数在某个区间上的性质,这个区间可以是整个定义域,也可以是定义域的一部分,也就是单调区间是定义域的某个子集.2.对于单独一点,由于它的函数值是唯一确定的常数,没有增减变化,所
24、以不存在单调性问题,因此在书写单调区间时,可以包括端点,也可以不包括端点,但在某些点无意义时,单调区间不能包括这些点.微练习(1)已知四个函数的图像如图所示,其中在定义域内具有单调性的函数是()答案 B(2)如果(a,b),(c,d)都是函数f(x)的单调递增区间,且x1(a,b),x2(c,d),x1x2,则f(x1)与f(x2)的大小关系是()A.f(x1)f(x2)C.f(x1)=f(x2)D.不能确定答案 D解析 根据函数单调性的定义可知,所取的两个自变量的值必须在同一单调区间内才能由函数的单调性比较其函数值的大小,故选D.知识点二、函数的平均变化率一般地,当x1x2时,称 为函数y=
25、f(x)在区间x1,x2(x1x2时)上的平均变化率.微思考 给定平面直角坐标系中任意两点A(x1,y1),B(x2,y2),如何确定直线AB的斜率?提示 当x1x2时,直线AB的斜率为 ;当x1=x2时,直线AB的斜率不存在.知识点三、判断函数单调性的步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间I上的单调性的一般步骤:(1)任取x1,x2I,且x=x2-x10;(2)作差:y=f(x2)-f(x1);(3)变形(通常所用的方法有:因式分解、配方、分子有理化、分母有理化、通分等);(4)定号(即判断y的正负);(5)下结论(即指出函数f(x)在给定的区间I上的单调性).微练习求证:函数f(x)=在
26、区间0,+)上是增函数.课堂篇课堂篇 探究学习探究学习探究一探究一用定义法证明用定义法证明(判断判断)函数的单调性函数的单调性例1利用单调性的定义证明函数f(x)=在(-,0)内是增函数.分析解题的关键是对y=f(x2)-f(x1)合理变形,最终要变为几个最简单因式乘积或相除的形式,以便于判号.反思感悟 证明函数的单调性的步骤1.取值:设x1,x2为给定区间内任意的两个值,且x1x2(在证明函数的单调性时,由于x1,x2的取值具有任意性,它代表区间内的每一个数,所以在证明时,不能用特殊值来代替它们);2.作差变形:作差y=f(x2)-f(x1),并将差向有利于判断差值的符号的方向变形(作差后,
27、尽量把差化成几个简单因式的乘积或几个完全平方式的和的形式,这是值得学习的解题技巧,在判断因式的正负号时,经常采用这种变形方法);3.定号:判断符号的依据是自变量的取值范围、假定的大小关系及符号的运算法则;4.判断:根据定义作出结论(若x=x2-x1与y=f(x2)-f(x1)同号,则函数在给定区间是增函数;异号,则是减函数).探究二探究二利用图像求函数的单调区间利用图像求函数的单调区间例2已知xR,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图像,并结合图像写出函数的单调区间.分析首先分类讨论,去掉绝对值号,将函数化为分段函数,然后画出图像求解即可.由图像可知,函数的单调递增区间为(-,1
28、,2,+);单调递减区间为1,2.反思感悟 图像法求单调区间的关注点1.由函数的图像得出单调区间是常用的一种方法,但一定要注意画图的准确性及端点处的处理.若函数的定义域内不含端点,则要写成开区间;若端点在其定义域内,则写成开区间或闭区间均可,但最好加上区间端点.2.初中学过的一次函数、二次函数、反比例函数的单调区间可以作为常用结论,在某些题目中可以直接使用.3.常见的加绝对值的函数有两种,一种是y=f(|x|),自变量上加绝对值;另一种是y=|f(x)|,函数值上加绝对值.4.加绝对值的函数图像的两种画法:(1)通过讨论绝对值内的式子的正负,去掉绝对值符号,把函数化为分段函数,再依次画出分段函
29、数每一段的函数图像.(2)利用函数图像的变换,即通过图像间的对称变换,得到已知函数的图像.变式训练 2写出y=|x2-2x-3|的单调区间.所以y=|x2-2x-3|的单调递减区间为(-,-1,1,3;单调递增区间为-1,1,3,+).探究三探究三函数单调性的简单应用函数单调性的简单应用例3已知函数f(x)=x2+ax+b.(1)若函数f(x)的图像过点(1,4)和(2,5),求f(x)的解析式;(2)若函数f(x)在区间1,2上不单调,求实数a的取值范围.解(1)f(x)=x2+ax+b过点(1,4)和(2,5),f(x)=x2-2x+5.(2)由f(x)在区间1,2上不单调可知1-2,即-
30、4a-2,a的取值范围为(-4,-2).反思感悟 函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”:利用定义可以判断、证明函数的单调性,反过来,若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.(2)若一个函数在区间a,b上是单调的,则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.延伸探究把本例(2)条件“不单调”改为“单调”,求实数a的取值范围.解 由f(x)在区间1,2上单调可知 ,即a-4或a-2.a的取值范围为(-,-4-2,+).素养形成素养形成分类讨论思想在函数单调性中的应用分类讨论思想在函数单调性中的应用分析要讨论函数的单调性,只需要用定义判定,由于函数中含有参数,因此要注意分类讨
31、论思想的应用.解 设x1,x2是(-1,1)内的任意两个自变量,且x10时,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),此时f(x)在(-1,1)内是减函数;当a0时,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)0时,函数f(x)在(-1,1)内是减函数;当a0时,函数f(x)在(-1,1)内是增函数.方法点睛 1.讨论一个含参数的函数的单调性与证明一个函数的单调性的方法类似,都是利用定义,通过运算,判断f(x1)-f(x2)的正负,从而得出结论,若所含参数符号不确定,必须分类讨论.2.本题的规范解答中每一个环节都不能省略,既有开头和结尾形式上的要求,也有对f(x1)-f(x2)的正负判定进行
32、实质性说明.当堂检测当堂检测1.下列函数中,在区间(0,+)上不是增函数的是()A.y=2x+1B.y=3x2+1C.y=D.y=|x|答案 C 解析 由一次函数、二次函数、反比例函数及y=|x|的图像与性质知,只有选项C中的函数在区间(0,+)上不是增函数.故选C.2.下列命题正确的是()A.定义在(a,b)内的函数f(x),若存在x1x2,使得f(x1)f(x2),则f(x)在(a,b)内为增函数B.定义在(a,b)内的函数f(x),若有无数多对x1,x2(a,b),使得当x1x2时有f(x1)f(x2),则f(x)在(a,b)内为增函数C.若f(x)在区间I1上为增函数,在区间I2上也为
33、增函数,则f(x)在I1I2上为增函数D.若f(x)在区间I上为增函数,且f(x1)f(x2)(x1,x2I),则x1x2答案 D解析 根据函数单调性的定义来判断.3.已知函数y=f(x)的图像如图所示,则函数的单调递减区间为.4.已知函数f(x)=ax2-x+a+1在区间(-,2)内是减函数,则a的取值范围为.第第2 2课时函数的最大课时函数的最大(小小)值值第三章第三章内容索引课前篇课前篇 自主预习自主预习课堂篇课堂篇 探究学习探究学习课标阐释思维脉络1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义.(数学抽象)2.能借助函数的图像和单调性,求一些简单函数的最值(或值域).(直观想象)3.能
34、利用函数的最值解决有关的实际应用问题.(数学运算)课前篇课前篇 自主预习自主预习【激趣诱思】科考队对“早穿棉袄午穿纱,围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考察,如图是某天气温随时间的变化曲线.请根据曲线图说说气温的变化情况?问题1:该天的最高气温和最低气温分别是多少?问题2:设该天某时刻的气温为f(x),则f(x)在哪个范围内变化?问题3:从函数图像上看,气温的最大值(最小值)在什么时刻取得?【知识点拨】知识点、函数的最大(小)值的定义一般地,设函数f(x)的定义域为D,且x0D:如果对任意xD,都有f(x)f(x0),则称f(x)的最大值为f(x0),而x0称为f(x)的最大值点;如果
35、对任意xD,都有f(x)f(x0),则称f(x)的最小值为f(x0),而x0称为f(x)的最小值点.最大值和最小值统称为最值,最大值点和最小值点统称为最值点.要点笔记 若y=f(x)在区间a,b上单调递增,则函数y=f(x)的值域是f(a),f(b);若y=f(x)在区间a,b上单调递减,则函数y=f(x)的值域是f(b),f(a).微练习已知函数f(x)在-2,2上的图像如图所示,则该函数的最小值、最大值分别是()A.f(-2),0B.0,2C.f(-2),2D.f(2),2答案 C解析 由题图可知,该函数的最小值为f(-2),最大值为f(1)=2.课堂篇课堂篇 探究学习探究学习探究一探究一
36、利用函数的图像求函数的最值利用函数的图像求函数的最值例1已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图像,确定函数的最值情况,并写出值域.分析去绝对值分段函数作图识图结论由图像知,函数y=-|x-1|+2的最大值为2,没有最小值.所以其值域为(-,2.反思感悟 图像法求最值的基本步骤(1)画出f(x)的图像;(2)利用图像写出该函数的最大值和最小值.解(1)函数f(x)的图像如图所示.(2)由图像可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值.探究二探究二利用函数的单调性求最值利用函数的单调性求最值例2已知函数f(x)=x+.(1)判断f(x)在区间1,2上的单调性;(2)根据f(x)的单调性求出f
37、(x)在区间1,2上的最值.分析(1)证明单调性的流程:取值作差变形判断符号结论;(2)借助最值与单调性的关系,写出最值.反思感悟 1.利用单调性求函数最值的一般步骤(1)判断函数的单调性;(2)利用单调性写出最值.2.函数的最值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间a,b上单调递增(减),则f(x)在区间a,b上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).(2)若函数f(x)在区间a,b上单调递增(减),在区间(b,c上单调递减(增),则f(x)在区间a,c上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.(3)若函数f(x)在区间a,b上的图像是一条连
38、续不断的曲线,则函数f(x)在区间a,b上一定有最值.(4)求最值时一定要注意所给区间的开闭,若是开区间,则不一定有最大(小)值.延伸探究本例已知条件不变,判断f(x)在区间1,3上的单调性,并求f(x)在区间1,3上的最值.解 x1,x21,3,且x1x2,由本例知,f(x1)-f(x2)=.当1x1f(x2),f(x)在区间1,2上单调递减;当2x10,4x1x20,f(x1)20时,年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元.(年利润=年销售总收入-年总投资)(1)求y(单位:万元)与x(单位:件)的函数关系式;(2)当该工厂的年产量为多少件时,所得年利润最
39、大?最大年利润是多少?解(1)当020时,y=260-100-x=160-x.(2)当020时,160-x400时,f(x)60 000-10040025 000.当x=300时,f(x)max=25 000,即每月生产300台仪器时利润最大,最大利润为25 000元.素养形成素养形成利用数形结合思想与分类讨论思想求二次函数的最值利用数形结合思想与分类讨论思想求二次函数的最值典例 求函数y=x2-2ax-1在区间0,2上的最值.分析可变对称轴x=a与定区间0,2的相对位置关系结合单调性与图像求解解 y=(x-a)2-1-a2.当a0时,0,2是函数的单调递增区间,如图1.故函数在x=0处取得最
40、小值-1,在x=2处取得最大值3-4a.当0a1时,结合函数图像(如图2)知,函数在x=a处取得最小值-a2-1,在x=2处取得最大值3-4a.当12时,0,2是函数的单调递减区间,如图4.函数在x=0处取得最大值-1,在x=2处取得最小值3-4a.综上,当a0时,函数在区间0,2上的最小值为-1,最大值为3-4a;当0a1时,函数在区间0,2上的最小值为-a2-1,最大值为3-4a;当12时,函数在区间0,2上的最小值为3-4a,最大值为-1.方法点睛 1.探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出y=f(x)的草图,再根据图像的增减性进行研究.特别要注意二次函数图像的对称轴与所给区间
41、的位置关系,它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据.二次函数图像的对称轴与所给区间的位置关系通常有三种:(1)对称轴在所给区间的右侧;(2)对称轴在所给区间的左侧;(3)对称轴在所给区间内.2.对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k(a0)在区间m,n上的最值可作如下讨论:对称轴x=h与m,n的位置关系f(x)的单调性最大值最小值hn在m,n上单调递减f(m)f(n)mhnmh在m,h上单调递减,在(h,n上单调递增f(n)f(h)h=f(m)或f(n)f(h)hnf(m)f(h)变式训练 已知函数f(x)=x2-2x+2(其中xt,t+1,tR)的最小值为g(t),求g(t)的表达
42、式.解 由函数f(x)=x2-2x+2知其图像的开口向上,对称轴为x=1.下面分三种情况讨论:当t+11,即t0时,如图1所示,此时函数f(x)在区间t,t+1上单调递减,g(t)=f(t+1)=(t+1)2-2(t+1)+2=t2+1.当 即0t1时,如图2所示,此时,函数f(x)在区间t,1上单调递减,在区间(1,t+1上单调递增,g(t)=f(1)=1.当t1时,如图3所示,此时,函数f(x)在区间t,t+1上单调递增,g(t)=f(t)=t2-2t+2.当堂检测当堂检测答案 A 2.函数y=|x+1|+2的最小值是()A.0B.-1C.2D.3答案 C解析 y=|x+1|+2的图像如图
43、所示.由图可知函数的最小值为2.3.函数y=x2-2x,x0,3的值域为()A.0,3B.-1,0C.-1,+)D.-1,3答案 D解析 函数y=x2-2x=(x-1)2-1,x0,3,当x=1时,函数y取得最小值为-1,当x=3时,函数取得最大值为3,故函数的值域为-1,3,故选D.答案 11解析 f(x)在区间1,2上单调递增,其最大值为f(2)=10;f(x)在区间-4,1上单调递减,其最大值为f(-4)=11.故函数f(x)的最大值为11.5.把长为12 cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正方形,求这两个正方形面积之和的最小值.3.1.33.1.3函数的奇偶性函数的奇偶性第三章第三章内
44、容索引课前篇课前篇 自主预习自主预习课堂篇课堂篇 探究学习探究学习课标阐释1.结合具体函数,了解函数的奇偶性的含义.(逻辑推理)2.能根据奇偶性的定义判断和证明函数的奇偶性.(逻辑推理)3.能利用奇偶性来研究函数的定义域、值域、解析式、单调性及函数的图像等.(数学运算)思维脉络课前篇课前篇 自主预习自主预习【激趣诱思】在我们的日常生活中,可以观察到许多对称现象,如图,六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影上述材料中哪个图形是轴对称图形?哪个图形是中心对称图形?【知识点拨】知识点一、奇偶函数的定义一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-xD,名师点析 对函数奇偶性
45、定义的理解(1)函数的奇偶性是相对于定义域D内的任意一个x而言的,而函数的单调性是相对于定义域内的某个子集而言的,从这个意义上讲,函数的单调性属于“局部性质”,而函数的奇偶性则属于“整体性质”.(2)奇函数和偶函数的定义域在数轴上关于原点对称.微练习下列函数中,既是奇函数又是减函数的为()A.y=x-1B.y=3x2C.y=D.y=-x|x|答案 D知识点二、奇偶函数的图像特征(1)偶函数的图像关于 y轴 对称;反之,结论也成立,即图像关于y轴对称的函数一定是偶函数.(2)奇函数的图像关于原点对称;反之,结论也成立,即图像关于原点对称的函数一定是奇函数.名师点析 奇函数在其对称区间上的单调性相
46、同,偶函数在其对称区间上的单调性相反;若奇函数f(x)在区间a,b(0ab)上有最大值M,最小值m,则f(x)在区间-b,-a上的最大值为-m,最小值为-M;偶函数f(x)在区间a,b,-b,-a(0a0时,f(x)=x|x-2|,求当x0时,f(x)的表达式.分析已知函数f(x)是奇函数,可利用对称性求对称区间上的解析式.解 令x0.f(-x)=-x|-x-2|=-x|x+2|.f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x).f(x)=x|x+2|.故当x0时的解析式,则x0时的解析式,则x0时的解析式只需将原函数式y=f(x)中的x替换为-x,y不变,即得x0时的解析式.延伸探究若本例题中题干不
47、变,如何求当x0时,f(x)的表达式?解 只需将f(0)单独求出.因为f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,所以f(0)=0.又因为f(x)=x|x+2|,x0,所以f(x)=x|x+2|,x0.探究三探究三奇、偶函数图像的应用奇、偶函数图像的应用例3若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-,0上是增函数,若f(2)=0,则使f(x)0的x的取值范围是()A.(-,2)B.(-2,2)C.(-,-2)(2,+)D.(2,+)答案 C解析 由偶函数f(x)在(-,0上为增函数,且f(2)=0,可知函数f(x)在0,+)上为减函数,且f(-2)=f(2)=0.于是可得出如图的草图.由图可知使f
48、(x)0的x的取值范围是(-,-2)(2,+),故选C.反思感悟 函数奇偶性的应用1.研究函数图像时,要注意对函数性质的研究,这样可避免作图的盲目性和复杂性.2.利用函数的奇偶性作图,其依据是奇函数图像关于原点对称,偶函数图像关于y轴对称.因此在研究这类函数的性质(或图像)时,可通过研究函数在y轴一侧的性质(或图像),便可推断出函数在整个定义域上的性质(或图像).变式训练 2奇函数f(x)的定义域为-5,5,它在y轴右侧的图像如图所示,则f(x)0的x的取值集合为.答案 x|-2x0或2x5解析 奇函数f(x)在-5,5上的图像如图所示,由图像可知,x(2,5)时,f(x)0.因为其图像关于原
49、点对称,所以x(-5,-2)时,f(x)0;x(-2,0)时,f(x)0,所以使f(x)0的x的取值集合为x|-2x0或2x5.素养形成素养形成利用函数的单调性与奇偶性解不等式利用函数的单调性与奇偶性解不等式典例 设定义在-2,2上的奇函数f(x)在区间0,2上是减函数,若f(1-m)f(x2)或f(x1)0)=b2-4ac0=00=00f(x)=0的根有两个不等的实根x1,x2,且x10的解集x|xx2Rf(x)0的解集x|x1xx2微思考(1)二次函数没有零点的等价说法是什么?提示 二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0),当=b2-4ac0时,函数y=f(x)没有零点,则函数y=f(x
50、)的图像与x轴没有交点.(2)如果一元二次不等式ax2+bx+c0的解集为R,你能得出什么结论?如果一元二次不等式ax2+bx+c0的解集为,结论又如何?提示 如果一元二次不等式ax2+bx+c0的解集为R,知识点三、零点存在定理及分类(1)函数零点存在定理:如果函数y=f(x)在区间a,b上的图像是连续不断的,并且 f(a)f(b)0(即在区间两个端点处的函数值异号),则函数y=f(x)在区间(a,b)中至少有一个零点,即x0(a,b),f(x0)=0.(2)分类:名师点析(1)一个函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点必须同时满足:函数f(x)在a,b上的图像是一条连续不断的曲线;f(a
