1、2.1.3函数的单调性第二章2.1函 数学习目标1.理解函数单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考知识点一函数的单调性画出函数f(x)x、f(x)x2的图象，并指出f(x)x、f(x)x2的图象的升降情况如何？答案答案答案两函数的图象如右：函数f(x)x的图象由左到右是上升的；函数f(x)x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的.1.设函数yf(x)的定义域为A，区间MA，如果取区间M中的 两个值x1，x2，改变量 ，则当时，就称函数yf(x)在区间M上是增函数，如图(1)；当_时，就称函
2、数yf(x)在区间M上是减函数，如图(2).梳理梳理任意xx2x10yf(x2)f(x1)0yf(x2)f(x1)02.如果函数yf(x)在某个区间M上是增函数或是减函数，就说yf(x)在这个区间M上具有 (区间M称为单调区间).特别提醒：函数单调性定义的理解(1)任意性，即“任意取x1，x2”，不能取两个特殊值.(2)x1，x2有大小，通常规定xx2x10.(3)x1，x2同属于定义域的某个子区间.单调性思考知识点二函数的单调区间我们已经知道f(x)x2的减区间为(，0，f(x)的减区间为(，0)，这两个减区间能不能交换？答案答案答案f(x)x2的减区间可以写成(，0)，而f(x)的减区间(
3、，0)不能写成(，0，因为0不属于f(x)的定义域.梳理梳理一般地，有下列常识：(1)函数单调性是对于定义域内的某个区间而言的，即单调区间是定义域内的某个子区间.(2)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域，则只能开.(3)单调区间D定义域I.(4)遵循最简原则，单调区间应尽可能大.题型探究例例1如图是定义在区间5,5上的函数yf(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？解答类型一求单调区间并判断单调性解解yf(x)的单调区间有5，2，2,1，1,3，3,5
4、，其中yf(x)在区间5，2，1,3上是减函数，在区间2,1，3,5上是增函数.函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有.反思与感悟跟踪训练跟踪训练1写出函数y|x22x3|的单调区间，并指出单调性.解答所以y|x22x3|的单调区间有(，1，1,1，1,3，3，)，其中单调减区间是(，1，1,3；单调增区间是1,1，3，).命题角度命题角度1证明具体函数的单调性证明具体函数的单调性例例2证明f(x)在其定义域上是增函数
5、.类型二证明单调性证明设x1，x2是定义域0，)上的任意两个实数，且x1x2，则xx2x10，yf(x1)f(x2)0，运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x1，x2且x1x2的条件下，转化为确定f(x1)与f(x2)的大小，要牢记五大步骤：取值作差变形定号小结.反思与感悟跟踪训练跟踪训练2求证：函数f(x)x 在1，)上是增函数.证明证明证明设x1，x2是1，)上的任意实数，且x1x2，则xx2x10，1x1x2，x1x20,1x1x2，即yf(x1)f(x2)0时，f(x)1.求证：函数f(x)在R上是增函数.证明证明证明方法一设x1，x2是实数集R上的任
6、意两个实数，且x1x2.令xyx1，yx2，则xx1x20.yf(x1)f(x2)f(xy)f(y)f(x)f(y)1f(y)f(x)1.x0，f(x)1，f(x)10，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2).函数f(x)在R上是增函数.方法二设x1x2，则x1x20，从而f(x1x2)1，即f(x1x2)10.f(x1)fx2(x1x2)f(x2)f(x1x2)1f(x2)，故f(x)在R上是增函数.因为抽象函数不知道解析式，所以不能代入求f(x1)f(x2)，但可以借助题目提供的函数性质来确定f(x1)f(x2)的大小，这时就需要根据解题需要对抽象函数进行赋值.反思与感悟跟踪训练跟
7、踪训练3已知函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f(mn)f(m)f(n)，且当x0时，0f(x)1.求证：f(x)在R上是减函数.证明证明证明对于任意实数m，n，恒有f(mn)f(m)f(n)，令m1，n0，可得f(1)f(1)f(0)，当x0时，0f(x)1，f(1)0，f(0)1.令mx0，nx0，则f(mn)f(0)f(x)f(x)1，f(x)f(x)1，又x0时，0f(x)1，f(x)1.对任意实数x，f(x)恒大于0.设任意x10，0f(x2x1)1，f(x2)f(x1)f(x2x1)x1f(x1)f(x2x1)f(x1)f(x1)f(x1)f(x2x1)10，f(x
8、)在R上是减函数.命题角度命题角度1利用单调性求参数范围利用单调性求参数范围类型三单调性的应用答案解析解析解析要使f(x)在R上是减函数，需满足：分段函数在定义域上单调，除了要保证各段上单调外，还要保证在接口处不能反超.另外，函数在单调区间上的图象不一定是连续不断的.反思与感悟跟踪训练跟踪训练4已知函数f(x)x22ax3在区间1,2上单调，则实数a的取值范围为_.解析解析由于二次函数开口向上，故其增区间为a，)，减区间为(，a，而f(x)在区间1,2上单调，所以1,2a，)或1,2(，a，即a1或a2.答案解析a1或a2命题角度命题角度2用单调性解不等式用单调性解不等式例例5已知yf(x)在
9、定义域(1,1)上是减函数，且f(1a)f(2a1)，求a的取值范围.解答若已知函数f(x)的单调性，则由x1，x2的大小，可得f(x1)，f(x2)的大小；由f(x1)，f(x2)的大小，可得x1，x2的大小.反思与感悟跟踪训练跟踪训练5在例5中若函数yf(x)的定义域为R，且为增函数，f(1a)f(2a1)，则a的取值范围又是什么？解答解解yf(x)的定义域为R，且为增函数，当堂训练A.2,0 B.0,1C.2,1 D.1,11.函数yf(x)在区间2,2上的图象如图所示，则此函数的增区间是答案234512.函数y 的减区间是A.0，)B.(，0C.(，0)，(0，)D.(，0)(0，)答
10、案234513.在下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2(0，)，当x1f(x2)的是A.f(x)x2 B.f(x)C.f(x)|x|D.f(x)2x1答案234514.已知函数yf(x)满足：f(2)f(1)，f(1)f(1)，则x的取值范围是A.x1C.1x1 D.x1答案23451规律与方法1.若f(x)的定义域为D，AD，BD，f(x)在A和B上都单调递减，未必有f(x)在AB上单调递减.2.对增函数的判断，当xx2x10时，都有yf(x2)f(x1)0，也可以用一个不等式来替代：3.熟悉常见的一些单调性结论，包括一次函数，二次函数，反比例函数等.4.若f(x)，g(x)都是增函数，h(x)是减函数，则：在定义域的交集(非空)上，f(x)g(x)单调递增，f(x)h(x)单调递增，f(x)单调递减，单调递减(f(x)0).5.对于函数值恒正(或恒负)的函数f(x)，证明单调性时，也可以作商与1比较.本课结束
